第二章    平面向量

1、向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度（模）．

零向量：长度为的向量叫零向量,记作：．零向量的方向是任意的

单位向量：长度等于个单位的向量．(与共线的单位向量是)；

平行向量（共线向量）：：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

注意：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性（因为有)；

④三点共线共线；

相等向量：长度相等且方向相同的向量．相等向量有传递性

相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______

（答：（4）（5））

2.向量的表示方法：

（1）几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

（2）符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

（3）坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．

（几何意义：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

⑷运算性质：①交换律：；

②结合律：；

③．

⑸坐标运算：设，，则．

4、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．（注意：此处减向量与被减向量的起点相同）

⑵坐标运算：设，，

则．

设、两点的坐标分别为，，              则．

5、向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量，记作．

①；

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

⑵运算律：①；②；③．

⑶坐标运算：设，则．

6、向量共线定理：

向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．

设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．

7、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底

例：（1）若，则_______      （答：）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

 A.     B.

 C.     D.        （答：B）；

8、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．

9、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，

称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即＝

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不是向量。

（3）平面向量的数量积的性质：设和都是非零向量，其夹角为

则①．

②当与同向时，；当与反向时，；或．

③．

（4）运算律：①；

②；

③．

（5）坐标运算：设两个非零向量，，则．

若，则，或．

（6）向量垂直的充要条件： ．

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则

．

10、在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。

11、平移公式：如果点按向量平移至，则；

曲线按向量平移得曲线.

12、重心问题：为的重心；

重心坐标公式：在中，若，则其重心的坐标为。

正余弦定理

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

2、正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；

③；

④．

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，，

．

5、余弦定理的推论：，，．

6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；

②若，则；③若，则．

7、射影定理：

 8、解三角形常用三角关系式：

    ;

   

   

9、判断三角形形状的方法：化边为角；化角为边

   注：（1）判断一个三角形为等腰三角形时，要进一步讨论它是否可能是等边三角形或者等腰直角三角形

      （2）在中，由不一定有

因为

第二篇：正、余弦定理与数列知识点总结

正、余弦定理与数列知识点总结

一、正弦定理

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有______=________=________=2R．

2、正弦定理的变形公式：①，b=________，c=_________；

②，sinB=____________，sinC=__________；

③ a:b:c=sinA:____:______；

④．

题1： 在中，一定成立的等式是（    ）．

A．      B.

C.       D.

题2：已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于           ．

二、面积公式

3、三角形面积公式：．

.

4、海伦公式：

5、其中，：内切圆半径。

题3：已知三角形ABC中，，求（1）三角形的面积;

(2)外接圆面积；  (3)内切圆面积。

三、余弦定理

6、余弦定理：在中，有，

b²=_____________________，__________________________  ．

7、余弦定理的推论：，，．，

，.

8、设、、是的角、、的对边，则：

①若，则；

②若，则；

③若，则．

题：1. 在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于(　　)

A．1          B.           C．2           D．4

2．三角形三边长为a，b， (a>0，b>0)，则最大角为________．

3．在△ABC中，已知面积S＝(a²＋b²－c²)，则角C的度数为(　　)

4.如图，在四边形中，已知,， , , ，求的长.

四、数列及相关概念

9、数列：按照一定顺序排列着的一列数．数列的项：数列中的每一个数．

10、有穷数列：项数有限的数列．

11、无穷数列：项数无限的数列．

12、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

13、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

14、常数列：各项相等的数列．

15、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

16、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

17、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

题：1.写出下列数列的一个通项公式，

（1） 

（2）

2. .已知数列，，则 _____

五、等差数列的通项公式

18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

19、(1)由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

(2)若三个数成等差数列，一般可以设三个数为。

20、若等差数列的首项是，公差是，则．

21、通项公式的变形：①；②；

③ ；④；⑤．

22、若是等差数列，且（、、、），则；

若是等差数列，且（、、），则．

题：1. 已知数列的前n项和，数列的前n项和，

（1）若，求的值；

（2）取数列中的第1项, 第3项, 第5项, 构成一个新数列, 求数列的通项公式.

2．已知数列｛｝的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

3.等差数列｛｝中,,则________.

4.数列满足（），设,

（1）判断数列是等差数列吗？试证明。

（2）求数列的通项公式