7、因式分解小结

【知识精读】

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。

【分类解析】

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的

5432 例1. 分解因式xxxxx ?????1

5432?x?x和?x?x?1 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x分

54别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x，?x

321，x?分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 x?x

5432(xxx??)(?xx??1) 解一：原式?

?x3(x2?x?1)?(x2?x?1)

)(x2?x?1) ?(x3?1

?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)

- 1 -

解二：原式=(x5?x4)?(x3?x2)?(x?1)

?x4(x?1)?x2(x?1)?(x?1)

?(x?1)(x4?x??1)

?(x?1)[(x?2x?1)?x]

?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)422

2. 通过变形达到分解的目的

32 例1. 分解因式x ?3x?4

22 解一：将3x2拆成2，则有 x?x

原式?x3?2x2?(x2?4)

?x2(x?2)?(x?2)(x?2)

?(x?2)(x?x?2)

?(x?1)(x?2)22

解二：将常数?4拆成??，则有 13

原式?x3?1?(3x2?3)

?(x?1)(x2?x?1)?(x?1)(3x?3)

?(x?1)(x?4x?4)

?(x?1)(x?2)22

3. 在证明题中的应用

22x?4)(x?10x?211)?00 例：求证：多项式(的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

22x?4)(x?10x?211)?00 证明：(

?(x?2)(x?2)(x?3)(x?7)?100

(x?2)(x?7)(x?2)(x?3)?100 ?

22?(x?5x?14)(x?5x?6)?100

x，则 设y?x2?5

22原式?(y?14)(y?6)?100?y?8y?16?(y?4)

2无论y取何值都有(y?4)?0 ?

22?(x?4)(x?10x?21)?100的值一定是非负数

- 2 -

4. 因式分解中的转化思想

333ab?2??c)(a??b)(b?c) 例：分解因式：(

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

?原式?(A?B)3?A3?B3

?A3?3A2B?3AB2?B3?A3?B3

?3A2B?3AB2

?3AB(A?B)

?3(a?b)(b?c)(a?2b?c)

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨：

例1.在?中，三边a,b,c满足a2?16b2?c2?6ab?10bc?0 ABC

求证：a ?c?2b

222 证明：? a?16b?c?6ab?10bc?0

?a2?6ab?9b2?c2?10bc?25b2?0

即(a?3b)2?(c?5b)2?0

(a?8b?c)(a?2b?c)?0

?a?b?c

?a?8b?c，即a?8b?c?0

于是有a?2b?c?0

即a?c?2b

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

113?2，则x3? 例2. 已知：x__________ xx

121313?(x)(x1) 解：x xxx

11?(x?)[(x?)2?2?1]xx

?2?1

?2

- 3 -

1122 说明：利用x等式化繁为易。 2?(x)?2xx

题型展示：

27?x)(3?x)(4?x) 1. 若x为任意整数，求证：(的值不大于100。

解：?(7?x)(3?x)(4?x2)?100

??(x?7)(x?2)(x?3)(x?2)?100

??(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100

??[(x2?5x)?8(x2?5x)?16]

??(x2?5x?4)2?0

?(7?x)(3?x)(4?x2)?100

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。

2222222?(aa?1)?(?a)分解因式，并用分解结果计算6?7?42。 2. 将a

2222??(a1)?(a?a) 解：a

?a2?a2?2a?1?(a2?a)2

?2(a2?a)?1?(a2?a)2

?(a2?a?1)2

222226?7?42?(36?6?1)?43?1849 ?

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

【实战模拟】

1. 分解因式：

5432（1）3x?10x?8x?3x?10x?8

（2）(a?3a?3)(a?3a?1)?5

22 22（3）x?2xy?3y?3x?5y?2（4）x?7x?6

3

- 4 -

332. 已知：x的值。 ?y?6，xy??1，求：x?y

32233. 矩形的周长是28cm，两边x,y使x，求矩形的面积。 ?xy?xy?y?0

4. 求证：n3?5n是6的倍数。（其中n为整数）

1111112225. 已知：a、b、c是非零实数，且a，求a+b+c?b?c?1)))??3bccaab

的值。

22222?b?c和4ab 6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a的大小。

- 5 -

【试题答案】

1. （1）解：原式?x3(3x2?10x?8)?(3x2?10x?8) 32?(x?13)(x?10x?8)

2 ?(x?1)(x?x?1)(x?43)(x?2)

22式??[(a3a)?3][(a?3a)]?1?5 （2）解：原

?(a2?3a)2?2(a2?3a)?8

?(a2?3a?4)(a2?3a?2)

?(a?4)(a?1)(a?1)(a?2)

（3）解：原 式?(x?3y)(x?y)?3x?5y?2 ? (xy?31?)(x?y?2)

1

2

33式?7x?6x?7x?6 （4）解：原

?7x3?7x?6x3?6

?7x(x2?1)?6(x3?1)

?7x(x?1)(x?1)?6(x?1)(x2?x?1)

?(x?1)(7x?7x?6x?6x?6)

?(x?1)(x2?x?6)

?(x?1)(x?3)(x?2)22

222 2. 解：? xy??(x?y)?2xy

?36?2

?38

3322?x?y?(x?y)(x?xy?y)

?6?(38?1)

?234

3223xx?y?xyy??0 3. 解：?

- 6 -

?(x3?y3)?xy(x?y)?0

即(x?y)2(x?y)?0

?x?y?0

又?x?y?14

?x?y?7

?面积为49cm2

4. 证明：n3?5n

?n3?n?6n ?n(n?1)(n?1)?6n

?当n为整数时，n(n?1)(n?16)是的倍数。 3?n?5n是6的倍数

abc?0， 5. 解：?用abc乘以第二个条件等式的两边，得：

a2c?a2b?ab2?b2c?bc2?ac2??3abc

即ab(a?b)?bc(b?c)?ac(a?c)?abc?abc?abc?0

?(a?b?c)(ab?bc?ac)?0

则a?b?c?0或ab?bc?ac?0

若ab?bc?ac?0

则(a?b?c)2?(a2?b2?c2)?2(ab?bc?ac)?0

?a2?b2?c2?1

?(a?b?c)2?1

?a?b?c??1

说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。

6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。

222222(ab??c)?4ab 解：?

222222?(a?b?c?2ab)(a?b?c?2ab)

2222[(a?b)?c][(a?b)?c] ?

?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)

?a,b,c为三角形三边，且由三角形两边之和大于第三边可知

a?b??c0，a?b??c0，a?b??c0，a?b??c0

?(a?b?c)?4ab?0

22222??ab?c?4ab22222

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第二篇：培优专题2 运用公式法进行因式分解(含答案)

2、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

    把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

    主要有：平方差公式                 

            完全平方公式             

            立方和、立方差公式   

    补充：欧拉公式：

   

                     

    特别地：（1）当时，有

    （2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。

    运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

    用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

  1. 把分解因式的结果是（    ）

    A.            B.

    C.                D.

    分析：。

    再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。

  2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

    例：已知多项式有一个因式是，求的值。

    分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。

    解：根据已知条件，设

    则

    由此可得

    由（1）得

    把代入（2），得

    把代入（3），得

  3. 在几何题中的应用。

    例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。

    分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

    解：

   

   

   

   

   

   

    为等边三角形。

 4. 在代数证明题中应用

    例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

    分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

    解：设这两个连续奇数分别为（为整数）

    则

   

    由此可见，一定是8的倍数。

5、中考点拨：

    例1：因式分解：________。

    解：

    说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

    例2：分解因式：_________。

    解：

    说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：

  例1. 已知：，

    求的值。

    解：

     

     

   

    原式

         

    说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

  例2. 已知，

    求证：

    证明：

    把代入上式，

    可得，即或或

    若，则，

   

    若或，同理也有

    说明：利用补充公式确定的值，命题得证。

  例3. 若，求的值。

    解：

    且

   

    又

    两式相减得

    所以

    说明：按常规需求出的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

【实战模拟】

  1. 分解因式：

（1）           （2）

（3）

2. 已知：，求的值。

3. 若是三角形的三条边，求证：

4. 已知：，求的值。

  5. 已知是不全相等的实数，且，试求

    （1）的值；（2）的值。

【试题答案】

  1. （1）解：原式

                  

                  

    说明：把看成整体，利用平方差公式分解。

    （2）解：原式

           

           

    （3）解：原式

            

  2. 解：

   

        

  3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。

    证明：

         

    是三角形三边

    且

   

    即

  4. 解

    ，即

   

  5. 分析与解答：（1）由因式分解可知

   

   故需考虑值的情况，

（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。

    解：（1）

   

    又

    

   

    而

    不全相等

   

   

    （2）

    原式

    而，即

    原式

         

         

    说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。