高中数学导数的定义,公式及应用总结
发布时间：2011-8-12 浏览人数：5191 本文编辑：高考学习
高中数学导数的定义,公式及应用总结
导数的定义:
当自变量的增量Δx＝x－x0，Δx→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率). 函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f（x0）］ 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值
求导数的步骤:
求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率 ③ 取极限，得导数。 导数公式：
① C'=0(C为常数函数)； ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数 ③ (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2
(sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1)
(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)
(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x； (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2)
导数的应用:
1．函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想． 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)＞０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)＜０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减． 如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数． 注意：在某个区间内，f'(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。 (2)求函数单调区间的步骤（不
要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言？1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定f(x)的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极值的判定 ①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； ②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.
3．求函数极值的步骤
①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
4．函数的最值
(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a，b］的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5．生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．
第二篇：导数及其应用概念及公式总结
导数与微积分重要概念及公式总结
1.平均变化率：
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2.导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数
在
出的导数，记作
或
，即
3.导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点
处的切线的斜率，（其中为切点），即
切线方程为：
4.常用函数的导数：
（1）
则
（2）
，则
（3）
，则
（4）
，则
（5）
，则
（6）
，则
（7）
，则
（8）
，则
（9）
，则
（10）
，则
（11）
，则
5.导数的运算法则：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
6.复合函数的导数：一般地，对于两个函数
和
的导数间的关系为
，即
对
的导数等于对
的导数与对的导数的乘积．
若
，则
7.函数的单调性与导数的关系
在某个区间
内，如果
，那么函数在这个区间内单调递增；如果
，那么函数在这个区间内单调递减
8.求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数
；
（3）解不等式
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
9.求函数的极值的方法：
解方程
，当
（1）如果在
附近的左侧，右侧，那么
是极大值
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
10.利用导数求函数的最值步骤:
⑴求
在
内的极值；
⑵将的各极值与端点处的函数值
、
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
11.定积分的一般研究方法:
采用“分割、近似代替、求和、取极值”求曲边梯形的面积
12.定积分的几何意义
13.定积分的性质：
（1）
（2）
（3）
14.函数的奇偶性与定积分的关系（
是区间
上的连续函数）
（1）当是偶函数时，
（2）当是奇函数时，
15.定积分与曲边梯形面积的关系：
（1）曲边梯形位于x轴上方时，定积分取正值，且等于曲边梯形的面积
（2）曲边梯形位于x轴下方时，定积分取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数
16.微积分基本原理:
特别的
例1用数学归纳法证明：
（规范书写步骤！）
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=
，等式成立。
（2）假设当
时等式成立，即
那么，
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何
都成立
例2：求
的单调区间、极值及在
上的最大值和最小值
解：因为函数，所以
令，解得
（1） 当
时，即当
时，函数为单调递增函数
（2） 当
时，即当
时，函数为单调递减函数
当
变化时，
的变化情况如下表
因此，当x=-2时，函数有极大值，极大值为
当x=2时，函数有极小值，极小值为
在上，当x=2时，函数有极小值，极小值为
又由于
，因此，函数在上的最大值为4，最小值为