抛物线焦点弦性质总结30条

基础回顾

1.  以AB为直径的圆与准线相切；

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  A、O、三点共线；

9.  B、O、三点共线；

10. ；

11. （定值）；

12. ；；

13. 垂直平分；

14. 垂直平分；

15. ；

16. ；

17. ；

18. ；

19. ;

20. ;

21. .

22.   切线方程 高考资源网www.ks5u.com

性质深究

一)焦点弦与切线

1、                过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．

证明: 从略

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．

结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、AB是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有

结论6PA⊥PB．

结论7PF⊥AB．

结论8 M平分PQ．

结论9 PA平分∠A₁AB，PB平分∠B₁BA．

结论10

结论11

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，

也有与上述结论类似结果：

结论12   ①，

结论13   PA平分∠A₁AB，同理PB平分∠B₁BA．

结论14  

结论15  点M平分PQ

结论16 

相关考题

1、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，

（1）证明：的值；

（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．

2、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；

（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：；

（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上．

3、对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点， （1）试证：（n≥1）

（2）取，并C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）

第二篇：抛物线焦点弦的一个性质及其证明

关于抛物线焦点弦的一个性质及其证明

江苏省盱眙县马坝高级中学（211751）　赵建宏

性质：设线段是过抛物线的焦点的弦，记则。

本文给出下列九种证法：

证法一：如图一,过分别作准线  的垂线，再作，，垂足分别为。

由抛物线定义得：

于是，

易知：△APF∽△FQB

∴

证法二：接图一,分别取延长

∵，.

∴∠1＝（180^o－∠NBA），∠2＝（180^o－∠MAB），

又∵AM∥BN

∴∠NBA＋∠MAB＝180^o ，∴∠1＋∠2＝90^o

∴∠MFN＝90^o ,即MF⊥FN

在 RtΔMFN 中，点C 为斜边MN的中点。                               

于是

又 MF⊥FN ，∴AC∥NF，∴.

又∵FK∥AM∥BN，

  ∴，

　∴

证法三：如图 二, 设直线 AB 倾斜角为θ

∵

∴

而（见证法二）

∴

又

∴

∴

证法四：由题意，设直线 AB 的参数方程为：，代入抛物线方程

设 t₁、t₂ 分别为 A、B 两点所对应的参数,由参数 t 的几何意义知

∴

    ， 

证法五：（i）当直线 AB 斜率不存在时，AB⊥x 轴，此时即：

（ii）当直线斜率存在时，设为 ，又过点

∴直线 的点斜式方程为：与抛物线方程

          

设

，

　.

综合（i）（ii），原命题得证。

证法六：设抛物线的参数方程为

并设

由A、F、B 三点共线得 

化简得：

又

.

  

证法七：设所给抛物线的极坐标方程为点所对应的极角为，则点所对应的极角为.

证法八：如图四，设，

（见证法二） 

.

由证法二知：

∴

∴

∴

由焦半径公式得：

整理得：.

证法九：如图五，设∠MAF＝θ，由证法二知：

∠MFN＝90^o ，.

 

整理得：

参考资料：张小斌，谈谈圆锥曲线的两个定值。数学通报，2001.7