高中数学核心知识点及基本思想方法总结
第一章 集合与简易逻辑
¤第一部分·集合与集合运算¤
◆内容概述◆
集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。“疯人数学家”康托尔(Cantor,G.F.P,1845-1918年，德国人)是集合论的创始者。目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意义。了解属于、包含、相等关系的意义。掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。
◆知识点拨◆
※< 1 >※ 集合与元素。一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（确定性）。集合中每个对象叫做这个集合的元素。
【注意】①集合的确定性如何体现？（例如很高的山，一条快乐的鱼能成为一个集合么）
②元素与集合的关系。（属于
、不属于
）
【例题】设集合
，若
，试判断a+b与A、B的关系。
〖分析〗两个集合中的k不可以理解成是同一个变量，即解作：
，此法失去任意性。
〖解答〗
③集合中元素的三个特征。（确定性、互异性、无序性）
【例题】已知
，其中
。
（1）若
，求实数
的值；（2）当为何值时，集合
的表示不正确？
〖解答〗
④集合的表示方法有哪些？（列举法、描述法、图示法、区间法）
【思考】各表示方法的特点，比如描述法注意限制决定条件、条件决定元素、元素决定集合。
【例题1】用符号语言表示图中阴影部分的集合，
〖解答〗
。
【例题2】
A．P=M B．Q=R C．R=M D．Q=N
〖解答〗D．集合中的许多概念都是用“元素”来定义的，因此遇到集合问题时首先要弄清楚集合中的元素是什么，这是解题的关键。
⑤常用数集记住了吗？（
）
※< 2 >※ 集合与集合之间的关系。（对于集合A、B、C、U）
①包含关系：
②运算关系：
③重要性质及结论：
【注意】ⅰ）注重数与形的结合是解集合问题的常用技巧，解题时要尽可能地借助数轴（多用于集合运算，含绝对值不等式求解，标根法等）、直角坐标系或文氏图（多用于集合关系的表示等）等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决。
【例题1】（08北京1）已知全集U=R，集合
，那么集合
等于（ D ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】（05全国Ⅰ理2）设I为全集，
是I的三个非空子集且
，则下面判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
〖解答〗C.本题是抽象集合的关系问题，结合已知画出文氏图观察即可，也可以用特例法。
【例题3】已知集合
〖解答〗
☆方法技巧☆ 处理集合运算问题先确定集合是前提，同时要清楚集合中的元素是什么，对于含参数的集合要注意讨论，然后根据集合之间的关系借助于数轴列出符合题意的不等式组求解。
ⅱ）注意对空集的讨论，空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
【例题】集合
则实数a的值构成的集合为 。
〖解答〗
。注意对
情况的讨论，即对
进行讨论。
ⅲ）注重一些结论的应用。
【例题1】（06重庆理1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则集合
=（ ） A. {1,6} B. {4,5} C. {2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,7}
〖解答〗D.利用德摩根定律
即可。
【例题2】若A、B、C为三个集合，
，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
〖解答〗A．
本题也可以由图示法求得。
【例题3】设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
〖解答〗C．由已知只需求集合A的子集个数即可，即
个。
ⅳ）会用“补集思想”解决问题（排除法、间接法）。
【例题】已知函数
，在区间
上至少存在一个实数c使f(c)>0，求实数p的取值范围。
〖解答〗设所求p的范围为A，
则
，
注意到函数
的图象开口向上，∴
，∴
。
◆跟踪训练（一）◆
1. 下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．所有的无理数 B．26个英文字母 C．所有的正三角形 D．文静的女孩
2. 已知集合A={a，b，c}中的三个元素，可成为△ABC的边长，则△ABC一定不是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
3.（06福建理4）已知全集U=R，且
则
等于（ ） A. 
B. 
C. 
D. 
4. 满足条件
的集合的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5.已知
，则a的取值范围是（ ）
A.a<1或a>5 B.a≤1或a≥5 C.1<a<5 D.1≤a≤5
6.已知
，则集合
中所有元素的和为 。
7.已知集合
为无限集，则
。
8.含三个实数的集合既可表示为
，也可表示为
，求
的值。
9.已知集合
若
，求实数m的取值范围。
10. 已知集合
，求
时实数k的取值范围。
¤第二部分·简易逻辑¤
◆内容概述◆
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具。对本部分的考查主要分两方面，一是直接考查命题真假的判定、复合命题的组成、四种命题及充要条件的判定，以客观题为主；二是体现其工具作用，从理解题意、分析解决问题、叙述问题、寻找等价问题等进行广义上的考查。要求我们理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。理解四种命题及其相互关系。掌握充要条件的意义。
◆知识点拨◆
※< 3 >※ 语句与命题。可以判断真假的语句叫做命题，一般为陈述句（也有反问句）。
【例题】下列语句为命题的是 ，①集合A={x|x=2n,n∈Ζ}是奇数集;②2x=1;③x<3;④x2+1≥0;⑤小于直角的角;⑥很高的山顶常常终年积雪;⑦垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑧求证：若x∈R，方程x2-x+1=0无实根。
〖解答〗①是假命题；④是真命题。②③为开语句（含有变量），在给出变量值之前无法判断；⑤⑥有不确定因素；⑦是疑问句不是命题；⑧是祈使句不是命题（例：把门关上）。
【注意】1．区分好逻辑联结词与日常用语。
常用的逻辑联结词有“或”(∪)具有选择性，即至少有一个成立；“且”(∩)具有兼有性，即同时成立；“非”(¬)具有否定性，即对原命题的否定。
2．命题按是否含有逻辑联结词可分为简单命题与复合命题（由简单命题和逻辑联结词构成的命题）。对复合命题真值的判断可分为三步：①确定复合命题的构成形式；②判断各简单命题的真值；③用真值表判断复合命题的真值。附真值表如下
【例题1】命题p：若a,b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件。命题q：函数
的定义域是
，则（ D ）
A.p或q为假 B.p且q为真 C.p真q假 D.p假q真
【例题2】如果命题p或q为真，p且q为假，则（ D ）
A.命题p和命题q都是假命题 B.命题p和命题q都是真命题
C.命题p和命题非q真值不同 D.命题p和命题非q真值相同
☆方法技巧☆ 由真值表中原命题与命题的否定之间的真值相反的关系，我们能得到一种证明问题的重要方法，即反证法（从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立的证明方法），属于间接证法。当直接证明比较困难，如结论中含有“至多”、“至少”、“唯一”等语句时或证明一些存在性问题时往往采用此法。其证明命题的一般步骤如下：
⑴假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；
⑵从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；
⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确（判定）。
【例题3】证明：不论x,y取任何非零实数，等式
总不成立。
〖证明〗假设存在非零实数
使成立，带入整理有
，即
，出现矛盾，所以假设不成立，原命题成立。
【例题4】若
，试证|f(0)|,|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个大于等于
。
〖证明〗
※< 4 >※ 命题的四种形式及其相互关系。命题由条件和结论两部分构成，即一般都可以写成若p则q的形式，附四种形式关系图：
【思考】①原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真；
②互为逆否命题的两个命题同真假。
☆方法技巧☆ 当一个命题的真值难以判断时，可以考虑其逆否命题的真值判断。
【例题1】设原命题是“已知a,b,c,d是实数，若a=b且c=d，则a+c=b+d”写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断真值。
〖解答〗逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a=b且c=d。假（举反例即可）
否命题：已知a,b,c,d是实数，若a≠b或c≠d，则a+c≠b+d。假（与逆命题真值相同）
逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d，则a≠b或c≠d。真（与原命题真值相同）
【例题2】在原命题“若a>b，则a2>b2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 3 个。
【思考】命题的四种形式中真（或假）命题的个数的特点（答：只能是偶数个）
【注意】①区分命题的否定(只否定结论)和否命题(条件和结论全否)。
*命题的否定只否定结论（若p则¬q），强调语意的全面否定，其真值必然与原命题相反。
*否命题对条件和结论要完全否定（若¬p则¬q），其真值与原命题无关。
附常见否定词表：
【例题】若x,y∈R且x2+y2=0，则x,y全为0。写出其否定形式 。
〖解答〗若x,y∈R且x2+y2=0，则x,y不全为0。
【例题】命题“四边相等的四边形是正方形”的否命题是 。
〖解答〗四边不相等的四边形不是正方形。
②确定命题为正确的要有严格的证明，确定命题为假只需举一个反例即可（证成立要严密，不成立举反例）。
※< 5 >※ 充分条件与必要条件。
☆方法技巧☆ 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法主要有：
（1）定义法：若
，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。定义反映了条件和结论的因果关系，其情况（p作条件，q作结论时）有4种，即充分不必要条件（
）；充要条件（
）；必要不充分条件（
）；既不充分也不必要条件（
）。表述时需要注意语序，一种是结论的什么条件是什么；另一种是条件是结论的什么条件。
【例题1】若p:-2<a<0,0<b<1，q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？
〖解答〗若a=-1,b=1/2,则△=a2-4b<0, 关于x的方程x2+ax+b=0无实根，则
。
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的正根，不妨设为x1,x2,且0<x1≤x2<1,则0<x1+x2=-a<2,0<x1x2=b<1,则
，可见p是q的必要不充分条件。
【例题2】命题p：不等式
的解集为{x|0<x<1}，命题q：在ΔABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要非充分条件，则( A )
A. p真q假 B. p且q 为真 C. p或q为假 D. p假q真
（2）图示法（传递法）：对于较复杂的、多个的或抽象的关系，常用
等符号进行传递。
【例题】若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则(1)s是p的什么条件；(2)r是q的什么条件？
〖解答〗如右图，s是p的必要不充分条件；r是q的充要条件。（图示中各语句构成“顺次封闭环”，则互为充要条件）
（3）集合法：若
，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件(小集合能推出大集合，反之不可以，集合相等时互为充要条件)；
【例题1】已知p:|2x-3|<1,q:x(x-3)<0，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
〖解答〗A.由已知p:1<x<2,q:0<x<3，则。
【例题2】已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0若p是q的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是 。
〖分析〗从集合观点看，建立命题p,q相应的集合。
，
，那么有如下对应关系：
〖解答〗
（4）等价命题法：即利用等价关系
进行判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用此法。
【例题】已知
，则
的 条件。
答：充分不必要条件。可根据等价于
。
◆跟踪训练（二）◆
1.（08湖南理2）“
成立”是“
成立”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.命题“对任意的
，都有
成立”的否定是（ ）
A．对任意的，都有
成立
B．存在，使成立
C．存在，使
成立
D．不存在，使成立
3.设p,q是简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>1
6.有下列四个命题：①“若
，则
互为相反数”的逆命题；②“若
，则
”的逆否命题；③“若
，则
”的否命题；④“若
是无理数，则
是无理数”的逆命题。其中真命题有 。
7.若非A是B的充分不必要条件，则A是非B的 条件。
8.某班主任计划带领同学们开展一次参观考察活动，地点从A、B、C、D、E5个地方选定，选择时要依据下列约束条件：⑴若去A地，则也必须去B地；⑵D、E两地至少去一地；⑶B、C两地只去一地；⑷C、D两地都去或都不去；⑸若去E地，则A、D两地也必须去。请问同学们的参观地点只可能是哪里？
9.已知
。
求证：
中至少有一个不大于
。
10.已知
，又知非p是非q的必要非充分条件，求实数
的取值范围。