第五章 光的偏振

1.试确定下面两列光波

的偏振态。

解：（1）

（2）

2．为了比较两个被自然光照射的表面的亮度，对其中一个表面直接进行观察，另一个表面通过两块偏振片来观察。两偏振片的透振化方向的夹角为。若观察到两表面的亮度相同，则两表面实际的亮度比是多少？已知光通过每一块偏振片后损失入射光能量的％。

解：，

则两表面实际的亮度比为：  

3．两个尼可耳和的夹角为，在它们之间放置另一个尼可耳，让平行的自然光通过这个系统。假设各尼克耳对非常光均无吸收，试问和的夹角为何值时，通过系统的光强最大？设入射光的强度为，求此时所能通过的最大光强。

解：设和的夹角为，光通过尼可耳的光强度    

通过尼可耳的光强度 

通过尼可耳的光强度 

要使得最大，只要 即可。

可以看出，。此时所能通过的最大光强为

4．在两个正交的理想偏振片之间有一个偏振片以均匀角速度绕光的传播方向旋转，若入射的自然光强为，试证明透射光强为

证明：根据马吕斯定律，通过第一个偏振片的光强度

通过中间偏振片的光强度  

通过最后一个偏振片的光强度

5．线偏振光入射到为1.732的玻璃上，入射角是，入射光的电矢量与入射面成角，求由分界面上反射的光强占入射光强的百分比。

解：根据折射定律       得：

再根据菲涅耳公式

6．一线偏振光垂直入射到一方解石晶体上，它的振动面和主截面成角。两束折射光通过在方解石后面的一个尼可耳棱镜，其主截面与入射光的振动方向成角，计算两束投射光的相对强度。

解：偏振光通过晶体后射出的两线偏振光光强分别为：

，  

若振动面与尼科耳主截面在晶体主截面两侧时，通过尼科耳后

若振动面与尼科耳主截面在晶体主截面同侧时，通过尼科耳后

7．线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成角，求：（1）透射过来的寻常光和非常光的相对强度为多少？（2）用钠光入射时如要产生的相位差，波片的厚度应为多少？

解：（1）寻常光和非常光的强度分别为

，   

（2）在波片中两束光的相位差为

由此得：  

8．有一块平行石英片是沿平行光轴方向切出的，要把它切成一块黄光的波片，问这块石英片应切成多厚？石英的。

解：波片应该满足关系

9．（1）线偏振光垂直入射到一个表面和光轴平行的波片，透射出来后，原来在波片中的寻常光及非常光产生了大小为的相位差，问波片的厚度为多少？已知；（2）问这块波片应怎样放置才能使透射出来的光是线偏振光，而且它的振动面和入射光的振动面成角？

解：（1）在波片中两束光的相位差为

（2）线偏振光垂直入射到半波片透射光是振动面从原来的方位转过的线偏振光。

10．线偏振光垂直入射到一块表面平行于光轴的双折射波片，光的振动面和波片光轴成角，问波片中的寻常光和非常光透射出来后的相对强度如何？

解：寻常光和非常光的强度分别为

，   

11．在两个正交尼可耳棱镜和之间垂直插入一块波片，发现后面有光射出。但当绕入射光向顺时针转过后，的视场全暗。此时把波片也绕入射光顺时针转过，的视场全亮了。问（1）这是什么是什么性质的波片；（2）要转过多大角度才能使的视场又变为全暗。

解：（1）视场由亮变暗，或由暗变亮。说明透过波片的光为线偏振光，所以波片为 波片。

（2）线偏振光垂直入射到半波片透射光是振动面从原来的方位转过的线偏振光。在和之间垂直插入一块波片后使的线偏振光光振动面方位转过。再把波片也绕入射光顺时针转过，那么现在的从波片透射出来的线偏振光的振动面将与为。要转过时才能使的视场又变为全暗。

12．一束圆偏振光，（1）垂直入射到波片上，求透射光的偏振态；（2）垂直入射到波片上，求透射光的偏振态。

解：（1）一束圆偏振光，垂直入射到波片上，透射光是振动方向与晶片主截面之间成角的线偏振光。

（2）一束圆偏振光，垂直入射到波片上，使的两束相互垂直的寻常光和非常光引入的附加相位差为

再把寻常光和非常光合成

所以透射光为椭圆偏振光。

13．试证明一束左旋圆偏振光和一束右旋圆偏振光，当它们的振幅相等时，合成的光是线偏振光。

证明：左旋圆偏振光可表示为

右旋圆偏振光可表示为

合成有

此即为平面偏振光。

14．设一方解石波片沿平行光轴方向切出，其厚度为0.0343mm，放在两个正交的尼可耳棱镜间。平行光束经过第一尼可耳棱镜后，垂直地射到波片上，对于钠光（589.3nm）而言。晶体的折射率为，。问通过第二尼可耳棱镜后，光束发生的干涉是加强还是减弱？如果两个尼可耳棱镜的主截面是互相平行的，结果又如何？

解：（1）两个尼可耳棱镜正交时，波片引入的相位差

通过第二尼可耳棱镜后，光束发生的干涉的光强

干涉减弱

（2）两个尼可耳棱镜平行时，波片引入的相位差

过第二尼可耳棱镜后，光束发生的干涉的光强

干涉加强

15．单色光通过一尼可耳，然后射到杨氏干涉实验装置的两个细缝上，问：（1）尼可耳的主截面与图面应成怎样的角度才能使光屏上的图样中的暗条纹为最暗？（2）在上述情况下，在一个细缝前放置一半波片，并将这半波片绕着光线方向继续旋转，问在光屏上的干涉图样有何变化？

解：（1）由于尼可耳很薄，故引入的附加光程差可以不计，则干涉条纹的光强分布为：

要使得图样中的暗条纹为最暗，应该满足两相干光的振幅相等，振动方向一致，那么就应该使尼可耳的主截面与图面垂直。

（2）线偏振光垂直入射到半波片透射光是振动面从原来的方位转过的线偏振光。为与半波片主截面的夹角。

当时，出射光的振动面与入射面相互垂直，也就是相叠加的两束光振动方向相互垂直，故叠加的结果是

当时，出射光的振动面与入射面相一致，也就是相叠加的两束光振动方向一致，故此时为可见度最大的相干叠加。

16．单色平行自然光垂直入射在杨氏双缝上，屏幕上出现一组干涉条纹。已知屏上两点分别对应零级亮纹和零级暗纹，B是AC的中点，如题5.16图所示，试问（1）若在两缝后放一理想偏振片P，屏上干涉条纹的位置、宽度会有何变化？A、C两点的光强会有何变化？（2）在一条缝的偏振片后放一片光轴与偏振片透光方向成的半波片，屏上有无干涉条纹？A、B、C各点的情况如何？

解：（1）由于尼可耳很薄，故引入的附加光程差可以不计，所以屏上干涉条纹的位置、宽度不会改变，只是条纹亮度减半。根据公式：  

（2）线偏振光垂直入射到半波片透射光是振动面从原来的方位转过的线偏振光。 为与半波片主截面的夹角（在这里）。可见两束想叠加光的振动方向是互相垂直的，所以无干涉条纹。

根据两振动方向相互垂直的两线偏振光叠加的关系式

17．厚度为0.025mm的方解石波片，其表面平行于光轴，放在两个正交的尼可耳棱镜之间，光轴与两个尼可耳各成。如果射入的光的波长为的可见光，问透过第二个尼可耳的光中，少了那些波长的光。

解：方解石波片引入的附加光程差为

因为两尼可耳棱镜是正交的，所以出射光的强度为

可以计算得出，；

；

；

；

.

第二篇：光学教程答案(第五章)

1. 试确定下面两列光波

E₁=A₀[e_xcos（wt-kz）+e_ycos（wt-kz-π/2）]

E₂=A₀[e_xsin（wt-kz）+e_ysin（wt-kz-π/2）]

的偏振态。

解 ：E₁ =A₀[e_xcos(wt-kz)+e_ycos(wt-kz-π/2)]

             =A₀[e_xcos(wt-kz)+e_ysin(wt-kz)]   为左旋圆偏振光

E₂ =A₀[e_xsin(wt-kz)+e_ysin(wt-kz-π/2)]

=A₀[e_xsin(wt-kz)+e_ycos(wt-kz)]    为右旋圆偏振光

. 为了比较两个被自然光照射的表面的亮度，对其中一个表面直接进行观察，另一个表面通过两块偏振片来观察。两偏振片透振方向的夹角为60^°。若观察到两表面的亮度相同，则两表面的亮度比是多少？已知光通过每一块偏振片后损失入射光能量的10%。

　

解∶∵亮度比 = 光强比

　

设直接观察的光的光强为I₀,

　

入射到偏振片上的光强为I，则通过偏振片系统的光强为I'：

　

I'=(1/2)I (1-10%)cos²60⁰?(1-10%)

　

因此：

∴ I₀/ I  = 0.5×(1-10%)cos²60⁰?(1-10%) = 10.125%.

3. 两个尼科耳N₁和N₂的夹角为60^°，在他们之间放置另一个尼科耳N₃，让平行的自然光通过这个系统。假设各尼科耳对非常光均无吸收，试问N₃和N₁ 的偏振方向的夹角为何值时，通过系统的光强最大？设入射光强为I₀，求此时所能通过的最大光强。

解：

 

4. 在两个理想的偏振片之间有一个偏振片以匀角速度ω绕光的传播方向旋转（见题5.4图），若入射的自然光强为I₀，试证明透射光强为

                                   I =I₀（1-cos4ωt）.

解: I  = I₀ cos²ωt cos²（-ωt） =  I₀cos²ωtsin² ωt =  I₀  

= I₀（1-cos4ωt）

`

5. 线偏振光入射到折射率为1.732的玻璃片上，入射角是60^°，入射光的电失量与入射面成30^°角。求由分界面上反射的光强占入射光强的百分比。

解：由电矢量在入射面的投影为A_n = I₀ cos²30^°  A_⊥= A₀sin30^°

即I_n = I₀ cos²30^° = 3/4I₀  I_s1 = I₀ cos²60^° = 1/4I₀

理论证明i_s = I_b = arctan= arctan1.732 = 60⁰为布儒斯特角

∴反射光为只有垂直分量的线偏振光（相对入射面来说）

依据菲涅耳公式 

6.一线偏振光垂直入射到一方解石晶体上，它的振动面和主截面成30^°角。两束折射光通过在方解石后面的一个尼科耳棱镜，其主截面与入射光的振动方向成50⁰角。计算两束透射光的相对强度。

解：①当入射光振动面与尼科耳主截面分居晶体主截面同侧时

　

②当入射光振动面与尼科耳主截面分居晶体主截面两侧时

　

7. 线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成30⁰角。求：（1）透射出来的寻常光和非常光的相对强度为多少？（2）用钠光入射时如要产生90⁰的相位差，波片的厚度应为多少？（λ=589nm）

解：①

② 

8. 有一块平行石英片是沿平行于光轴方向切出的。要把它切成一块黄光的波片，问这块石英片应切成多厚？石英的n= 1.552, n= 1.543, λ = 589.3nm

9. (1) 线偏振光垂直入射到一个表面和光轴平行的波片，透射出来后，原来在波片中的寻常光及非常光产生了大小为π的相位差，问波片的厚度为多少？已知n= 1.5533, n= 1.5442, λ = 500nm；（2）问这块波片应怎样放置才能使透射出来的光是线偏振光，而且它的振动面和入射光的振动面成90⁰角？

解：①

② 由①可知该波片为1/2波片，要透过1/2波片的线偏振光的振动面和入射光的振动面垂直

即：

10.     线偏振光垂直入射到一块表面平行于光轴的双折射波片，光的振动面和波片光轴成25⁰角，问波片中的寻常光透射出来的相对强度如何？
解：将入射的线偏振光分别向x,y方向投影

得:                       

11     在两个正交尼科耳棱镜N₁和N₂之间垂直插入一块波片，发现N₂后面有光射出，但当N₂绕入射光向顺时针转过20⁰后，N₂的视场全暗，此时，把波片也绕入射光顺时针转过20^0，N₂的视场又亮了。问（1）这是什么性质的波片；（2）N₂要转过多大的角度才能使N₂的视场又变为全暗。

 解：（1）视场由亮变暗，或由暗变亮。说明位相有的突变，这个波晶片是一个1/2波片。

（2）若入射时振动面和晶体主截面之间交角为，则透射出来的平面偏振光的振动面从原来方位转过，这里。

 要转过时才能使的视场又变为全暗。

12    一束圆偏振光，（1）垂直入射到波片上，求透射光的偏振状态；（2）垂直入射到波片上，求透射光的偏振状态。
解：1）圆偏振光可以看成相互垂直的两条线偏振光的合成，两者之间位相差为π/2 再经λ/4波片后，它们相位差又增了π/2，这样两线偏振光的位相差为π/2+π/2＝π，合成为线偏振光，所以一束圆偏振光经1/4波片后合成为线偏振光。

2）圆偏振光经1/8波片后成为椭圆偏振光。位相差为π/2。

13.     试证明一束左旋圆偏振光和一束右旋圆偏振光，当它们的振幅相等时，合成的光是线偏振光。

证明：左、右旋圆偏振光的振动表达式分别为：

E₁=A₀[e_xcos（wt-k₁z）+e_ycos（wt-k₁z）]

E₂=A₀[e_xsin（wt-k₂z）+e_ysin（wt-k₂z）]

这说明光路上任一点振动的x分量和y分量对时间有相同的依赖关系，它们都决定于

因此它们是同相位的，这说明它们合成的是线偏振光。

14.     设一方解石波片沿平行光轴方向切出，其厚度为0.0343mm，放在两个正交的尼科耳棱镜间。平行光束经过第一尼科耳棱镜后，垂直地射到波片上，对于钠光（589.3nm）而言。晶体的折射率为n= 1.486,n= 1.658,问通过第二个棱镜后，光束发生的干涉是加强还是减弱？如果两个尼科耳棱镜的主截面是相互平行的，结果又如何？

解：
①当两个尼科耳棱镜垂直时，透射光强度是：

由 可得代入上式可得因此是减弱
②当两个尼科耳棱镜平行时，透射光强度是：
同理可得：因此光强加强。

16     单色平行自然光垂直入射在杨氏双缝上，屏幕上出现一组干涉条纹。已知屏上A、C两点分别对应零级亮纹和零级暗纹，B是AC的中点，如题5.16图所示，试问：（1）若在双缝后放一理想偏振片P，屏上干涉条纹的位置、宽度会有如何变化？（2）在一条缝的偏振片后放一片光轴与偏振片透光方向成45⁰的半波片，屏上有无干涉条纹？A、B、C各点的情况如何？

解：①若在双缝后放一理想偏振片不会影响S₁与S₂之间的原有光程差，

所以原有干涉条纹的位置和宽度都不变，由于自然光经过偏振片后光强减半，所以A减光强有变化，C减是暗纹，光强仍为O不变，I_A=++=4=0

②若在一条缝的偏振片后放一片光轴与偏振片透光方向成45⁰的半波片，则透过半波片的线偏振光的振动方向偏转了与未经半波片的线偏振光的振动方向垂直，使两束光的迭加不满足振动方向接近一致的相干条件。

17.     厚度为0.025mm的方解石波片，其表面平行与光轴，放在两个交的尼科耳棱镜之间，光轴与两个尼科耳各成45⁰，如果射入第一个尼科耳的光是波长为400nm-700nm可见光，问透过第二个尼科耳的光中，少了那些波长的光？

解：由题意知凡是未通过第二个尼科耳棱镜的光都是与第二个尼科耳垂直的光

即∵ρ₁⊥ρ₂  α-θ = π/2

说明

又因为

所以的光未透过第二个尼科耳棱镜

因此在可见光范围内少了以下波长的光：

18.     把一块切成长方体的KDP晶体放在两个正交的偏振片之间组成一个普克尔斯效应的装置。已知电光常数γ=1.06*10^-11，寻常光在该晶体中的折射率,n= 1.51，若入射光0的波长为550nm试计算从晶体出射的两束线偏振光相位差为π时，所需加在晶体上的纵向电压（叫做半波电压）。

解：线偏振光的相位差公式：

19．将厚度为1mm且垂直于光轴切出的石英片放在两个平行的,尼科耳棱镜之间，使从第一个尼科耳出射的光垂直射到石英片上，某一波长的光波经此石英片后，振动面旋转了20⁰。问石英片厚度为多少时,该波长的光将完全不能通过。

解：沿垂直于光轴方向切出的石英片为旋光镜片，当出射光矢量与入射光矢量垂直时，则光不能通过N2，即欲使光不能通过N2，使N1出射的光束经晶片后又转过(2k+1)π/2，此时该光束的振动面与N2的主界面垂直，亦即φ₂=(2k+1)90°，

且φ₁ = αd₁ = 20°   所以d₂ = (2k+1) · 0.45cm

20.   试求使波长为509nm的光的振动面旋转150⁰的石英片厚度。石英对这种波长的旋光度为29.7⁰mm^-1
　

解：

21 将某种糖配置成浓度不同的四种溶液：100cm³溶液中分别含有30.5克、22.76克、29.4克和17.53克的糖。分别用旋光量糖计测出它们每分米溶液转过的角度依次是49.5⁰、36.1⁰、30.3^0、、和26.8⁰。根据这些结果算出这几种糖的旋光率的平均值是多少？

22.   如图题5.22所示装置中，S为单色光源置于透镜L的焦点处，P为起偏器，L₁为此单色光的1/4波片，其光轴与偏振器的透振方向成α角，M为平面反射镜。已知入射偏振器的光束强度为I₀，试通过分析光束经过各元件后的光振动状态，求出光束返回后的光强I。各元件对光束的损耗可忽略不计

解：单色光源S发出的光经过透镜L后变为平行光，光强为I₀.经P后为线偏振光，光强为经1/4波片后，成为椭圆或圆偏振光，因各种元件对光束的损耗可忽略不计，所以光强不变只是振动方向偏转了角。经M平面镜反射，光强仍为只是发生了左右对换，偏转角还是，所以发射光还是圆或椭圆偏振光。

反射椭圆偏振光再经1/4波片后变为线偏振光，振动方向又增加了角，所以反射线偏振光的振动方向与起偏器P的透振方向夹角为，强度不 变。

根据马吕斯定律，反射线偏振光再经P返回后的光强为：

23.   一束椭圆偏振光沿Z方向传播，通过一个线起偏器，当起偏器透振方向沿X方向时，透射强度最大，其值为1.5I₀；当透振方向沿Y方向时，透射强度最小，其值为I₀。（1）当透振方向与X轴成θ角时，透射光的强度为多少？（2）使原来的光束先通过一个1/4波片后再通过线起偏器，1/4波片的光轴沿x方向。现在发现，当起偏器透光轴与x轴成30⁰角时，透过两个元件的光强最大，求光强的最大值，并确定入射光强中非偏振成分占多少？

24.   有下列几个未加标明的光学元件：（1）两个线偏振器；（2）一个1/4波片；（3）一个半波片；（4）一个圆偏振器，除了一个光源和一个光屏外不借助其它光学仪器，如何鉴别上述光学元件。
解：首先，透过这五个元件观察光源光强不变的为1/4波片和半波片；光强减半的为两个线偏振器和圆偏振器。然后，把这三个光强减半的器件两两组合，透过该光学系统观察光源，若光强变暗且有消光现象的则为两个线偏振器的组合，由此鉴别出两个线偏振器，且剩余的一个为圆偏振器；然后，分别把两个波片放到两个偏振器之间，并旋转靠近眼睛的那个偏振器，透过该光学系统观察光源，若有消光现象则为半波片；反之，为1/4波片

25.   一束汞绿光以60⁰角入射到磷酸二氢钾（KDP）晶体表面，晶体的n=1.470,n=1.512,设光轴与晶面平行，并垂直于入射面，试求晶体中o光与e光的夹角。

解：已知

根据公式

可得  

由上两式可得

由此可得：光与光的夹角

26.   通过尼科耳棱镜观察一束椭圆偏振光时，强度随尼科耳棱镜的旋转而改变，当强度为极小值时，在尼科耳棱镜（检偏器）前插入一块1/4波片，转动1/4波片使它的光轴平行于检偏器的透振方向，再把检偏器沿顺时针方向转动20⁰就完全消光。问（1）该椭圆偏振光是右旋还是左旋的？（2）椭圆长短轴之比是多少？

解：尼科耳转至光强最小处，则主截面方向即为入射光的短轴方向。N1为短轴方向。

l/4片光轴与N1主截面平行，故短轴上的振动为e光，长轴为o光。

N2与N1顺差20°时全暗，说明经l/4片后的线偏振光的振动面在逆时针转70°的位置上（二、四象限）。说明o光的位相落后于e光p（或－p）。即d＝p（或－p）。

因为线偏振光在70°的方向上，故入射椭圆的长短轴之比Ay/Ax=tan70°。

石英是正晶体，经l/4片后，e光的位相落后于o光p/2，即d2＝－p/2。因此，入射到l/4片的光所具有的初始位相为d1＝d－d2＝－3p/2（或p/2）。此为一个右旋的椭圆偏振光。

综合以上结果有：在未放l/4片时的入射光偏振态为：一个右旋椭圆偏振光，长短轴之比为Ay/Ax=tan70°，短轴方向在N1主截面方向。

27.   推导出长短轴之比为2:1，长轴沿Ｘ轴的右旋和左旋椭圆偏振光的琼斯矢量，并计算两个偏振光叠加的结果．

解：对于长、短轴之比为2:1，长轴沿x轴的右旋椭圆偏振光的电场分量为

故    

这一偏振光的归一化琼斯矢量为

若为左旋椭圆偏振光，，故其琼斯矢量为

两偏振光叠加的结果为：

合成波为光矢量沿x轴的线偏振光，其振幅为椭圆偏振光x分量振幅的2倍。