专题讲解——二次函数的图象

知识点回顾：

1. 二次函数解析式的几种形式：

①一般式：y?ax2?bx?c（a、b、c为常数，a≠0）

2y?a(x?h)?k（a、 ②顶点式：h、k为常数，a≠0），其中（h，

k）为顶点坐标。

③交点式：y?a(x?x1)(x?x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程ax2?bx?c?0的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数y?ax2?bx?c的图象

y?ax2?bx?c的图象是对称轴平行于（包括重合） ①二次函数

y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。 ②任意抛物线y?a(x?h)2?k可以由抛物线y?ax2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画y?ax2?bx?c的图象时，可以先配方成y?a(x?h)2?k的形式，然后将y?ax2的图象上（下）左（右）平移得到所求图

2象，即平移法；也可用描点法：也是将y?ax?bx?c配成

y?a(x?h)2?k的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

3. 二次函数的性质

4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法

①配方法：将解析式y?ax2?bx?c化为y?a(x?h)2?k的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x?h，若a＞0，y有最小值，

y最小值?ky最大值?k当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。

b4ac?b2?，4a ②公式法：直接利用顶点坐标公式（2a

x??b

2a），求其顶点；对称轴是直线，若

有最大值，b4ac?b2a?0，y有最小值，当x??时，y最小值?；2a4a若a?0，y

b4ac?b2

x??时，y最大值?2a4a当

5. 抛物线与x轴交点情况：

对于抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)

①当??b2?4ac?0时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。

②当??b2?4ac?0时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

③当??b2?4ac?0时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。

第二篇：二次函数知识点总结及典型练习

二次函数知识点总结

一.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

练习：当m取何值时，函数是是二次函数？          

二、几种特殊的二次函数的图像特征如下：

二次函数的最值问题

(1)一般式:y=ax²+bx+c中,当a>0时,x=___________,y_最小=___________;当a<0时,x=___________,y_最大=___________.

(2)顶点式:,若a>0,当x=___________,y_最小=___________;若a<0,当x=___________,y_最大=___________.

练习：1．二次函数y=(x-1)²+2的最小值是(    )

A.-2                   B.2               C.-1             D.1

2．已知抛物线y=x²＋（m－1）x－的顶点的横坐标是2，则m的值是              ．

3．已知抛物线y=x²－（a＋2）x＋12的顶点在x=－3上，求a的值及顶点的坐标．

4、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c的值

三、二次函数图象的平移：将抛物线解析式转化成顶点式，观察顶点的变化

1．抛物线可由抛物线（     ）而得到。

A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；

B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位；

C．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位；

D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位。

2．抛物线y=x²＋ax＋b向左平移2个单位再向上平移3个单位得到抛物线y=x²－2x＋1，则（   ）

A．a=2，b=－2    B．a=－6，b=6   C．a=－8，b=14  D．a=－8，b=18

四、函数的增减性

1.已知(-2,y₁),(-1,y₂),(3,y₃)是二次函数y=x²-4x+m上的点,则y₁,y₂,y₃从小到大用 “<”排列是            .

五.用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

1.已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。

2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。

3．如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△AOB绕点O顺时针转90°得到△A₁OB₁.

(1)在图中画出△A₁OB₁;

(2)求经过A、A₁、B₁三点的抛物线的解析式.

六．a,b,c, b²-4ac,a+b+c,a-b+c等符号的确定

1. 二次项系数：当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下

2.一次项：决定了抛物线的对称轴．的符号：“同左异右”

3. 常数项：与y轴的交点位置。

4.：与x 轴的交点个数

5.类：

1．y=ax+b与y=ax²+bx（ab≠0）的图象在同一坐标系中位置大致是（  ）

2．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示,下面结论:

(1)a+b+c<0;       (2)a-b+c>0;

(3)abc>0;         (4)b=2a.

其中正确的结论有(       )

A.4个     B.3个       C.2个         D.1个

3．已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如右上图所示，给出以下结论：① a+b+c<0；②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0；⑤其中所有正确结论的序号是（   ）

A．②③④        B．②③⑤       C．①④⑤   D．①②③

七.直线与抛物线的交点

（1）轴与抛物线得交点为(0, ).

（2）抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.

（3）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定：

1．抛物线y=x²+2x-3与x轴的交点的个数有(       )

A.0个                 B.1个    C.2个       D.3个

2．已知二次函数y=2x²-mx-m².

(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;

(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.

八．求当x为何值时，y>0,y=0,y<0

1、抛物线如图所示：当=________时，=0，当<-1，或>3时，_______0；

当-1<<3时，______0；当=_______时，有最______值。

2．抛物线y=-x²+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点．

    （1）求出m的值并画出这条抛物线；

    （2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；

    （3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？

（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？

3．已知函数y=x²-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（     ）

A．-1≤x≤3                 B．-3≤x≤1     

C．x≥-3                            D．x≤-1或x≥3