第四章 光的电磁波理论

4－1计算由表示的平面波电矢量的振动方向、传播方向、相位速度、振幅、频率、波长。

  解：由题意：

             

     ∴      ∴振动方向为：

   由平面波电矢量的表达式：            

      ∴传播方向为：                  

   平面电磁波的相位速度为光速：  m/s

   振幅： V/m

   频率： Hz

   波长： m

4－2 一列平面光波从A点传到B点，今在AB之间插入一透明薄片，薄片的厚度，折射率n＝1.5。假定光波的波长为nm，试计算插入薄片前后B点光程和相位的变化。

 解：设AB两点间的距离为d，未插入薄片时光束经过的光程为：

     插入薄片后光束经过的光程为：

     ∴光程差为：

     则相位差为：

4－3 试确定下列各组光波表示式所代表的偏振态：

 （1），

 （2），

 （3），

 解：（1）∵

         ∴

         ∴ 为右旋圆偏振光。

    （2）

        ∴ 为右旋椭圆偏振光，椭圆长轴沿y＝x

    （3）

        ∴ 为线偏振光，振动方向沿y＝－x

4－4 光束以30°角入射到空气和火石玻璃（n₂＝1.7）界面，试求电矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的反射系数和。

 解：入射角，由折射定律：    ∴

      ∴

      

4－5 一束振动方位角为45°的线偏振光入射到两种介质的界面上，第一介质和第二介质的折射率分别为n₁＝1和n₂＝1.5。当入射角为50°时，试求反射光的振动方位角。

解：，由折射定律：    ∴

    ∴

     

    ∴

    ∴反射光的振动方位角为：

4－6 光波在折射率分别为n₁和n₂的二介质界面上反射和折射，当入射角为时（折射角为），s波和p波的反射系数分别为和，透射系数分别为和。若光波反过来从n₂介质入射到n₁介质，且当入射角为时（折射角为），s波和p波的反射系数分别为和，透射系数分别为和。试利用菲涅耳公式证明：（1）；（2）；（3）；（4）  

 证明： （1）

           

       （2）

           

       （3）                  

           ∴

                

        （4）         

          ∴

                

                

                

4－7 如图，M₁、M₂是两块平行放置的玻璃片（n＝1.5），背面涂黑。一束自然光以布儒斯特角入射到M₁上的A点，反射至M₂上的B点，再出射。试确定M₂以AB为轴旋转一周时，出射光强的变化规律。

 解：由于M₁、M₂是两块平行放置的玻璃片，因此两镜的入射角均为，且有：

     

     

   由于两镜背面涂黑，所以不必考虑折射光的影响。

     对于M₁：

             

    因为是自然光入射，p、s分量光强相等。设入射自然光光强为I₀，沿AB的反射光强为I₁，则M₁的反射率为：

   对于M₂，假设在绕AB旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为，则将沿AB的入射光分解为p分量和s分量，其振幅分别为：

                  

 ∵入射角为

   ∴         

   ∴出射光的振幅为：         

   ∴最后的出射光强为：

4－8 望远镜之物镜为一双胶合透镜，其单透镜的折射率分别为1.52和1.68，采用折射率为1.60的树脂胶合。问物镜胶合前后的反射光能损失分别为多少？（假设光束通过各反射面时接近正入射）

 解：系统包括4个反射面，由于假设光束通过各反射面时接近正入射，则未胶合时，各面的反射率为：

 

            

            

            

   设入射到系统的光能为W，则通过该系统后的光能为：

         

     ∴光能损失为20％

  同理，胶合后各面的反射率为：

                 

                 

   通过该系统后的光能为：

         

      ∴光能损失为10.5％

4－9 如图，光束垂直入射到45°直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出。若入射光强为I₀，问从棱镜透出的光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，并且不考虑棱镜的吸收。

 解：光束经过三个反射面，通过第一个反射面和第三个反射面时均为垂直入射，其反射率为：

   

 在第二个反射面即棱镜的斜面上，入射角为45°。全反射的临界角为：

       

 ∴在棱镜斜面上发生全反射，反射光强等于入射光强。

 ∴从棱镜透出的光束的强度为：

4－10 如图，玻璃块周围介质的折射率为1.4。若光束射向玻璃块的入射角为60°，问玻璃块的折射率至少应为多大才能使透入光束发生全发射？

 解：设玻璃的折射率为n₂，则发生全发射的临界角为：

       ∴

  由图中几何关系，折射角

  由折射定律：

     ∴

     ∴

4－11 产生圆偏振光的穆尼菱体如图所示，若菱体的折射率为1.65，求顶角A。

  解：光束经过两次全反射，每次反射后s波和p波之间的位相差为：

       

   其中是入射角，n为相对折射率：

   出射后产生圆偏振光，则需要：

   ∴

  解得： 或

   ∵要发生两次全反射，则：     

由图中几何关系可知：  

 ∴       ∴不合题意

 ∴顶角A为

4－12 线偏振光在玻璃－空气界面上全反射，线偏振光电矢量的振动方向与入射面成一非零或π/2的角度。设玻璃的折射率n＝1.5，问线偏振光以多大角度入射才能使反射光s波和p波的位相差等于40°？

  解：∵

      ∴

      ∴

   解得： 或

4－13 如图所示是一根直圆柱形光纤，光纤芯的折射率为n₁，光纤包层的折射率为n₂，并且n₁ >n₂。（1）证明入射光的最大孔径角满足：；（2）若，，最大孔径角为多少？

 解：（1）如图，为保证光线在光纤内的入射角大于临界角，必须使入射到光纤端面的光线限制在最大孔径角范围内。由折射定律：

    

     ∵        ∴

∴

 （2）当，时：

      

       ∴最大孔径角为：

4－14 如图所示是一根弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为和（），光纤芯的直径为D，曲率半径为R。（1）证明入射光的最大孔径角满足：；（2）若，，，，则最大孔径角为多少？

 解：在中，有：

 

     ∴

     ∴

    ∵         ∴

    ∴

 （2）当，，，时：

     

    ∴最大孔径角为：

4－15 已知冕牌玻璃对0.3988μm波长光的折射率为n＝1.52546，μm^－1，求光在该玻璃中的相速和群速。

 解：相速度：m/s

群速度：

m/s

4－16 试计算下面两种色散规律的群速度（表示式中v是相速度）：

  （1）电离层中的电磁波，，其中c是真空中的光速，是介质中的电磁波波长，b是常数。

  （2）充满色散介质（，）的直波导管中的电磁波，，其中c是真空中的光速，是与波导管截面有关的常数。

 解：（1）∵            ∴

         ∵           ∴

         ∴

             

   （2）∵

        ∴

        ∴

        ∵       ∴

         ∴

4－17 设一平面光波的频率为Hz，振幅为1，t＝0时，在xOy面上的相位分布如图所示：等相位线与x轴垂直，的等相位线坐标为，随x线性增加，x每增加5μm，相位增加2π。求此波场的空间相位因子。

 解：∵x每增加5μm，相位增加2π

     ∴ m^－1

     ∵沿y轴的相位不变化    ∴ 

     ∴在xOy面上，t＝0时的相位应为：

   又∵处      ∴

    m^－1

∴该光波电场的空间相位因子为：

      

4－18 一个功率为40W的单色点光源发出的光波的波长为500nm，试写出该光波的波动公式。

 解：单色点光源发出的光波为球面波：

 离开点光源单位距离处的光强为： W/m²

 ∴离开点光源单位距离处的振幅为：V/m

     m^＝1

      

∴该光波的波动方程为：