（高二数学文）导数小结与复习

编制人： 常春照         审核人：         审批人：    

使用说明：学习教材75页内容独立完成问题导学，总结方法规律。

重点难点：1.重点：导数概念的理解和利用导数公式表和运算法则进行简单函数的导数运算。

          2.难点：利用极限的语言刻画导数概念和讨论导数的运算法则。

一．学习目标：1．理解导数概念的实际背景和几何意义，并能利用导数定义求简单幂函数的导数。能根据导数公式表和运算法则求出一些基本初等函数的导数，并能解决简单的求曲线的切线问题。

2．通过导数概念的形成，发展学生用极限的观点思考和分析问题的能力。

3．以高度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。

二．问题导学:

1知识体系建构

  

2．知识点总结

（1）导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的          ，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f/（x）。即f/（x）=              =                      。

说明：

求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：

（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f/（x）=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的            。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f/（x）。相应地，切线方程为            。

3．几种常见函数的导数:

①       ②       ③         ④      

 ⑤       ⑥        ⑦      

 ⑧

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (           

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：                   

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：                 

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=                      （v0）。

三．合作 探究 展示：

例1：长方形的周长为10，一边长为，其面积为。

（1）   写出与之间的函数关系；

（2）       当从1增加到时，面积改变了多少？此时，面积关于的平均变化率是多少？解释它的实际意义；

（3）       当增加到时，面积改变了多少？此时，面积关于的平均变化率时多少？

（4）       在处，面积关于的瞬时变化率时多少？并解释它的实际意义。

    

例2：已知函数.

(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.

例3．（07湖北）已知函数的图象在点处的切线方程是，则              

例4：若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为

四．拓展提高:

1：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝  

2.（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为    

3：已知函数.过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

五．本节小结：

(1)知识与方法：                      

(2)数学思想与方法：                               

（07湖北）已知函数的图象在点处的切线方程是，则              

1．

4．（07全国一）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 

5．（07全国二）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为   

6． (07北京)是的导函数，则的值是     

2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为                

3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为            

4．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是                      。

五．本节小结：

(1)知识与方法：                       

(2)数学思想与方法：                               

六．当堂检测:

1. 函数的导数是（  ）

A.      B.   C.   D.

2.函数，且=4，则                  

第二篇：三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导

三角函数诱导公式：

诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。　

　　“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。　

　　符号判断口诀：

　　“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”； 第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”； 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。

　　“ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

三角函数诱导公式 - 其他三角函数知识

同角三角函数的基本关系式

　　倒数关系　

　　tanα ·cotα=1

　　sinα ·cscα=1

　　cosα ·secα=1

　　商的关系

　　sinα/cosα=tanα=secα/cscα

　　cosα/sinα=cotα=cscα/secα

　　平方关系　　

sin^2(α)+cos^2(α)=1

　　1+tan^2(α)=sec^2(α)

　　1+cot^2(α)=csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

　　构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

　　倒数关系

　　对角线上两个函数互为倒数；

　　商数关系

　　六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。

　　平方关系

　　在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

　　sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

　　sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ

　　cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

　　cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

　　tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ)

　　tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin2α=2sinαcosα

　　cos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α)

　　tan2α=2tanα/(1－tan^2(α))

半角的正弦、余弦和正切公式

　　sin^2(α/2)=(1－cosα)/2

　　cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

　　tan^2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα)

　　tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα

万能公式

　　sinα=2tan(α/2)/(1+tan^2(α/2))

　　cosα=(1－tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2))

　　tanα=(2tan(α/2))/(1－tan^2(α/2))

三倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin3α=3sinα－4sin^3(α)　

　　cos3α=4cos^3(α)－3cosα　

　　tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α))

三角函数的和差化积公式

　　sinα+sinβ=2sin((α+β)/2) ·cos((α－β)/2)

　　sinα－sinβ=2cos((α+β)/2) ·sin((α－β)/2)

　　cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)·cos((α－β)/2)

　　cosα－cosβ=－2sin((α+β)/2)·sin((α－β)/2)

三角函数的积化和差公式

　　sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α－β)]

　　cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)]

　　cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α－β)]

　　sinα·sinβ=－ 0.5[cos(α+β)－cos(α－β)]

三角函数诱导公式 - 公式推导过程

　　万能公式推导

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

　　（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　　三倍角公式推导

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

　　上下同除以cos^3(α)，得：

　　tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

　　=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα

　　=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)

　　=3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα

　　=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

　　=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))

　　=4cos^3(α)－3cosα

　　即

　　sin3α=3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α=4cos^3(α)－3cosα

　　和差化积公式推导

　　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　　所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　　所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)