动量定理与动量守恒

一、动量和冲量

1．动量——物体的质量和速度的乘积叫做动量：p=mv

⑴动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。

⑵动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。

⑶动量的相对性：由于物体的速度与参考系的选取有关，所以物体的动量也与参考系选取有关，因而动量具有相对性。题中没有特别说明的，一般取地面或相对地面静止的物体为参考系。

（4）研究一条直线上的动量要选择正方向

2．动量的变化：

由于动量为矢量，则求解动量的变化时，其运算遵循平行四边形定则。

A、若初末动量在同一直线上，则在选定正方向的前提下，可化矢量运算为代数运算。

B、若初末动量不在同一直线上，则运算遵循平行四边形定则。

2．冲量——力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I=Ft

（1）冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。

（2）冲量是矢量，它的方向由力的方向决定。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。如果力的方向在不断变化，如绳子拉物体做圆周运动，则绳的拉力在时间t内的冲量，就不能说是力的方向就是冲量的方向。对于方向不断变化的力的冲量，其方向可以通过动量变化的方向间接得出。

（3）高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。

（4）冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。

（5）必须清楚某个冲量是哪个力的冲量

（6）求合外力冲量的两种方法：

A、求合外力，再求合外力的冲量     B、先求各个力的冲量，再求矢量和

二、动量定理

1．动量定理——物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。既I=Δp

⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。

⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。

⑶现代物理学把力定义为物体动量的变化率：（牛顿第二定律的动量形式）。动量定理和牛顿第二定律的联系与区别

①、  形式可以相互转化

②、动量的变化率，表示动量变化的快慢

③、牛顿定律适用宏观低速，而动量定理适用于宏观微观高速低速

④、都是以地面为参考系

  （4）动量定理表达式是矢量式。在一维情况下，各个矢量以同一个规定的方向为正。

（5）如果是变力，那么F表示平均值

（6）对比于动能定理

           I ＝ F   t ＝ m v ₂ － m v ₁     

      W ＝ F   s ＝ m v ²₂ － m v ²₁

3．动量定理的定量计算

⑴明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。质点组内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。

⑵进行受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力。

⑶规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。

⑷写出初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）。

⑸根据动量定理列式求解。

4．在F－t图中的冲量：F－t图上的“面积”表示冲量的大小。

三、动量守恒定律

1．动量守恒定律的内容

一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。

    即：   守恒是指整个过程任意时刻相等（时时相等,类比匀速）  定律适用于宏观和微观高速和低速

2．动量守恒定律成立的条件

⑴系统不受外力或者所受外力之和为零；

⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；

⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。

3．动量守恒定律的表达形式

（1），即p₁+p₂=p₁^/+p₂^/，

（2）Δp₁+Δp₂=0，Δp₁= -Δp₂

4、理解：①正方向②同参同系③微观和宏观都适用

5．动量守恒定律的重要意义

从现代物理学的理论高度来认识，动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。（另一个最基本的普适原理就是能量守恒定律。）从科学实践的角度来看，迄今为止，人们尚未发现动量守恒定律有任何例外。

5．应用动量守恒定律解决问题的基本思路和一般方法

（1）分析题意，明确研究对象.在分析相互作用的物体总动量是否守恒时，通常把这些被研究的物体总称为系统.

（2）要对各阶段所选系统内的物体进行受力分析，弄清哪些是系统内部物体之间相互作用的内力，哪些是系统外物体对系统内物体作用的外力.在受力分析的基础上根据动量守恒定律条件，判断能否应用动量守恒。

（3）明确所研究的相互作用过程，确定过程的始、末状态，即系统内各个物体的初动量和末动量的量值或表达式。

注意：在研究地面上物体间相互作用的过程时，各物体的速度均应取地球为参考系。

（4）确定好正方向建立动量守恒方程求解。

四、动量守恒定律的应用

1．碰撞

两个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。由于作用时间极短，一般都满足内力远大于外力，所以可以认为系统的动量守恒。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。

仔细分析一下碰撞的全过程：设光滑水平面上，质量为m₁的物体A以速度v₁向质量为m­₂的静止物体B运动，B的左端连有轻弹簧。在Ⅰ位置A、B刚好接触，弹簧开始被压缩，A开始减速，B开始加速；到Ⅱ位置A、B速度刚好相等（设为v），弹簧被压缩到最短；再往后A、B开始远离，弹簧开始恢复原长，到Ⅲ位置弹簧刚好为原长，A、B分开，这时A、B的速度分别为。全过程系统动量一定是守恒的；而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了。

（1）弹簧是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能，Ⅱ状态系统动能最小而弹性势能最大；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹性碰撞。由动量守恒和能量守恒可以证明A、B的最终速度分别为：。（这个结论最好背下来，以后经常要用到。）

（2）弹簧不是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，一部分转化为弹性势能，一部分转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，弹性势能仍最大，但比⑴小；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少，部分转化为动能，部分转化为内能；因为全过程系统动能有损失（一部分动能转化为内能）。这种碰撞叫非弹性碰撞。

（3）弹簧完全没有弹性。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，但没有弹性势能；由于没有弹性，A、B不再分开，而是共同运动，不再有Ⅱ→Ⅲ过程。这种碰撞叫完全非弹性碰撞。可以证明，A、B最终的共同速度为。在完全非弹性碰撞过程中，系统的动能损失最大，为：

。

【例1】 质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m的小球以速度v₁向物块运动。不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v。

【例2】 动量分别为5kg?m/s和6kg?m/s的小球A、B沿光滑平面上的同一条直线同向运动，A追上B并发生碰撞后。若已知碰撞后A的动量减小了2kg?m/s，而方向不变，那么A、B质量之比的可能范围是什么？

2．子弹打木块类问题

子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。

【例3】 设质量为m的子弹以初速度v₀射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

3．反冲问题

在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其它能向动能转化。可以把这类问题统称为反冲。

【例4】 质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？

【例5】 总质量为M的火箭模型 从飞机上释放时的速度为v₀，速度方向水平。火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后，火箭本身的速度变为多大？

4．爆炸类问题

【例6】 抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s，这时突然炸成两块，其中大块质量300g仍按原方向飞行，其速度测得为50m/s，另一小块质量为200g，求它的速度的大小和方向。

5．某一方向上的动量守恒

【例7】 如图所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当线绳与A B成θ角时，圆环移动的距离是多少？

6．物块与平板间的相对滑动

【例8】如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M,A、B间动摩擦因数为μ，现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v₀,使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求：

（1）A、B最后的速度大小和方向；

（2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动位移大小。

【例9】两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为，，它们的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量的滑块C（可视为质点），以的速度恰好水平地滑到A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为3.0m/s，求：

（1）木块A的最终速度； （2）滑块C离开A时的速度。

    【例10】如图所示,质量为m2 和m3 的物体静止在光滑水平面上,两者之间有压缩着的弹簧,有质量为m1 的物体以v0 速度向右冲来,为了防止冲撞,m2 物体将m3 物体发射出去,m3 与m1 碰撞后粘合在一起. 问m3 的速度至少应多大,才能使以后m3 和m2 不发生碰撞?

第二篇：动量定理求电量总结

动量定理求电量总结

在电磁感应中，往往会遇到被研究对象在磁场力（变力）作用下，做一般的变速运动求电量的问题。对这样的问题由于运动比较复杂，分析起来并非易事，应当尽量避开中间过程，分析各有关物理量的初、末状态情况，思维切入点是分析运动稳定时的速度。一般情况可以用动量定理加以解决，下面举几例加以说明。

例1、 相距为L的水平光滑导轨上，存在竖直向下的匀强磁场，导轨上放着两根质量均为m，电阻为R的金属棒AC、DE（如图1）。开始时，DE静止，AC棒以V0初速度向右运动，求：在运动过程中通过AC棒上的总电量。

分析：AC棒和DE棒在运动中，开始时AC棒的

速度大于DE棒的速度，回路中有顺时针方向的电流。 AC棒受到的安培力使AC棒做减速运动，DE棒受到的

安培力使DE棒做加速运动。当两棒的速度相等时，回 路中的电流为零，两棒受到的安培力也为零，两棒最后 以相同的速度匀速运动。尽管AC棒和DE棒所受到的

安培力是变力，但始终大小相等，方向相反，两棒组成

的系统合外力为零，系统动量守恒。

故有：mV0＝2mV共 V共＝V0/2

设回路中的平均电流（对时间平均）为I，再对AC棒用动量定理

得：－BIL△t＝mV共－mV0

又q＝I△t 所以 q＝mv0 2BL

例2、如图2所示，既平行又光滑的水平导轨MM/宽为L，NN/宽为L/2，且都足够长，将其放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，在导轨的宽段和窄段上分别放置导体棒AC和DE。已知AC棒质量为m1,DE棒质量为m2，开始时DE棒静止在导轨上。给AC棒一向右的初速度V1，求DE棒从静止到稳定运动过程中，通过它的电量。

分析：当AC

方向的电流，按左手定则可以判断AC棒 受到向左的安培力，DE棒受到向右的安 培力，而安培力是磁场施加的，对两棒组成 的系统来说是外力不是内力。鉴于流过两棒 的电流必相同，而长度相差一倍，故二者受到 的安培力大小始终有如下关系：FAC＝2FDE 可见系统运动方向上的合外力不为零，即系统 动量在变化过程中并不守恒。虽然动量不守恒，

这种情况下仍能用动量定理解决问题。因为AC路电流不断减小。当回路电流为零时，AC棒和DE棒受到的安培力均为零，两棒的加速度也为零，速度不再变化，各自做匀速直线运动，达到稳定状态。稳定后回路中电流I＝0 所 以AC棒和DE棒产生的电动势大小相等方向相反 EAC = EDE

1

BLVAC = 1BLVDE 即VDE ＝ 2VAC ① 2

设从开始运动到稳定状态回路中的平均电流（对时间）为I

对AC棒用动量定理得：－FACΔt = m1VAC－m1V1

对DE棒用动量定理得： FDEΔt = m2VDE

又FAC = BIL FDE = 1BIL 2

② ③

④ 所以 －BILΔt ＝ m1VAC－m1V1 1BILΔt ＝ m2VDE 2

4m1m2V1 BL(m1?4m2)由电流的定义式知 Q＝IΔt 将①④ 代入②③ 得：Q ＝

例3、如图3所示，金属棒AB的质量m＝5克，放置在宽L＝1米、光滑的金属导轨的边沿，两金属导轨处于水平平面内，该处有竖直向下B＝0.5特的匀强磁场。电容器的电容C＝200微法，电源的电动势E＝16伏，导轨平面距地面高度h＝0.8米。在电键K与“1”接通并稳定后，再使它与“2

电容器上的电压。 分析：当K接“1当K扳向“2力作用，向右运动，当AB棒的电量，即可求出电容器两端的电压。 对AB棒做平抛运动有： 1h＝gt2 ① 2s＝Vt ② s2g解①②得 V＝＝0.16m/s 2h

AB棒在轨道上运动，其末速度即为平抛运动的初速度，设电流的平均值为I，应用动量定理得：

BILΔt＝mV 又Q放＝IΔt

所以 Q放＝mv－=1.6?103C BL

－电容器充电电量为：Q＝EC＝3.2?103C

－放电后电容器剩下的电量为：Q/=Q－Q放＝1.6?103C

Q/

＝8V 放电后电容器两端的电压为：U=C/

例4、如图4所示，金属棒AB的质量m，放置在宽L、光滑的足够长金属导轨上，两 2

金属导轨处于水平面内，该处有竖直向下

磁感应强度为B的匀强磁场。电容器的电

容为C，电源的电动势E。在电键K与“1”

接通并稳定后，再使它与“2”接通，则在

以后的过程中通过金属棒AB的电量。

分析：当K由“1”扳向“2”时，电

容器通过AB棒放电，产生放电电流，AB

棒在磁场力作用下做变加速运动，同时

AB棒切割磁感线产生电动势，该电动势是阻碍电容器放电的，电容器上的电荷不能放完。当AB棒产生的电动势ε 与电容器剩余电压U相等时，电路处于稳定状态，AB棒匀速运动。

设稳定时电容器两端电压为U，AB棒运动的速度为V， 则：U＝ε

即 U ＝BLV V＝U BL

对AB棒用动量定理得： BILΔt＝mV ①

而 Q＝IΔt ＝ mUmV ＝22 ② BLBL

又 EC－UC＝Q ③

解②③得：Q＝mEC 22BLC?m

从以上分析可以看出，解决这类问题的关键是要认真分析棒的运动过程，求出运动稳定后的速度，应用动量定理问题就迎刃而解了。

3