代数式问题常考知识点

赵贺春 姜淑玲

代数式求值是中考必考知识点。近几年中考命题，要求降低计算难度，避免烦琐计算，以考查方法和观察能力为主，因此在命题侧重点上有几个值得注意的动向。本文以20xx年中考题为例，谈谈这类试题的特点和解题方法。

一、利用配方、整体代入或换元法求值

22例1. 已知x?y?25，x?y?7，且x＞y，则x?y的值等于___________。

解：由x2?y2?25，可得?x?y??2xy?25

将x?y?7代入，可得2xy?24

所以?x?y??x2?y2?2xy?25?24?1

由x?y，可知x?y?1 说明：这道求值题用到了最常用的配方法和整体代入法。考查的重点不是计算而是方法。

例2. 如果代数式4y?2y?5的值为7，那么代数式2y?y?1的值等于（ ）

A. 2 B. 3 C. ?2 D. 4 2222

22解：由4y?2y?5?7，可得22y?y?2 ??

即2y?y?1

所以2y?y?1?1?1?2 22

应选A。 说明：此题实质用的是换元法，也就是将2y2?y以上两题利用方程求出字母的值，然后代入，当然也能求出代数式的值，但这样麻烦，计算量大。

二、利用基本概念转化条件式求值

例3. 若x?y?5??xy?6??0，则x2?y2的值为（ ）

A. 13 B. 26 C. 28 D. 37 2

解：由条件式可得x?y?5，xy?6

x2?y2??x?y??2xy?25?12?13

所以应选A。

说明：这道题利用“两个非负数的和为0，则这两个数都为0”转化条件式是关键，整体代入是简化计算的重要步骤。

例4. 若a?b?与a?2b?4互为相反数，则?a?b?

解：两式的值都非负，由此可知： 20042?__________。

a?b?1?0，a?2b?4?0

解由两式组成的方程组，可得：a??2，b??1

所以?a?b?2004???3?2004?32004

说明：这道题用到的基本概念是：若两个非负数互为相反数，则这两个数都为0。

以上两题是传统题型，但解题用到的知识和方法是历年中考命题关注的一个重要考点。

三、分式化简求值

m24?例5. 先化简，再求值：，其中m?m?22?m1 2?2

m2?412?2解：原式? ?m?2??2?m?222?2

例6. 已知x?2?2，求?x?x?1?x?2的值。 ???x2?2xx?2?x

?x?2x2?x?·解：原式?? ?xx?2xx?2x?1??

x?2?x2x?·xx?2x?1

???x?1??x?2?

xx?2·x

x?1 ??x?13?2???1?2x?11?2

说明：分式化简求值是中考一个重要的考点，这类题一般要综合运用通分、多项式乘除、因式分解、二次根式计算和分母有理化等知识。解这类题要细心观察，尽量找到简便方法，计算时要精力集中，小心谨慎，不要有太多步骤的跳跃。

【练习】

1. 已知x?y?1，则121x?xy?y2的值为_________。 22

2. 已知实数x、y，x?4?y2?6y?9?0，则xy的值是（ ）

A. 4 B. ?4 C. 9 4 D. ?9 4

x2?2x?11?3. 已知x??1，求代数式的值。 x?1x2?1

4. 先化简再求值：?x?1??2?x?2?，其中x?

【答案】 22。

1. 1 2 2. B 3. 3? 34. ?1

第二篇：代数式的知识点

代数式知识点 1

整体框架

一.代数式的概念

— 单项式

— 多项式

代数式 — —分式

无理式（根式）

1.单项式

（1）单项式的概念：数与代表数的字母的积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。

1

代数式知识点

注意：数与字母之间是乘积关系。

特征：分母中无字母。

（2）单项式的系数：单项式中的字母因数叫做单项式的系数。 2 2x2类的也是数与字母的积（与x的积）。33

如果一个单项式，只含有字母因数，带正号的单项式（例如ab2）的系数为1，带负号的单项式（例如：－ab2）的系数为—1。

（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.多项式

（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。某项的次数是几，该项就叫几次项。不含字母的项叫做常数项，也叫零次项。

一个多项式有几项就叫做几项式。

多项式中的符号，看作各项的性质符号（正负号）。

（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

几次几项式

（3）多项式的排列：

1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。

3.整式：

单项式和多项式统称为整式。

整式的特征是分母不含字母。分母含有字母的叫分式。

4.分式

2

代数式知识点

（1）用A,B表示的整式, A?B可化为3 AA的形式,如果B中含有字母,就叫分BB式。

（2）分式有意义的条件

分式A

B有意义，则 B?0

（3）分式值为零的条件

分式A

B?0 ? ??A?0

?B?0

（4）练习

①当x取何值时,下列分式有意义 (1)x3x2?5

x?2 (2) 4x?1 (3) 3x

x?4

② 当x取何值时,下列分式的值为零 (1) x?2

2x?5 (2) x?2

3x?6 (3) 2x?10

x?5

x2

③ 已知y?3?2x，当x为何值时(1) y为正数；(2) y为负数 (3) y为0

二.整式的运算

（一）整式的加减

整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.

1.去括号法则

（1）括号前面是“＋”号，把__括号_去掉，括号里各项_ 都不变号__

（2）括号前面是“－”号，把__括号_去掉，括号里各项___都要变号_. 3 .

代数式知识点

例如：① (a+b)+(c+d)； ② -(a+b)-(-c-d)；

2.添括号法则

（1）添上“+”号和括号，括到括号里的各项都不变号；

（2）添上“-”号和括号，括到括号里的各项都改变符号；

例如：(1)a+b+c-d=a+( )； (2)a-b+c-d=a-( )

3.同类项

（1）同类项的概念

① 所含字母相同。② 相同字母的指数相同

（2）注意：① 几个项是不是同类项与系数无关，与字母的顺序无关 ② 几个常数项也是同类项

3.合并同类项 4

合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

例如：

(1)???2a2b?3a2b?

4.练习

123（1）、x－(2x－y2)＋(－x＋y2) 232

（2）、5a－{－3b＋[6c－2a－(a－c)]}－[9a－(7b＋c)]

12a2b322223(2)?????ab?ab?ab?ab?b

（3）、已知A?4x2?4xy?y2，B?x2?xy?5y2，化简A?B，。

4

代数式知识点 5

（二）.整式的乘法

单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的 字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb.

1.单项式乘单项式

(1)2a3b4c·(－3)a2b (2)2a3b4c·(－a2bd3)

2.单项式乘多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．a(b+c)=ab+ac

(1)5a2－［a2－(5a2－2a)－2(a2－3a)］ (2)．(－4a)·(2a2+3a－1)．

3.多项式乘多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

(1) (3m-n)(m-2n)． (2)．(x+2y)(5a+3b)．

5

代数式知识点 6

4.乘法公式

(1)平方差公式：(a+b)(a+b)=a2－b2；

(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2；

(3)立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

(4)立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

(5)完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；

11(x?1)(x?1) 练习 （1）(a?2b)(a?2b) （2） 33

（3）(?3a?2b) （4）(x?2y?1)(x?2y?1)

（5）(2x?3y)2(2x?3y)2 （6）(x-2y)-(x-y)(x+y)

22

（三）.整式的除法

单项式除法：把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里 含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式．

多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所 得的商相加．

1.单项式除以单项式

(1)x5y?x2 (2)8m2n2?2m2n (3)a4b2c?3a2b

??????????6

代数式知识点

2.多项式除以单项式 7

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．(a＋b－c)÷d=a÷d＋b÷d－c÷d

(1) (

1247126ab－ab)÷(－ab3)2. (2) [(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x. 933

（四）.分解因式

1.提取公因式法：ma+mb+m=m（a+b+1）

（1）8x－72 （2）a2b－5ab

（3）3x2－6xy+x （4）a（x－3）+2b（x－3）

（5）a（x－y）+b（y－x）; （6）6（m－n）3－12（n－m）2

2.公式法：a－b=（a+b）（a－b） a±2ab+b=（a±b）

（1）25－16x; （2）9（m+n）－（m－n）;

222222227

代数式知识点

（3）2x－8 （4）a－4a+4; （5）x+14x+49;

（6）（m+n）－6（m+n）+9. （7）3ax+6axy+3ay

3.十字相乘法

对于二次三项式（例如2x2－x－6)，如果把二次

项系数分为两个因子(例如1×2），把常数项分为两个因子（例如－2×3），并把它们如右图排列并交叉相乘，如果其代数和恰是一次项的系数，则该二次三项式可以如下分解：2x2－x－6=（x－2)(2x+3)

练习： 2228 322

23 )(（1）x?2x?15 ? ( x ? x ? 5 （2）x?5xy?6y ?(x?2y)(x?3y22

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