大一高数学习总结

——姓名：刘禹尧  学号：13145222

转眼之间大一已经过去了一半，高数的学习也有了一学期，仔细一想，高数也不是传说中的那么可怕，当然也没有那么容易，前提是自己真的用心了。

    有人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。            
     首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我们要有信心去学好它时，就走好了第一步。
    其次，课前预习很重要。每个人的学习习惯可能不同，有些人习惯预习，有些人觉得预习不适合自己。每次上新课前，把课本上的内容仔细地预习一下，或者说先自学一下，把知识点先过一遍，能理解的先自己理解好，到课堂上时就会觉得有方向感，不会觉得茫然，并且自己预习时没有理解的地方在课堂上听老师讲后就能解决了，比较有针对性。
     然后，要把握课堂。课堂上老师讲的每一句话都有可能是很有用的，如果错过了就可能会使自己以后做某些题时要走很多弯路，甚至是死路。我们主要应该在课堂上认真听讲，理解解题方法，我们现在所需要的是方法，是思维，而不仅仅是例题本身的答案，我们学习高数不是为了将来能计算算术，而是为了获得一种思想，为了提高我们的思维能力，为了能够用于解决现实问题。

此外，要以教材为中心。虽然说“尽信书不如无书”，但是，就算教材不是完美的，但是教材上包含了我们所要掌握的知识点，而那些知识点是便是我们解题的基础。书上的一些基本公式、定理，是我们必须掌握的。
     最后，坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题就能解决很多同类型的题了。

下面是我对这学期学习重点的一些总结：

1、判断两个函数是否相同

 一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。

2、判断函数奇偶性

 判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。

3、数列极限的求法

 利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。

(1)   若数列分子分母同时含n，则同除n的最高次项。

(2)   若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求极限的方法。

(3)   所求数列是无穷项和，通常先用等差或等比数列前n项求和公式求出，再求极限。

(4)   利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。通式为形如1的无穷次方的不定式，一般采用两个重要极限中等于e的那个式子求解。 

4、函数极限的求法 

(1)用数列求极限方法，

(2)在一点处连续，则在此处极限等于此处函数值，

(3)分段函数，在某点极限存在，则此处左右极限都存在且相等。

(4)利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。

5、判断函数连续性

    利用函数连续性的等价定义，对于分段函数在分界点的连续性，可用函数在某点连续的充要条件以及初等函数在其定义域内是连续函数的结论等来讨论函数的连续性。

两个重要函数

       

第二篇：高数——大一复习总结归纳

高等数学（本科少学时类型）

第一章   函数与极限

第一节   函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★）

第二节   数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列，证明

【证明示例】语言

1．由化简得，

∴

2．即对，，当时，始终有不等式成立，

∴

第三节   函数的极限

○时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数，证明

【证明示例】语言

1．由化简得，

∴

2．即对，，当时，始终有不等式成立，

∴

○时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数，证明

【证明示例】语言

1．由化简得，

∴

2．即对，，当时，始终有不等式成立，

∴

第四节   无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）

函数无穷小

函数无穷大

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设为有界函数，为无穷小，则

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为无穷小，且，则为无穷大

【题型示例】计算：（或）

1．∵≤∴函数在的任一去心邻域内是有界的；

（∵≤，∴函数在上有界；）

2．即函数是时的无穷小；

（即函数是时的无穷小；）

3．由定理可知

（）

第五节   极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★）

（定理一）加减法则

（定理二）乘除法则

关于多项式、商式的极限运算

设：

则有

（特别地，当（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值

【求解示例】解：因为，从而可得，所以原式

其中为函数的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：

○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数是定义域上的连续函数，那么，

【题型示例】求值：

【求解示例】

第六节   极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）

第一个重要极限：

∵，∴

（特别地，）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：

（一般地，，其中）

【题型示例】求值：

【求解示例】

第七节   无穷小量的阶（无穷小的比较）

○等价无穷小（★★）

1．

2．

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：

【求解示例】

第八节   函数的连续性

○函数连续的定义（★）

○间断点的分类（P67）（★）

（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数，应该怎样选择数，使得成为在上的连续函数？

【求解示例】

1．∵

2．由连续函数定义

∴

第九节   闭区间上连续函数的性质

○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程至少有一个根介于与之间

【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数在闭区间上连续；

2．∵（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间内至少有一点，使得，即（）

4．这等式说明方程在开区间内至少有一个根

第二章   导数与微分

第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）

【题型示例】已知函数，在处可导，求，

【求解示例】

1．∵，

2．由函数可导定义

∴

【题型示例】求在处的切线与法线方程

（或：过图像上点处的切线与法线方程）

【求解示例】

1．，

2．切线方程：

法线方程：

第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）

1．线性组合（定理一）：

特别地，当时，有

2．函数积的求导法则（定理二）：

3．函数商的求导法则（定理三）：

第三节 反函数和复合函数的求导法则

○反函数的求导法则（★）

【题型示例】求函数的导数

【求解示例】由题可得为直接函数，其在定于域上单调、可导，且；∴

○复合函数的求导法则（★★★）

【题型示例】设，求

【求解示例】

第四节 高阶导数

○（或）（★）

【题型示例】求函数的阶导数

【求解示例】，

，

……

第五节 隐函数及参数方程型函数的导数

○隐函数的求导（等式两边对求导）（★★★）

【题型示例】试求：方程所给定的曲线：在点的切线方程与法线方程

【求解示例】由两边对求导

即化简得

∴

∴切线方程：

法线方程：

○参数方程型函数的求导

【题型示例】设参数方程，求

【求解示例】1.2.

第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）

第七节 函数的微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）

第三章   中值定理与导数的应用

第一节 中值定理

○引理（费马引理）（★）

○罗尔定理（★★★）

【题型示例】现假设函数在上连续，在上可导，试证明：，

使得成立

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令

显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导；

2．又∵

即

3．∴由罗尔定理知

，使得成立

○拉格朗日中值定理（★）

【题型示例】证明不等式：当时，

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数，则对，显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；

2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，

又∵，∴，

化简得，即证得：当时，

【题型示例】证明不等式：当时，

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数，则对，函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；

2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，

化简得，又∵，

∴，∴，

即证得：当时，

第二节 罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）

1．^☆等价无穷小的替换（以简化运算）

2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件

A．属于两大基本不定型（）且满足条件，则进行运算：

（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）

B．^☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）

⑴型（转乘为除，构造分式）

【题型示例】求值：

【求解示例】

（一般地，，其中）

⑵型（通分构造分式，观察分母）

【题型示例】求值：

【求解示例】

⑶型（对数求极限法）

【题型示例】求值：

【求解示例】

⑷型（对数求极限法）

【题型示例】求值：

【求解示例】

⑸型（对数求极限法）

【题型示例】求值：

【求解示例】

○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）

⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）

⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）

⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）

第三节 泰勒中值定理（不作要求）

第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性

○连续函数单调性（单调区间）（★★★）

【题型示例】试确定函数的单调区间

【求解示例】

1．∵函数在其定义域上连续，且可导

∴

2．令，解得：

3．（三行表）

4．∴函数的单调递增区间为；

单调递减区间为

【题型示例】证明：当时，

【证明示例】

1．（构建辅助函数）设，（）

2．，（）

∴

3．既证：当时，

【题型示例】证明：当时，

【证明示例】

1．（构建辅助函数）设，（）

2．，（）

∴

3．既证：当时，

○连续函数凹凸性（★★★）

【题型示例】试讨论函数的单调性、极值、凹凸性及拐点

【证明示例】

1．

2．令解得：

3．（四行表）

4．⑴函数单调递增区间为,单调递增区间为,；

⑵函数的极小值在时取到，为，

极大值在时取到，为；

⑶函数在区间,上凹，在区间,上凸；

⑷函数的拐点坐标为

第五节 函数的极值和最大、最小值

○函数的极值与最值的关系（★★★）

⑴设函数的定义域为，如果的某个邻域，使得对，都适合不等式，

我们则称函数在点处有极大值；

令

则函数在闭区间上的最大值满足：

；

⑵设函数的定义域为，如果的某个邻域，使得对，都适合不等式，

我们则称函数在点处有极小值；

令

则函数在闭区间上的最小值满足：

；

【题型示例】求函数在上的最值

【求解示例】

1．∵函数在其定义域上连续，且可导

∴

2．令，

解得：

3．（三行表）

4．又∵

∴

第六节 函数图形的描绘（不作要求）

第七节 曲率（不作要求）

第八节 方程的近似解（不作要求）

第四章   不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

○原函数与不定积分的概念（★★）

⑴原函数的概念：

假设在定义区间上，可导函数的导函数为，即当自变量时，有或成立，则称为的一个原函数

⑵原函数存在定理：（★★）

如果函数在定义区间上连续，则在上必存在可导函数使得，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）

⑶不定积分的概念（★★）

在定义区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为在定义区间上的不定积分，即表示为：

（称为积分号，称为被积函数，称为积分表达式，则称为积分变量）

○基本积分表（★★★）

○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）

第二节 换元积分法

○第一类换元法（凑微分）（★★★）

（的逆向应用）

【题型示例】求

【求解示例】

【题型示例】求

【求解示例】

○第二类换元法（去根式）（★★）

（的正向应用）

⑴对于一次根式（）：

：令，于是，

则原式可化为

⑵对于根号下平方和的形式（）：

：令（），

于是，则原式可化为；

⑶对于根号下平方差的形式（）：

a．：令（），

于是，则原式可化为；

b．：令（），

于是，则原式可化为；

【题型示例】求（一次根式）

【求解示例】

【题型示例】求（三角换元）

【求解示例】

第三节 分部积分法

○分部积分法（★★）

⑴设函数，具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：

⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”

○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：

⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；

⑵就近凑微分：（）

⑶使用分部积分公式：

⑷展开尾项，判断

a．若是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；

b．若依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数

【题型示例】求

【求解示例】

【题型示例】求

【求解示例】

∴

第四节 有理函数的不定积分

○有理函数（★）

设：

对于有理函数，当的次数小于的次数时，有理函数是真分式；当的次数大于的次数时，有理函数是假分式

○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）

⑴将有理函数的分母分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式；而另一个多项式可以表示为二次质因式，（）；

即：

一般地：，则参数

则参数

⑵则设有理函数的分拆和式为：

其中

参数由待定系数法（比较法）求出

⑶得到分拆式后分项积分即可求解

【题型示例】求（构造法）

【求解示例】

第五节 积分表的使用（不作要求）

第五章   定积分极其应用

第一节   定积分的概念与性质

○定积分的定义（★）

（称为被积函数，称为被积表达式，则称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间）

○定积分的性质（★★★）

⑴

⑵

⑶

⑷（线性性质）

⑸（积分区间的可加性）

⑹若函数在积分区间上满足，则；

（推论一）

若函数、函数在积分区间上满足，则；

（推论二）

○积分中值定理（不作要求）

第二节   微积分基本公式

○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）

（定理三）若果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则

○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）

【题型示例】求

【求解示例】

第三节   定积分的换元法及分部积分法

○定积分的换元法（★★★）

⑴（第一换元法）

【题型示例】求

【求解示例】

⑵（第二换元法）

设函数，函数满足：

a．，使得；

b．在区间或上，连续

则：

【题型示例】求

【求解示例】

⑶（分部积分法）

○偶倍奇零（★★）

设，则有以下结论成立：

⑴若，则

⑵若，则

第四节   定积分在几何上的应用（暂时不作要求）

第五节   定积分在物理上的应用（暂时不作要求）

第六节   反常积分（不作要求）

如：不定积分公式的证明。很多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题：

如此，不定积分公式也就很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。

最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。