7、因式分解小结

【知识精读】

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。

【分类解析】

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的

例1. 分解因式x5?x4?x3?x2?x?1

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5?x4?x3和?x2?x?1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5?x4，x3?x2，x?1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式?(x5?x4?x3)?(x2?x?1)

?x3(x2?x?1)?(x2?x?1)

?(x3?1)(x2?x?1)

?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)

- 1 -

解二：原式=(x5?x4)?(x3?x2)?(x?1)

?x4(x?1)?x2(x?1)?(x?1)

?(x?1)(x4?x??1)

?(x?1)[(x?2x?1)?x]

?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)422

2. 通过变形达到分解的目的

例1. 分解因式x3?3x2?4

解一：将3x2拆成2x2?x2，则有

原式?x3?2x2?(x2?4)

?x2(x?2)?(x?2)(x?2)

?(x?2)(x?x?2)

?(x?1)(x?2)22

解二：将常数?4拆成?1?3，则有

原式?x3?1?(3x2?3)

?(x?1)(x2?x?1)?(x?1)(3x?3)

?(x?1)(x?4x?4)

?(x?1)(x?2)22

3. 在证明题中的应用

例：求证：多项式(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：(x2?4)(x2?10x?21)?100

?(x?2)(x?2)(x?3)(x?7)?100

?(x?2)(x?7)(x?2)(x?3)?100

?(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100

设y?x2?5x，则

原式?(y?14)(y?6)?100?y2?8y?16?(y?4)2

?无论y取何值都有(y?4)2?0

?(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数

- 2 -

4. 因式分解中的转化思想

例：分解因式：(a?2b?c)3?(a?b)3?(b?c)3

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

?原式?(A?B)3?A3?B3

?A3?3A2B?3AB2?B3?A3?B3

?3A2B?3AB2

?3AB(A?B)

?3(a?b)(b?c)(a?2b?c)

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨：

例1.在?ABC中，三边a,b,c满足a2?16b2?c2?6ab?10bc?0

求证：a?c?2b

证明：?a2?16b2?c2?6ab?10bc?0

?a2?6ab?9b2?c2?10bc?25b2?0

即(a?3b)2?(c?5b)2?0

(a?8b?c)(a?2b?c)?0

?a?b?c

?a?8b?c，即a?8b?c?0

于是有a?2b?c?0

即a?c?2b

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

11?2，则x3?3?__________ xx

111 解：x3?3?(x?)(x2?1?) xxx

11?(x?)[(x?)2?2?1]xx

?2?1 例2. 已知：x?

?2

- 3 -

说明：利用x2?

题型展示： 12?(x?)?2等式化繁为易。 2xx1

1. 若x为任意整数，求证：(7?x)(3?x)(4?x2)的值不大于100。

解：?(7?x)(3?x)(4?x2)?100

??(x?7)(x?2)(x?3)(x?2)?100

??(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100

??[(x2?5x)?8(x2?5x)?16]

??(x2?5x?4)2?0

?(7?x)(3?x)(4?x2)?100

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。

2. 将a2?(a?1)2?(a2?a)2分解因式，并用分解结果计算62?72?422。

解：a2?(a?1)2?(a2?a)2

?a2?a2?2a?1?(a2?a)2

?2(a2?a)?1?(a2?a)2

?(a2?a?1)2

?62?72?422?(36?6?1)2?432?1849

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

【实战模拟】

1. 分解因式：

（1）3x5?10x4?8x3?3x2?10x?8

（2）(a?3a?3)(a?3a?1)?5

（3）x2?2xy?3y2?3x?5y?2

（4）x?7x?6

322

- 4 -

2. 已知：x?y?6，xy??1，求：x3?y3的值。

3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使x3?x2y?xy2?y3?0，求矩形的面积。

4. 求证：n3?5n是6的倍数。（其中n为整数）

1111115. 已知：a、b、c是非零实数，且a2?b2?c2?1，a(?)?b(?)?c(?)??3，求a+b+cbccaab

的值。

6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2?b2?c2和4a2b2的大小。

- 5 -

【试题答案】

1. （1）解：原式?x3(3x2?10x?8)?(3x2?10x?8) ?(x3?1)(3x2?10x?8)

?(x?1)(x?x?1)(x?4)(3x?2)2

（2）解：原式?[(a2?3a)?3][(a2?3a)?1]?5

?(a2?3a)2?2(a2?3a)?8

?(a2?3a?4)(a2?3a?2)

?(a?4)(a?1)(a?1)(a?2)

（3）解：原式?(x?3y)(x?y)?3x?5y?2 ?(x?3y?1)(x?y?2)

1

2

（4）解：原式?7x3?6x3?7x?6

?7x3?7x?6x3?6

?7x(x2?1)?6(x3?1)

?7x(x?1)(x?1)?6(x?1)(x2?x?1)

?(x?1)(7x?7x?6x?6x?6)

?(x?1)(x2?x?6)

?(x?1)(x?3)(x?2)22

2. 解：?x2?y2?(x?y)2?2xy

?36?2

?38

?x3?y3?(x?y)(x2?xy?y2)

?6?(38?1)

?234

3. 解：?x3?x2y?xy2?y3?0

- 6 -

?(x3?y3)?xy(x?y)?0

即(x?y)2(x?y)?0

?x?y?0

又?x?y?14

?x?y?7

?面积为49cm2

4. 证明：n3?5n

?n3?n?6n

?n(n?1)(n?1)?6n

?当n为整数时，n(n?1)(n?1)是6的倍数。

?n?5n是6的倍数3

5. 解：?abc?0，用abc乘以第二个条件等式的两边，得：

a2c?a2b?ab2?b2c?bc2?ac2??3abc

即ab(a?b)?bc(b?c)?ac(a?c)?abc?abc?abc?0

?(a?b?c)(ab?bc?ac)?0

则a?b?c?0或ab?bc?ac?0

若ab?bc?ac?0

则(a?b?c)2?(a2?b2?c2)?2(ab?bc?ac)?0

?a2?b2?c2?1

?(a?b?c)2?1

?a?b?c??1

说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。

6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。

解：?(a2?b2?c2)2?4a2b2

?(a2?b2?c2?2ab)(a2?b2?c2?2ab)

?[(a?b)2?c2][(a?b)2?c2]

?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)

?a,b,c为三角形三边，且由三角形两边之和大于第三边可知

a?b?c?0，a?b?c?0，a?b?c?0，a?b?c?0

?(a?b?c)?4ab?0

?a2?b2?c2?4a2b222222

- 7 -

第二篇：因式分解

专题 因式分解

一、公式法

二、分组分解法

1．分组后能提取公因式

【例】把2ax?10ay?5by?bx分解因式．

【例】把ab(c2?d2)?(a2?b2)cd分解因式．

2．分组后能直接运用公式

【例】把x?y?ax?ay分解因式．

【例】把2x?4xy?2y?8z分解因式．

22222

三、十字相乘法

1．x?(p?q)x?pq型的因式分解

【例】把下列各式因式分解：

(1) x?7x?6(2) x?13x?36

【例】把下列各式因式分解：

(1) x?5x?24(2) x?2x?15

22222

【例】把下列各式因式分解：

(1) x2?xy?6y2(2) (x2?x)2?8(x2?x)?12

2．一般二次三项式ax?bx?c型的因式分解

【例】把下列各式因式分解：

(1) 12x?5x?2(2) 5x2?6xy?8y2

22

四、其它因式分解的方法

1．配方法

【例】分解因式x?6x?16

2．拆、添项法

【例】分解因式x?3x?4

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：

(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；

(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

练习：

A 组

1．把下列各式分解因式：

3(1) a?27(2) 8?m(3) ?27x?8 33322

(4) ?1

8p?31

64q(5) 8xy?3331

125(6) 1

216xy?331

27c 3

2．把下列各式分解因式：

(1) xy?x(2) x

2334n?3?xy 32232n3(3) a(m?n)?ab(4) y(x?2x)?y 2

3．把下列各式分解因式：

(1) x?3x?2(2) x?37x?36(3)x?11x?26

(4) x?6x?27(5) m?4mn?5n(6) (a?b)2?11(a?b)?28

4．把下列各式分解因式：

(1) ax?10ax?16ax(2) a

422543n?2222222?an?1b?6ab(3) (x?2x)?9 n222(4) x?7x?18(5) 6x?7x?3(6) 8x2?26xy?15y2

(7) 7(a?b)?5(a?b)?2(8) (6x?7x)?25

5．把下列各式分解因式：

22(1) 3ax?3ay?xy?y (2) 8x?4x?2x?1 (3) 5x?15x?2xy?6y 32222

22(4) 4a?20ab?25b?36 (5) 4xy?1?4x?y (6) ab?ab?ab?ab 22432224

(7) x?y?2x?1 (8) x(x?1)?y(xy?x)

B 组

1．把下列各式分解因式：

2222(1) ab(c?d)?cd(a?b)(2) x?4mx?8mn?4n 226632

43223(3) x?64(4) x?11x?31x?21(5) x?4xy?2xy?8y 32

2．已知a?b?

3．证明：当n为大于2的整数时，n?5n?4n能被120整除．

4．已知a?b?c?0，求证：a?ac?bc?abc?b?0． 32235323,ab?2，求代数式ab?2ab?ab的值． 2222