第七章   级数练习题

一.   判断题

1．若收敛，则。                                    （      ）

2．若收敛，发散，则发散。                    （     ）

3．级数加括号后不改变其敛散性。                                     （     ）

4．级数收敛的充要条件是前 n项和的构成的数列有界。               （     ）

5．若正向级数收敛，则级数也收敛。                  （    ）

6.若，且则和有相同的收敛性。 （     ）

二.   选择题

1．当收敛时，与（      ）

  （A）必同时收敛。（B）必同时发散（C）可能不同时收敛   (D）不可能同时收敛

２．级数收敛是级数收敛的（      ）

（A）充分而不必要条件               （B）必要而不充分条件

（B）充要条件                       （D）既非充分也非必要条件

3．为任意项级数，若且，则该级数（     ）

（A）条件收敛   （B）绝对收敛  （C）发散   （D）敛散性不确定

4．关于，则=（      ）

（A）    （B）2     （C）     （D）0

三.   填空题

１．幂级数的收敛区间为                  。

２．级数当a满足条件                 时收敛。

３．幂级数的收敛半径为               。

４．若则=            。

５．的麦克劳林级数为                 。

四.   判断下列级数的敛散性。

1．                        2.

3．．                            4.

五.   判断下列级数的敛散性，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。

1．               2. ．

六.   求下列幂级数的收敛区间。

1．                   2.    

七.   将下列函数展成在指定点的幂级数，并求出其收敛区间。

1．处）                2.=1处）

八．求证：

第二篇：高数级数习题课

高数级数理论部分练习

10．5．28

一．填空

1．级数的和为       。

2．把函数展开成的幂级数到：                           。

3．级数的和为             。

4．设是以为周期的周期函数，在上的表达式为，则在处的傅里叶级数收敛于      。

5．幂级数的收敛区间为              。

6．若幂级数在时收敛，则幂级数在时是否绝对收敛？   

7．若，则级数收敛，对么？                            （  ）

8．若在上是以为周期的按段光滑函数，则

=

9．，当=             时收敛。

10．级数的部分和数列有界，则级数收敛。                   （  ）

11．若级数与都发散，则也发散。（    ）

12．若级数发散，则。  （    ）

13．若级数收敛，那么它的更序级数一定收敛。   （    ）

14．若在上收敛于且每个都在上连续，则也在上连续。（    ）

二．选择题

1．下列级数中收敛的是（    ）

（A） （B） （C）  （D）。

2．若级数收敛，则下列级数中（    ）收敛。

（A） （B）  （C）  （D）。

3．设，则下列级数中和不是1的为（    ）

（A）  （B）   （C）    （D）

4．将函数展开成的幂级数得到（    ）

（A）   （B） （C）   （D）

5．下列级数条件收敛的是（    ）

（A） （B）  （C） （D）

6． （  ）

A、绝对收敛     B、条件收敛     C、发散       D、可收敛也可能发散

7．的收敛域为  （  ）

A、    B、         C、    D、

8．下列级数中条件收敛的是（  ）

A、   B、    C、     D、

9．若级数和都发散，则（  ）

A、必发散；B、发散；C、必发散 D以上说法都不对

10．是级数收敛的           。

A、必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。

11．下列命题正确的是          ．

(A)   若与都发散，则也发散．

(B)    若收敛，而发散，则必发散．

(C)    若…且绝对收敛，则必收敛．

(D)   级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界．

12．下列命题正确的是          ．

(A) 绝对收敛级数的更序级数一定收敛．         (B) 若为条件收敛级数，则一定发散．

(C) 若发散，则 ．         (D) 若收敛，则也收敛．

三．计算与证明

1．求幂级数的收敛区间及和函数。

2．讨论在时的敛散性。

3．设的傅里叶级数为，求系数。

4．求幂级数的收敛区间与收敛半径。

5．求幂级数的收敛区间和收敛半径。

6 判别级数   敛散性。

7．求幂级数的收敛区间与和函数。

8．求幂级数的收敛区间及和函数。

9．求级数的收敛域，并求出它的和函数，由此求出的和。

10．将，在上展开成余弦级数，并求出它的和函数。

11．确定级数的收敛域，并求和函数。

12．求级数在其收敛域中的和函数。

13．求级数的收敛半径及和函数

14. 求的和函数。

15．将函数在上展开为正弦级数、余弦级数。

16．求幂级数的和函数。

参考答案

一．填空

1．   2.   3、 0  4、3   5、 6、绝对收敛  7．×

8．      9、； 10．×； 11×12×13√14×

二．选择

1 、C  2、B  3、C   4、B  5、A    6. B； 7．B；8. B；9、C；10、A；11．B    12．A   

三．计算与证明

1. 当时，级数成为发散，所以收敛区间为。

。

2.  当时，,所以级数发散。当时，，所以级数发散。当时，，而在时收敛，所以时收敛。

3.

。

4. ，当和时级数收敛，所以收敛区间为。收敛半径为。

5. ，当时，收敛，当时，发散，所以收敛区间为，收敛半径为。

6.  因为，且当时，，而

收敛，所以收敛。

7. ，收敛区间为。

。

8. ，而当时，级数都收敛，所以收敛区间为。令=， ,则，于是，当x=0时，和函数为0；当x=1时，和函数为1。

9．  ∴收敛域为

 

令 

10．

~

11、 

收敛域为：

12.

==

=

令， 

  ，则=

  =   

13.公比，一般项 

；   

……10分

 

14.    

从而收敛域为

设

   

     

  当时，有

 

15．将函数在上展开为余弦级数。

解：要把在上展开为余弦级数，先将延拓成上的偶函数，再延拓成以为周期的周期函数，则

于是由收敛定理有：

，。

另一个类似

16．求幂级数的和函数。

解：因为，所以幂级数的收敛半径为。又因为当时级数发散，所以的收敛域为。设，则由逐项求导定理有：

即： ， 。