第18章  勾股定理复习

一．知识归纳

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：，，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　

大正方形面积为

所以

方法三：，，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在中，，则，，

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

５.勾股定理的逆定理

　如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边

　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边

　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

６.勾股数

　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等

③用含字母的代数式表示组勾股数：

　（为正整数）；

　　（为正整数）

（，为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８.．勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．

常见图形：

题型一：直接考查勾股定理

例１.在中，．

　⑴已知，．求的长

⑵已知，，求的长

分析：直接应用勾股定理

解：⑴

⑵

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.

⑴在中，，，，于，＝　　　　

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　

⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　　

分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解

解：

⑴，

⑵设两直角边的长分别为，，，

⑶设两直角边分别为，，则，，可得

例３.如图中，，，，，求的长

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来

解：作于，

，

　

　在中

　

　在中，

　，

例4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

答案：6

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了　　　　　

分析：根据题意建立数学模型，如图，，，过点作，垂足为，则，

在中，由勾股定理得

答案：

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三边长为，，，判定是否为

①，，　　②，，

解：①，

　　是直角三角形且

②，，不是直角三角形

例7.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？

解：此三角形是直角三角形

理由：，且

　所以此三角形是直角三角形

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知中，，，边上的中线，求证：

证明：

为中线，

在中，，，

，，，

第二篇：思修常见题型总结

思修常见题型总结

1.当代大学生成才的目标是什么？答：（1）成为德智体美全面发展的社会主义事业建设者和接班人。（2）德是人才素质的灵魂。（3）智是人才素质的基本内容。（4）体是人才素质的基础。

（5）美是人才素质的综合体现。

2.如何把握社会主义核心价值体系的科学内涵？答：马克思主义指导思想，中国特色社会主义理想，以爱国主义为核心的民族精神和以改革创新为核心的时代精神，社会主义荣辱观，构成社会主义核心价值体系的基本内容。

3.什么是理想？答：在一定意义上讲，理想是人们在实践中形成的有可能实现的，对未来自身发展的向往与追求，是人们的世界观、人生观和价值观在奋斗目标的集中体现。

4.什么是信念？答：信念是认知情感和意志的有机统一体，是人们在一定的认识基础生确立的对某种思想或事物坚信不疑并身体力行的心理态度和精神状态。

5.如何在实践中化理想为现实？答：（1）正确认识理想与现实的关系是实现理想的思想基础。

（2）坚定的信念是实现理想的重要条件。（3）勇于实践 艰苦奋斗是实现理想的根本途径。

6.什么是爱国主义？答：爱国主义体现了人民群众对自己祖国的深厚感情，反映了个人对祖国的依存关系，是人们对自己故土家园、民族和文化的归属感 认同感 尊严感与荣誉感。

7.爱国主义的优良传统包括那些？答：（1）热爱祖国，矢志不渝。（2）天下兴亡，匹夫有责。

（3）维护统一，反对分裂。（4）同仇敌忾，抗御外侮。

8.爱国主义与经济全球化的关系？答：爱国主义并没有也不会过时。在经济全球化的条件下，国家仍然是民族存在的最高组织形式，是国际社会活动中的独立体。只要国家继续存在，爱国主义就其坚实的基础和丰富的意义，我们在参与经济全球化的过程中，必须坚定地捍卫自己国家利益，这就需要爱国主义的支撑。

9.中华民族精神的核心是什么？答：爱国主义是中华民族精神的核心。

10.时代精神的核心是什么？答：改革创新是时代精神的核心。

11.人生观的核心是什么？答：（1）人生目的决定人生道路。（2）人生目的决定人生态度。（3）人生目的决定人生价值标准。（4）这三方面相辅相成，其中人生目的是人生观的核心。

12.什么是人生态度？答：所谓人生态度，是指人们通过生活实践形成的对人生问题的一种稳定的心理倾向和基本意愿。

13.我们要反对哪几种错误的人生观？答：（1）反对拜金主义人生观（2）反对享乐主义人生观

（3）反对个人主义人生观

14.社会主义道德建设的核心和原则是什么？答：社会主义道德建设要以为人民服务为核心，以集体主义为原则。

15.公民的道德是什么？公民道德是一个国家的公民应当遵守的最基本的道德规范要求。

16.我国公民道德建设的重点是什么？答：诚实守信是公民道德建设的重点。

17.为什么说公共生活需要公共秩序？答：（1）有序的公共生活是构建和谐社会的重要条件。（2)有序的公共生活是经济社会健康发展的必要前提。（3）有序的公共生活是提高社会成员生活质量的基本保证（4）有序的公共生活是国家现代化和文明程度的重要标志。

18.维护公共秩序的基本手段包括那些方面？答：道德和法律逐渐成为建设和维护社会秩序的两种基本手段。

19.什么是社会公德？答：社会公德是指人们在社会交往和公共生活应该遵守的行为准则。

20.网络生产中的道德要求？答：（1）正确使用网络工具。(2)健康进行网络交往（3）自觉避免沉迷网络（4）养成网络自律精神。

21.公共生活中法律规范作用有那些？答：（1）指导作用（2）预测作用（3）评价作用（4）强制作用（5）教育作用。

22.什么是职业道德？职业道德 的基本要求是什么？答：职业道德是指从事一定职业的人在职业生活应当遵循的具有职业特征的道德要求和行为准则。职业道德的基本要求（1）爱岗敬业（2）诚实守信（3）办事公道（4）服务群众。

23.家庭美德的基本内容有那些？答：（1）尊老爱幼（2）男女平等（3）夫妻和睦（4）勤俭持家

（5）邻里团结。

24.什么是法律？答：法律是由国家制定或认可并以国家强制力保证实施的，反映由特定社会物质生活条件所决定的统治阶级意志的规范体系。

25.我国社会主义法律的本质是什么？答：(1)从法律所体现的意志来看，我国社会主义法律是工人阶级领导的广大人民意志的体现（2）从法律的实质内容来看，我国社会主义法律是社会历史发展规律和自然规律，具有鲜明的科学性和先进性。

26.什么是法律制定？答：（1）法律制定就是有立法的国家机关依定职权和程序制定规范性法律文件的活动，是法律运行的起始性和关键性环节。

27.法律思维方式是什么？答：所谓法律思维方式是指按照法律的规定 原理和精神 思考 分析解决法律问题的习惯与取向。

28.大学应该如何增强法律概念，维护权威？答：大学生是社会主义法治国家建设的重要力量，必须加强社会主义法律修养，不仅要学习法律知识，掌握法律方法，参与法律实践，培养社会主义法律思维方式，而且要树立法律信仰，宣传法律知识，敢于同违法犯罪行为作斗争，自觉维护社会主义法律权威。

29.我国的国体和政体分别是什么？答：人民民主专政是我国的国体。人民代表大会制度是我国的政体。

30.我国的审判机关和法律监督机关是我国国家的哪两个部门？答：(1)中华人民共和国人民法院是国家的审判机关。(2）中华人民共和国人民检察院是国家的法律监督机关。