高中数学第十三章-极 限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个n0时结论正确；②假设当n?k（k?N?,k?n0）时，结论正确，证明当n?k?1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
①当n?n0（n0?N?）时，P(n)成立；
②假设当n?k（k?N?,k?n0）时，P(n)成立，推得n?k?1时，P(n)也成立.
那么，根据①②对一切自然数n?n0时，P(n)都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①liman?a n??
②当n??时，an?a.
⑵几个常用极限：
①limC?C（C为常数） n??
②lim1
nkn???0(k?N,k是常数)
③对于任意实常数，
当|a|?1时，liman?0 n??
当a?1时，若a = 1，则liman?1；若a??1，则liman?lim(?1)n不存在 n??n??n??
当a?1时，liman不存在 n??
⑶数列极限的四则运算法则：
如果liman?a,limbb?b，那么 n??n??
①lim(an?bn)?a?b n??
②lim(an?bn)?a?b n??
③limana?(b?0) n??bnb
特别地，如果C是常数，那么
n??lim(C?an)?limC?liman?Ca. n??n??
⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当q?1时，无穷等比数列的各项和为S?（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限为a.记作limf(x)?a或当x?x0时，f(x)?a. x?x0a1(q?1). 1?q
注：当x?x0时，f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否定义无关，因为x?x0并不要求x?x0.（当然，f(x)在x0是否有定义也与f(x)在x0处是否存在极限无关.?函数f(x)在x0有定义是limf(x)存在的既不充分又不必要条件.） x?x0
如P(x)???x?1x?1在x?1处无定义，但limP(x)存在，因为在x?1处左右极限均等于零. x?1?x?1x?1?
⑵函数极限的四则运算法则：
如果limf(x)?a,limg(x)?b，那么 x?x0x?x0
①lim(f(x)?g(x))?a?b x?x0
②lim(f(x)?g(x))?a?b x?x0
③limx?x0f(x)a?(b?0) g(x)b
特别地，如果C是常数，那么
x?x0
x?x0lim(C?f(x))?Climf(x). x?x0lim[f(x)]n?[limf(x)]n（n?N?） x?x0
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①lim1?0 n??x
x???x???②limax?0（0＜a＜1）；limax?0（a＞1） ③limsinxx?1?lim?1 x?0xx?0sinx
11④lim(1?)x?e，lim(1?x)x?e（e?2.71828183） x?0x??x
4. 函数的连续性：
⑴如果函数（fx），g（x）在某一点x?x0连续，那么函数f(x)?g(x),f(x)?g(x),f(x)(g(x)?0)g(x)
在点x?x0处都连续.
⑵函数f（x）在点x?x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x?x0处有定义；②limf(x)存在；③函数f（x）在点x?x0处的极限值x?x0
等于该点的函数值，即limf(x)?f(x0). x?x0
⑶函数f（x）在点x?x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x?x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点. ①f（x）在点x?x0处没有定义，即f(x0)不存在；②limf(x)不存在；③limf(x)存在，x?x0x?x0但limf(x)?f(x0). x?x0
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点?（a＜?＜b）使f(?)?0. ⑵介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)?A,f(b)?B，那么对于A,B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f(?)?C（a＜?＜b）.
⑶夹逼定理：设当0?|x?x0|??时，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)?limh(x)?A，则必x?x0x?x0有limf(x)?A. x?x0
注：|x?x0|：表示以x0为的极限，则|x?x0|就无限趋近于零.（?为最小整数）
6. 几个常用极限： ①limqn?0,q?1 n???
an
②lim?0(a?0) n???n!
③lim?0(a?1,k为常数） an
lnn④lim?0 n???nn???nk
⑤lim
(lnn)kn?n????0(??0,k为常数）
第二篇：20xx届高考数学总结完美版-极 限
高中数学第十三章-极 限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个n0时结论正确；②假设当n时，结论正确，证明当n
?k?1时，结论成立.
?k（k?N
?
,k?n0
）
⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①当n?n0（n0?N?）时，P(n)成立； ②假设当n?
k
（k?N?,k?n0）时，P(n)成立，推得n
?k?1时，P(n)也成立.
那么，根据①②对一切自然数n?n0时，P(n)都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①liman?a
n??
②当n??时，an?a. ⑵几个常用极限： ①limC?C（C为常数）
n??
②
lim
n??
1n
k
?0(k?N,k是常数)
③对于任意实常数， 当|a|?1时，
n??
lima?0
n
当a?1时，若a = 1，则lim
n??
a?1；若a??1，则lima?lim(?1)
n??
n??
nnn
不存在
当a?1时，
lima
n??
n
不存在
⑶数列极限的四则运算法则： 如果liman?a,limbb?b，那么
n??
n??
①lim(an?bn)?a?b
n??
②lim(an?bn)?a?b
n??
③
lim
n??
anbn
?
ab
(b?0)
特别地，如果C是常数，那么
n??
lim(C?an)?limC?liman?Ca
n??
n??
.
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当q?1时，无穷等比数列的各项和为S（化循环小数为分数方法同上式） 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限；
⑴当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限为a.记作limf(x)?a或当x?x0时，f(x)?a.
x?x0
?
a11?q
(q?1).
注：当x?x0时，f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否定义无关，因为x?x0并不要求
x?x0.（当然，f(x)在x0
是否有定义也与f(x)在x0处是否存在极限无关.?函数f(x)在x0
有定义是limf(x)存在的既不充分又不必要条件.）
x?x0
如P(x)
?x?1x?1??在x?1??x?1x?1
处无定义，但limP(x)存在，因为在x?1处左右极限均等于零.
x?1
⑵函数极限的四则运算法则： 如果limf(x)?a,limg(x)?b，那么
x?x0
x?x0
①lim(f(x)?g(x))?a?b
x?x0
②lim(f(x)?g(x))?a?b
x?x0
③
lim
x?x0
f(x)g(x)
?
ab
(b?0)
特别地，如果C是常数，那么
lim(C?f(x))?Climf(x)
x?x0
n
.
x?x0
n
lim[f(x)]
x?x0
?[lim
x?x0
f(x)]
（n?N?）
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①②
lim
n??
1x
?0
x
＜1）；
xsinx
?1
lima
x???
?0（0＜a
lima
x???
x
?0
（a＞1）
③lim
x?0
sinxx1x
?1?lim
x?0
1
④
lim(1?
x??
)
x
?e，lim(1?x)
x?0
x
?e
（e?
2.71828183
）
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f（x），g（x）在某一点x?x0连续，那么函数在点x?x0处都连续.
⑵函数f（x）在点x?x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x?x0处有定义；②limf(x)存在；③函数f（x）在点x?x0处的极限值
x?x0
f(x)?g(x),f(x)?g(x),
f(x)g(x)
(g(x)?0)
等于该点的函数值，即limf(x)?f(x0).
x?x0
⑶函数f（x）在点x?x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x?x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点. ①f（x）在点x?x0处没有定义，即f(x0)不存在；②limf(x)不存在；③limf(x)存在，
x?x0
x?x0
但limf(x)?f(x0).
x?x0
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点?（a＜?＜b）使f(?)?0.
⑵介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，
f(a)?A,f(b)?B，那么对于A,B
之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点?，使
得f(?)?C（a＜?＜b）.
⑶夹逼定理：设当0?|x?x0|??时，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)?limh(x)?A，则
x?x0
x?x0
必有limf(x)?A.
x?x0
注：|x?x0|：表示以x0为的极限，则|x?x0|就无限趋近于零.（?为最小整数） 6. 几个常用极限： ①②③④⑤
limq?0,q?1
n???
n
lim
n???
a
n
n!na
kn
?0(a?0)
lim
n???
?0(a?1,k
为常数）
lim
n???
lnnn
?0
k
?0(??0,k
lim
n???
(lnn)n
?
为常数）