抛物线焦点弦性质总结30条

基础回顾

1.  以AB为直径的圆与准线相切；

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  A、O、三点共线；

9.  B、O、三点共线；

10. ；

11. （定值）；

12. ；；

13. 垂直平分；

14. 垂直平分；

15. ；

16. ；

17. ；

18. ；

19. ;

20. ;

21. .

22.   切线方程 高考资源网www.ks5u.com

性质深究

一)焦点弦与切线

1、  过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．

证明: 从略

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．

结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、AB是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有

结论6PA⊥PB．

结论7PF⊥AB．

结论8 M平分PQ．

结论9 PA平分∠A₁AB，PB平分∠B₁BA．

结论10

结论11

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，

也有与上述结论类似结果：

结论12   ①，

结论13   PA平分∠A₁AB，同理PB平分∠B₁BA．

结论14  

结论15  点M平分PQ

结论16 

相关考题

1、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，

（1）证明：的值；

（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．

2、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；

（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：；

（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上．

3、对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点， （1）试证：（n≥1）

（2）取，并C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）

第二篇：抛物线常用性质总结

结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

结论二：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：

。

结论三：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

   （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

                                        

                                        

证明结论二：

例：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。

证明：设，，由抛物线的定义知：，，又+=，所以+=-p，且由结论一知：。

则：  =（常数

证明：结论四：

已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。

证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，

垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。

由抛物线定义：，，

∴，

∴以AB为直径为圆与准线l相切

（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，

∵，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，

∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BFN=∠NFO，

∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°，

∴ ，

∴∠PFM=∠FMP

∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB