《概率论与数理统计》复习提要

第一章        随机事件与概率

1．事件的关系 

2．运算规则 （1） 

（2）

（3）

（4）

3．概率满足的三条公理及性质：

（1）  （2）

（3）对互不相容的事件，有 （可以取）

（4）   （5）  

（6），若，则，

（7）

（8）

4．古典概型：基本事件有限且等可能

5．几何概率

6．条件概率

（1）       定义：若，则

（2）       乘法公式：

若为完备事件组，，则有

（3）       全概率公式：

（4）       Bayes公式： 

7．事件的独立性： 独立  （注意独立性的应用）

第二章　随机变量与概率分布

1．  离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）=1

 （3）对任意，

2．  连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；

（2）；（3）对任意，

3．  几个常用随机变量

4．  分布函数  ，具有以下性质

 （1）；（2）单调非降；（3）右连续；

 （4），特别；

 （5）对离散随机变量，；

 （6）对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，

5．  正态分布的概率计算  以记标准正态分布的分布函数，则有

 （1）；（2）；（3）若，则；

 （4）以记标准正态分布的上侧分位数，则

6．  随机变量的函数 

 （1）离散时，求的值，将相同的概率相加；

 （2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章 随机向量

1．  二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布列，有

（1）；（2）；（3），

2．  二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有

 （1）；（2）；（3）；

 （4），

3．  二维均匀分布，其中为的面积

4．  二维正态分布，其密度函数（牢记五个参数的含义）且；

5．  二维随机向量的分布函数 有

（1）关于单调非降；（2）关于右连续；

（3）；

（4），，；

 （5）；

 （6）对二维连续随机向量，

6．随机变量的独立性  独立

（1）       离散时 独立

（2）       连续时 独立

（3）       二维正态分布独立，且

7．随机变量的函数分布

（1）       和的分布   的密度

（2）       最大最小分布

第四章 随机变量的数字特征

1．期望

(1) 离散时 ， ；

(2) 连续时，；

(3) 二维时，

(4)；（5）；

（6）；

（7）独立时，

2．方差

（1）方差，标准差；

（2）；

（3）；

（4）独立时，

3．协方差

（1）；

（2）；

（3）；

（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；

（5）

4．相关系数   ；有，

5． 阶原点矩， 阶中心矩

第五章 大数定律与中心极限定理

1．Chebyshev不等式   或

2．大数定律

3．中心极限定理  

（1）设随机变量独立同分布，则， 或   或，

（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，有或理解为若，则

第六章 样本及抽样分布

1．总体、样本

（1）       简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；

（2）       样本数字特征：

   样本均值（，）；

   样本方差（）样本标准差

  样本阶原点矩，样本阶中心矩

2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数

3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）

 （1）分布 ，其中独立同分布于标准正态分布，若且独立，则；

 （2）分布 ，其中且独立；

 （3）分布 ，其中且独立，有下面的性质 

4．正态总体的抽样分布

（1）；     （2）；

（3）且与独立；   （4）；

（5），

（6）

第七章 参数估计

1．矩估计：

（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计

2．极大似然估计：

（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max）

3．估计量的评选原则

(1)无偏性：若，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；

4．参数的区间估计（正态）

第二篇：概率论与数理统计超全公式总结

F'(x)=f(x)

概率论与数理统计公式总结

F(x)=P(X≤x)=∑P(X=k)

分布函数

对离散型随机变量

第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

特别地，当A、B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式

P(A|B)=

P(AB)

P(B)

概率的乘法公式

P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

全概率公式：从原因计算结果

n

P(A)=∑P(Bk)P(A|Bk)

k=1

Bayes公式：从结果找原因

P(Bi)P(A|Bi)

k|A)=

P(B∑n

P(Bk)P(A|Bk)

k=1

第二章

二项分布（Bernoulli分布）————X~B(n,p)

X~B(n,p)P(X=k)=Ckpk

(1?p)n?k

n

，(k=0,1,...,n)

泊松分布————X~P(

X~P(λ)k

P(X=k)=

λk!

e?λ

，(k=0,1,...)概率密度函数

∫

+∞

?∞

f(x)dx=1

怎样计算概率

P(a≤X≤b)

P(a≤X≤b)=∫b

a

f(x)dx

均匀分布X~U(a,b)

f(x)=

1b?a

(a≤x≤b)

指数分布X~Exp(θ)

f(x)=1?x/θ

θ

e

(x≥0)

k≤x

)=P(X≤x)=∫x

对连续型随机变量

F(x?∞

f(t)dt

分布函数与密度函数的重要关系：

F(x)=P(X≤x)=∫x

?∞

f(t)dt

二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法

联合密度函数f(x,y)联合分布函数

F(x,y)

f(x,y)≥0

∫+∞∫

+∞

?∞?∞

f(x,y)dxdy=10≤F(x,y)≤1

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}联合密度与边缘密度

fX(x)=∫+∞

?∞

f(x,y)dy

fY(y)=∫+∞

?∞

f(x,y)dx

离散型随机变量的独立性

P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}

连续型随机变量的独立性

f(x,y)=fX(x)fY(y)第三章

数学期望

+∞

离散型随机变量，数学期望定义

E(X)=

k

k∑xk

?P

=?∞

连续型随机变量，数学期望定义

E(X)=∫+∞

?∞

x?f(x)dx

?E(a)=a，其中a为常数

?E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数

?E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望

E(g(X))=∑g(xk)pk

k

常用公式

E(X)=∑∑xipij

i

j

E(X)=∫∫xf(x,y)dxdy

不相关不一定独立第四章

正态分布X~N(?,σ2)

E(XY)=∑∑xiyjpij

i

j

f(x)=

1

e2πσ

?

(x??)22σE(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=∫∫xyf(x,y)dxdy

当X与Y独立时,E(XY)=E(X)E(Y)

方差定义式

E(X)=?,D(X)=σ2

标准正态分布的概率计算Φ(a)=1?Φ(?a)标准正态分布的概率计算公式

P(Z≤a)=P(Z<a)=Φ(a)

P(Z≥a)=P(Z>a)=1?Φ(a)

P(a≤Z≤b)=Φ(b)?Φ(a)

2

(x?E(X))?f(x)dx?∞+∞

D(X)=∫

常用计算式常用公式

P(?a≤Z≤a)=Φ(a)?Φ(?a)=2Φ(a)?1

一般正态分布的概率计算

2

D(X)=E(X2)?[E(X)]

X~N(?,σ2)?Z=

X??

~N(0,1)σ

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X?E(X))(Y?E(Y))}

一般正态分布的概率计算公式

当X、Y相互独立时：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

方差的性质

D(a)=0，其中a为常数

D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数

当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数

a??

)σa??

P(X≥a)=P(X>a)=1?Φ(σP(X≤a)=P(X<a)=Φ(P(a≤X≤b)=Φ(

第五章卡方分布

b??a??

)?Φ()σσ

E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}=E(XY)?E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)

若X~N(0,1)，则∑Xi~χ2(n)

2

n

i=1

Cov(X,Y)

ρXY=

D(X)D(Y)

协方差的性质

1

若Y~N(?,σ),则2

σ

2

∑(Y??)

i

i=1

n

2

~χ2(n)

t分布

2

Cov(X,X)=E(X2)?(E(X))=D(X)

若X~N(0,1),Y~χ(n),则

2

X

~t(n)/n

U/n1

~F(n1,n2)V/n2

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)2

Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

独立与相关

独立必定不相关相关必定不独立

F分布

正态总体条件下样本均值的分布：

若U~χ(n1),V~χ2(n2),则

σ2

~N(?,)

n??

~N(0,1)σ/n

样本方差的分布：

(n?1)S22

~χ(n?1)2

σ

两个正态总体的方差之比

??

~t(n?1)s/n

正态总体方差的区间估计

两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知

22??σσ12?(1?2)±zα/2?+

?n1n2???

S/S

~F(n1?1,n2?1)

σ/σ

第六章

点估计：参数的估计值为一个常数矩估计

最大似然估计

n

21212222

两个正态总体方差比的置信区间

?S12/S22??F(n?1,n?1),

2?α/21

第七章

?S12/S22

?

Fα/2(n1?1,n2?1)??

L=Πf(xi;θ)

i=1

L=Πp(xi;θ)

i=1

n

似然函数

均值的区间估计——大样本结果

σ??

?±zα/

2?

n??

?

?±zα/2?假设检验的步骤

根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。

不可避免的两类错误

第1类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设第2类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验

?单正态总体均值的检验

?大样本情形——Z检验

?正态总体小样本、方差已知——Z检验?正态总体小样本、方差未知——t检验

?单正态总体方差的检验

?正态总体、均值未知——卡方检验

单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式

(1?)??

?n(1)H0:?=?0(2)H0:?≥?0(3)H0:?≤?0

H1:?≠?0H1:?<?0H1:?>?0

双边检验左边检验

右边检验

单正态总体均值的Z检验

小样本、正态总体、标准差σ已知

σ??

?±zα/2?

n??

??0

（大样本情形σ未知时用SZ=

σ/n

小样本、正态总体、标准差σ未知

拒绝域的代数表示双边检验Z≥Zα/2

左边检验

s?右边检验?

?±tα/2(n?1)?

n??

tα/2(n?1)—自由度为n?1的t分布的分位点

Z≤?Zα

Z≥Zα

比例——特殊的均值的Z检验

Z=

(n?1)S2

2

χα/2

,

(n?1)S2

χ12?α/2

)

?p0

p0(1?p0)/n

p0——总体比例——样本比例

单正态总体均值的t检验

??0t=S/n

单正态总体方差的卡方检验

(n?1)S2

χ=2σ02

拒绝域

双边检验

左边检验右边检验χ2≥χ222α/2或χ≤χ1?α/2χ2≤χ21?α/2χ2≥χ2

α/2