中值定理及应用

一、基本概念定理

1、极值点与极值—设连续，其中。若存在，当时，有，称为的极大点；若存在，当时，有，称为的极小点，极大点和极小点称为极值点。

2、极限的保号性定理

定理 设，则存在，当时，，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。

【证明】设，取，因为，由极限的定义，存在，当时，，于是。

3、极限保号性的应用

【例题1】设，讨论是否是极值点。

【例题2】（1）设，讨论是否是的极值点；

（2）设，讨论是否是的极值点。

【解答】（1）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。

当时，；当时，。

显然不是的极值点。

（2）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。

当时，；当时，。

显然不是的极值点。

【结论1】设连续函数在处取极值，则或不存在。

【结论2】设可导函数在处取极值，则。

二、一阶中值定理

定理1（罗尔中值定理）设函数满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得。

定理2（Lagrange中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导，则存在，使得。

【注解】

（1）中值定理的等价形式为：

，其中；

，其中。

（2）对端点有依赖性。

（3）端点可以是变量，如，其中是介于与之间的的函数。

定理3（Cauchy中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得

      。

题型一：证明

【例题1】设，，证明：存在使得。

【例题2】设曲线，，在内二阶可导，连接端点与的直线与曲线交于内部一点，证明：存在，使得。

【例题3】设，在内可导，且，证明：存在，使得。

题型二：结论中含一个中值，不含，且导出之间差距为一阶

【例题1】设，在内可导，，证明：存在，使得。

【例题2】设，在内可导，，证明：存在，使得。

【例题3】设，在内二阶可导，且，证明：存在，使得。

题型三：含中值

情形一：含中值的项复杂度不同

【例题1】设，在内可导，且，证明：存在，使得。

【例题2】设，在内可导，证明：存在，使得

。

情形二：含中值的项复杂度相同

【例题1】设，在内可导，且。

（1）证明：存在，使得。

（2）证明：存在，使得。

【例题2】设，在内可导，且，证明：存在，使得。

三、高阶中值定理—泰勒中值定理

背景：求极限。

定理4（泰勒中值定理）设函数在的邻域内有直到阶导数，则有

，

且，其中介于与之间，称此种形式的余项为拉格郎日型余项，若，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。

特别地，若，则称

，

为马克劳林公式，其中。

【注解】常见函数的马克劳林公式

1、。

2、。

3、。

4、。

5、。

6、。

专题一：泰勒公式在极限中的应用

【例题】求极限。

专题二：二阶保号性问题

设函数的二阶导数，这类问题主要有两个思路：

思路一：设，则单调增加

【例题1】设在上满足且，证明：对任意的有。

【例题2】设在上满足且，证明：在内有且仅有一个零点。

思路二：重要不等式

设，因为，

所以有

      ，

其中等号成立当且仅当。

【例题1】设，，且，证明：。

【例题2】设，证明：对任意的及且，证明：

  。

【例题3】设且，证明：

    。

第二篇：考研.数学 高数总结3

定积分理论

一、实际应用背景

1、运动问题—设物体运动速度为v?v(t)，求t?[a,b]上物体走过的路程。 （1）取a?t0?t1???tn?b，[a,b]?[t0,t1]?[t1,t2]???[tn?1,tn]， 其中?ti?ti?ti?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，S?

n

?f(?)?t；

i

i

i?1i

i

n

（3）取??max{?xi}，则S?lim

1?i?n

??0

?f(?)?x

i?1

2、曲边梯形的面积—设曲线L:y?f(x)?0(a?x?b)，由L,x?a,x?b及x轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]， 其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)； （2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，A?

n

?f(?)?x；

i

i

i?1i

i

n

（3）取??max{?xi}，则A?lim

1?i?n

??0

?f(?)?x。

i?1

二、定积分理论

（一）定积分的定义—设f(x)为[a,b]上的有界函数，

（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]， 其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)； （2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，作

n

?f(?)?x；

i

i

i?1

i

n

ax{?xi}，（3）取??m若lim

1?i?n

??0

?f(?)?x存在，称f(x)在[a,b]上可积，极限称为f(x)

i

i?1

在[a,b]上的定积分，记

?

b

a

f(x)dx，即?f(x)dx?lim?f(?i)?xi。

a

b

n

??0

i?1

【注解】

（1）极限与区间的划分及?i的取法无关。

n

?1,x?Q

【例题】当x?[a,b]时，令f(x)??，对lim?f(?i)?xi，

??0

i?1?0,x?R\Q

n

n

情形一：取所有?i?Q(1?i?n)，则lim

??0

?f(?)?x

i

i?1

n

i

?lim??xi?b?a；

??0

i?1

情形二：取所有?i?R\Q(1?i?n)，则lim

??0

n

?f(?)?x

i

i?1

i

?0，

所以极限lim

??0

?f(?)?x不存在，于是f(x)在[a,b]上不可积。

i

i

i?1

（2）??0?n??，反之不对。

112n?1n1

,]，?xi?(1?i?n)；

nnnnnn

i?1i

取法：取?i?或?i?(1?i?n)，则

nn

分法：等分，即[0,1]?[0,]?[,]???[

?

1

1ni1ni?1

f(x)dx?lim?f()?lim?f()。

n??nn??nni?1ni?1

则

?

b

a

b?anif(x)dx?limf[a?(b?a)]。 ?n??ni?1n

1n2i【例题1】求极限lim??。

n??nni?1

11n2i

【解答】lim?????2xdx。

0n??nni?1

【例题2】求极限lim(

n??

1n?1

?

2

2

?

1n?2

???

2

2

???

1

1n?n

)。

1

22

)

【解答】lim(

n??

1n?1

?

2

2

1n?21

2

2

n?n1n

?()2

n

22

1?lim[n??n

11?()2

n

2?()2

n

???

]??

dx?x

2

三、定积分的普通性质

1、2、3、4、

?[f(x)?g(x)]dx??

a

bb

a

f(x)dx??g(x)dx。

a

b

?kf(x)dx?k?

a

bb

a

f(x)dx。

bc

?

b

a

f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。

a

c

?

b

a

dx?b?a。

5、设f(x)?0(a?x?b)，则【证明】

?

b

a

f(x)dx?0。

?

b

a

f(x)dx?lim?f(?i)?xi，

??0

i?1

n

因为f(x)?0，所以f(?i)?0， 又因为a?b，所以?xi?0，于是

n

?f(?)?x

i

i?1

n

i

?0，由极限保号性得

lim?f(?i)?xi?0，即?f(x)dx?0。

??0

i?1

b

a

（1）

?

b

a

f(x)dx??|f(x)|dx(a?b)。

a

b

（2）设f(x)?g(x)(a?x?b)，则

?

b

a

f(x)dx??g(x)dx。

a

b

6（积分中值定理）设f(x)?C[a,b]，则存在??[a,b]，使得四、定积分基本理论

定理1 设f(x)?C[a,b]，令?(x)?

?

b

a

f(x)dx?f(?)(b?a)。

?

x

a

f(t)dt，则?(x)为f(x)的一个原函数，即

??(x)?f(x)。

【注解】

（1）连续函数一定存在原函数。

dx

f(t)dt?f(x)， （2）?adx

d?(x)

f(t)dt?f[?(x)]??(x)。 ?adx

d?2(x)

?(x)?f[?1(x)]?1?(x)。 f(t)dt?f[?2(x)]?2（3）

dx??1(x)

【例题1】设f(x)连续，且?(x)?【解答】?(x)?

x

?(x?t)f(t)dt，求???(x)。

0x0

x

?(x?t)f(t)dt?x?

0f(t)dt??tf(t)dt，

x

??(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dt，???(x)?f(x)。

xx

【例题2】设f(x)为连续函数，且?(x)?【解答】?(x)?

x2?t2?u

?tf(x

x

2

?t2)dt，求??(x)。

?

x

tf(x2?t2)dt??

1x2222

f(x?t)d(x?t) 2?0

101x2

???2f(u)du??f(u)du，

2x20

1

f(x2)?2x?xf(x2)。 2

??(x)?

定理2 （牛顿—莱布尼兹公式）设f(x)?C[a,b]，且F(x)为f(x)的一个原函数，则

?

b

a

f(x)dx?F(b)?F(a)。

【证明】由F?(x)?f(x),??(x)?f(x)得[F(x)??(x)]??f(x)?f(x)?0， 从而F(x)??(x)?constant，

于是F(b)??(b)?F(a)??(a)，注意到?(a)?0， 所以?(b)?F(b)?F(a)，即五、定积分的积分法

（一）换元积分法—设f(x)?C[a,b]，令x??(t)，其中?(t)可导，且??(t)?0，其中

?

b

a

f(x)dx?F(b)?F(a)。

?(?)?a,?(?)?b，则?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt。

a

b?

?

（二）分部积分法—

?udv?uv??vdu。

a

a

a

b

b

b

六、定积分的特殊性质

1、对称区间上函数的定积分性质 设f(x)?C[?a,a]，则 （1）则

?

a

?a

f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx。

a

（2）若f(?x)?f(x)，则

?

a

?a

f(x)dx?2?f(x)dx。

a

（3）若f(?x)??f(x)，则

?

a

?a

f(x)dx?0。

【例题1】设f(x),g(x)?C[?a,a]，其中f(x)?f(?x)?A,g(x)为偶函数，证明：

?

a

?a

f(x)g(x)dx?A?g(x)dx。

a

【解答】

a

?

a

?a

f(x)g(x)dx??[f(x)g(x)?f(?x)g(?x)]dx

a0

a

??[f(x)?f(?x)]g(x)dx?A?g(x)dx。

?

（2）计算

??arctane

2?2

x

|sinx|dx。

?

?

【解答】

?

2

?

?

2

arctane|sinx|dx??2(arctanex?arctane?x)sinxdx，

x

?x

x

exe?x

??0， 因为(arctane?arctane)??2x?2x

1?e1?e

所以arctanex?arctane?x?C0，取x?0得C0?

?

?

2

，

于是

??arctane|sinx|dx?

2?2

x

?

?

20

2?

sinxdx?

?

2

。

2、周期函数定积分性质 设f(x)以T为周期，则 （1）

?

a?T

a

。 f(x)dx??f(x)dx，其中a为任意常数（周期函数的平移性质）

T

如

?

3?

4

?

2

2

?

?

?

?

4

sinxdx??2?sinxdx?2?2sin2xdx。

2

（2）

?

nT

f(x)dx?n?f(x)dx。

T

3、特殊区间上三角函数定积分性质

?

?

（1）设f(x)?C[0,1]，则

?

?

20

f(sinx)dx??2f(cosx)dx，特别地，

?

20

sinxdx??cosxdx?In，且In?

20

n

?

n

n?1?

In?2,I0?,I1?1。 n2

4

sinx

【例题1】计算?2?dx。

?1?ex2

?

sin4xsin4xsin4x2【解答】??dx??(?)dx ?x01?ex?1?ex1?e2

2

??

1131?3?42sin4xdx?I???2(?)sinxdx????。 4?x?01?ex0422161?e

??

【例题2】计算【解答】

?

100

?cos?xdx。

?

100

?cos?xdx?

50

??

1

100

?cos?xd(?x)?

100

??

1

100?

?cosxdx

?

50

?

?

?

2?

?cosxdx?

?

??

?

?

?cosxdx?

?

?

?

?cosxdx

?

?

2

?

?

1?cosx2?xx222

。 dx?sind()?sinxdx???002?22??

第三篇：20xx年高考数学总结

一、好的复习计划与复习计划的执行。

制订好的复习计划后，一定严格按照复习计划进行。计划的制订要按照该学期的总课时，各章在教学大纲中安排的课时比率与该章在高考试卷中所占比例以及学生对该章内容掌握程度来定。实际复习中最容易出现的问题是前松后紧的现象，这在复习中是普遍的问题。举例来说集合与函数这部分复习时间一般不应该太长，这部分虽然也是高考的重点内容，但是现在高考多以选择填空题的形式单独考查，解答题中虽然要应用函数知识，函数思想来解题，如导数的解答题，数列的解答题，但是在这单元一般不单独用解答题的形式考查，根据高考命题的特点，在第一轮复习时，这部分我们少做解答题，多注意概念，注重选择填空题，不把战线拖得过长，对大多数班级与学生避免做综合性太强与难度过大的习题。第一轮复习不要要求把一切问题都解决。按顺序概率与导数是最后复习的内容，它们也是高考的重点考查的内容，所以在第一轮复习时一定要安排充分的时间。

二、复习一定要把握好高考的方向。

高考考什么，有考试大纲。而具体的命题的脉搏是每个高三教师最想知道的，其实是不难把握的。高考试卷是社会瞩目的焦点，只能出好，不能有错，每年国家的考试中心还要对各省的试卷进行评估，他们的评估客观，尖锐。面对社会与国家主管部门的双重压力与他们自己的努力，命题水平逐年提升，质量逐年提高。而20xx年的高考题型又一次发生了变化：20道试题，8道选择题，6道填空题，6道解答题，各题的得分比例都与去年的命题试卷发生了改变，但各章考

查知识点在试卷中的比率与6个解答题的考查方向，都与去年的试卷相似。我们就是以这样的思想来指导我们的高考复习。也就是说以去年的6道解答题主要考查方向是我们复习的主攻方向。另外我们通过从外部得到的信息更主要通过自己的分析认为三角，概率，立体几何高考解答题的难度不会很大；解析几何与导数的综合题是区分度较大重点考查的试题；从高考实际看这方面我们把握的是相当准确的。通过对去年考试试卷的分析，与我市命题的特点我们分析选择填空题会相对容易，解答题为保证区分度与高校选拔的要求不会容易，总体试卷难度应于去年相当。事实证明我们的判断也是正确的，所以我们的安排与实际操作都是注意考试重点，重点内容重点复习。

三、重点内容重点复习。

前面已经提到6个解答题是我们高考复习的重点，所以尤其要重点复习，在第一轮复习时，函数部分不要花费过多时间，集合与简易逻辑，向量部分，统计部分都不是重点，不必做过多过难的题。在第二年的5月份，也就是高考的最后阶段，这时的时间最宝贵，我们针对高考的6个解答题安排了6个专题复习。现在看这样的安排是完全正确的。在具体复习中教师要对习题试题进行指导性的选择。我们的体会是高考复习不能跟着教辅书运转，要以我为主。

四、重视解答题。

我们在复习中提出重视解答题，不要过分重视选择填空题，一定要求学生努力做解答题。因为从历年的高考看，学生成绩的好坏最终取决于解答题，平时做太多的太难的解答题没有多大的意义。较难的

选择填空题在复习中很难碰上，与考前是否做了多少难度大的选择填空题无关。所以在实际教学中我们侧重解答题的教学，用较多的时间分析讲解解答题，给学生充分的时间去做解答题，如复习立体几何或解析几何时减少习题数量，每天就要求学生就作3-4道解答题，对学生区别要求，差一些的学生可以再少做一些，鼓励学生一定要努力做解答题。从今年的高考实际看我们的预测也是准确的，我们这么做的效果也是很好的。

五、选择填空题的地位与复习策略。

虽然高考中选择填空题占分的比例接近50%，但它不是重点，高考考它们的方向是基础与全面，为顾及到各层次的考生（包括艺术类，体育类考生）高考一定要考基础，考试的知识点覆盖率应该尽量大，这些设计目标由选择填空题来完成。以它的目的来看，选择填空题的难度不应该大，一张卷有2-3道难度大的题就足够了。所以复习时不应用过大的精力去抓选择填空题，实际上，实践告诉我们，难的选择填空题是押不上的，遇到时只能依靠学生自己的数学能力，平时的练习起不到什么作用。所以在第二个学期我们以解答题为我们的复习重点，减少选择填空题的练习。选择填空题往往有一些技巧解法，如排除法，特值法，代入数值计算，从极端情况出发，等等，我们除了在平时的训练，还作了选择填空题的专题训练以提高学生的解题技巧。从今年的高考实际看，与我们的分析相同，选择填空题的难度不大，得满分的不少，与我们的预测一致。

六、作业量要适当。

讲课要少而精，但对高三复习备考，作业更要少而精。高三的复习时间是宝贵的，学生的时间与精力是有限的，所以我们教师对教学的安排，作业的安排是要十分慎重。作业的安排一定要针对性、目的性强。作业留的多一方面是没有必要，耗费学生的精力于时间，影响了其它学科的学习，另一方面可能使一些学生根本不能完成，逐渐失去学习数学的兴趣与信心而放弃学数学，这样的例子也是很多的。我们的体会是作业能不留的尽量不留。如我们前面所说，有时每次仅留3-4道习题，作业要重质，不要重量。当然这对教师的要求很高，是对教师能力、智慧与勇气的考验。

七、少做去年的套卷，注重近年的高考真题。

少做去年的套卷，这也是我校高三数学复习的特点。过去的高考试题是考试中心或各省的专家精心编制，远强于大多数教辅书上的习题，或所谓各种模拟试题，高考真题是我们最好的复习材料。这几年每年有十几套高考试卷，各章内容的试题在数量上、题型上都很丰富，所以我们复习时尽量采用高考试题，第一轮复习的教辅书注意选择，要选所编高考试题多的。第二轮复习更是以前一年的高考试题为主。另外在考前4月份我们用了一个月的时间逐套的做前一年的高考试卷，收效还是显著的。有人说高考考过的试题不会再考，这是正确的，不能寄希望于押上题。近年的高考题是经过专家严格按照高考要求与特点精心编制的，与高考的知识运用的要求、能力的要求以及思想方法的要求都是一致的，而以前的模拟卷距离高考试卷相对要远。

教辅书的采用，也是值得注意的，第一学期我们选了两本。第二学期只选了一本知识专题的教辅书作为第二轮复习的材料，综合复习没有用教辅书，自己组卷，以近年的高考卷为主。教辅书的选择在高三备考是至关重要的，在这方面我们做得是比较好。

八、高三数学作业的批改。

第一个学期我组的所有教师坚持每天批改作业，虽然批改量较大，但我们一直坚持到最后，对学生学习的督促与对学生学习情况的反馈都起到了积极的作用。第二个学期我们仍没有放松批改，侧重点有了一定的变化，我们侧重于每次大小考试的批改，大小考试也比较频繁，大约每周一次。在每一次模拟考试时我们批卷都从严要求，尽量向高考标准看齐，当时看，成绩低，不好看，但是对学生效果很好。以后学生会注意书写格式，书写表达，数学的表述，也就是注重解答的细节。这样的作用也是显著的。以后学生的数学表达能力得到提高，会做的都能得到理想的分。

九、能得的分一定要得到。

除了上面所讲注重基础，答好选择填空题，对解答题充分重视还要体现在能做的能得到的一定要做到、得到。我们对解答题中估计难度较低的三角函数、立体几何、概率解答题要充分重视，不能因为试题难度小而忽视，对大多数学生这是他们得分希望最大的试题，所以我们更注意对它们的复习与练习，在5月份专门安排时间重点练习，当然，各班情况不同要求也不同。对难度较大的数列、导数、解析几何我们要求学生不能放弃，高考试卷对这样的试题一般是分层设问，

由易到难，所以我们要求学生不要放弃第一问。从高考实际上看基本得到了满意的效果。而对大多数的学生我们教育他们要学会放弃，舍得放弃，要有所为有所不为，难题舍弃，集中力量做自己能做的题，争取得到更大的收益，实际上看学生也是这样做的。

总结起来我们这一年高考备考的工作应该说是成功的，首先高考试题的预测是正确的，复习的方向是正确的，学生的成绩是令人满意的。高考后看，仍有些不足，如差生较差也较多，虽然也作了不少的辅导，但是提高他们的成绩仍然缺少办法。另外高分层仍然显少，高分人数应该再多些。工作还可以更细致些。少数考生临场发挥太差也是待解决的问题。

以上是对我校20xx年高考数学的分析与总结，希望各位领导与老师批评指正。