概率论第二章随机变量的分布总结
第二篇：概率论课件：第二章随机变量及其概率分布
第二章 随机变量及其概率分布
（一）基本题
27.假设随机变量X~N（0，1），求下列随机变量Y的概率密度函数：
(1)Y=eX;(2)Y=2X2+1;(3)Y=X.
26.假设随机变量X具有连续的分布函数F(x):Y=F(X)在区间（0,1）上服从均匀分布.
?e?x,x≥0,25.设随机变量X的概率密度为fX(x)=?求随机变量Y=ex的概率密度fY(y).
?0,x<0,
24.随机变量X服从（0,2）上的均匀分布，试求随机变量Y=X2的概率密度fY(y).
?123.设随机变量X的分布律为?1??22?n11?42n???,Y=sinπX，求Y的分布律。 ??2?
π3π??π0??22.设随机变量X的分布律为?22?，求Y的分布律：
?0.30.20.40.1?
（1）Y=(2X?π); （2）Y=cos(2X?π).
?2x,0<x<121.设随机变量X的概率密度 f(x)=? 0,其它?22、解 2
Y=2}. 以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤1/2}出现的次数，求p{
20.在电源电压不超过200V、在200~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，假设电源电压X服从正态分布N(220,252)，试求：（1）该电子元件损坏的概率α；（2）该电子元件损坏时，是电源电压在200V~240V的概率β.
19.某种电池的寿命X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=300h, σ=35h. （1）求电池寿命在250h以上的概率；（2）求x，使寿命在μ?x与 μ+x之间的概率不小于0.9.
18.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布N(72,σ2)，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
[附表] x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.500 0.692
表中Φ(x)是标准正态分布函数. Φ(x)0.8410.9330.9770.9940.999
17.设某地长为t的时间内发生地震的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布，设T表示相邻两次地震之间的时间间隔.（1）求T的分布函数；（2）求连续5年未发生地震的情形下，在未来5年内仍不会发生地震的概率Q.
16.考虑一元二次方程x2+Bx+C=0，其中B，C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.
1
15.某型号的飞机雷达发射管的寿命X（单位：h）服从参数为1的指数分布，求下列事200
件的概率，（1）发射管的寿命不超过100h；（2）发射管的寿命超过300h.
14.设某地区每天的用电量X（单位：100万KW）是一连续型随机变量，其概率密度
?12x(1?x)2,0<x<1f(x)=? 其他?0,
假设该地区每天的供电量仅有80万KW，求该地区每天供电量不足的概率.若每天的供电量上升到90万KW，每天供电量不足的概率又是多少？
?1/3,x∈[0,1]?13.设随机变量X的概率密度为 f(x)=?2/9,x∈[3,6] 若k使得P{X≥k}=2/3，试求
?0,其它.?
k的取值范围.
12.已知随机变量X的概率密度函数f(x)=
11.设连续型随机变量X的分布函数为 1?xe,?∞<x<+∞，试求X的分布函数. 2
?a+bexp(?x2/2),x≥0F(x)=? x<0,?0,
（1）求常数a和b； （2）求随机变量X的概率密度函数.
10.设随机变量X的分布函数
x<?1?0,?0.4,?1≤x<1?F(x)=P{X≤x}=? ≤<0.8,13x??x≥3,?1,
试求X的分布律.
9.一台设备由三大部件构成，在设备运行中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求X的概率分布.
8.为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员.现有同类设备180台，且各台工作相互独立，任意时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障需一人进行修理，问至少应配备多少名修理工人，才能保证设备发生故障后能得到及时维修的概率不小于0.99？
7.一个完全不懂中文的外国人去瞎懵一个中文考试，假设此考试有5个选择题，每题有4种选择，其中只有一种答案是正确的.试求：他居然能答对三题以上而及格的概率.
6.设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初进货时要库存此种商品多少，才能保证当月不脱销的概率为0.999.
5.设一个试验只有两种结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为p(0<p<1)，现反复试验，直到获得k次成功为止.以X表示试验停止时一共进行的试验次数，求X的分布律.
4.设离散型随机变量X的分布律为P{X=k}=c/15,k=1,2,3,4,5..
（1）试确定常数C； （2）求P{1≤X≤3}； （3）P{0.5<X<2.5}.
不放回地连续从袋中取球，直到取出黑球为止.3.一个口袋中装有m个白球，n?m个黑球，
设此时已经取出了X个白球，试求X的分布律.
2
2.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的分布律.
1.掷一颗匀称的骰子两次，以X表示前后两次出现的点数之和，求X的分布律.
（二）解答 1、解 样本空间V={(1,1),(1,2),?,(1,6),(2,1),(2,2),?,(2,6),?,(6,1),?,(6,6)}.这里，例如(6,1)表示掷第一次得6点，掷第二次得1点.其余类推.
以X
2、分析： 显然X服从离散型概率分布，而且X的可能取值为0，1，2，3.问题归结为求概率P{X=k},k=0,1,2,3.
解：由题设，X的可能值为0，1，2，3. 以Ai(i=1,2,3)表示事件“汽车在第i个路口 遇到红灯”；A1，A2，A3相互独立，且P(Ai)=P(i)=1/2,i=1,2,3.于是
P{X=3}=P(123)=1/23.
∴ X的分布律为：
P{X=0}=P(A1)=1/2;P{X=1}=P
(1A2)=1/22;P{X=2}=P(12A3)=1/23;
3、解 设“ξ=k”表示前次取出白球，第次取黑球，则ξ的分布列为
m(m?1)?(m?k+1)(n?m)
P(ξ=k)=(k=0,1,?,m).
n(n?1)?(n?k)cc5cc
4、解 （1）∵P(X=k)===×5==1,
1515k=1153k=1k=1
∑
5
∑
5
∑
∴c=3.
13
1≤X≤3}== （3）P{0.5<X<2.5}=（2）P{
55k=1
∑
3
∑5=5
k=1
2
12
5、解 设进行了i次试验，其中有k次试验成功之事件设为A，则此事件包含有两层意思：它意味着第i次（i≥k）成功，且i?1次试验中成功k?1次，设这两个事件分别为A1，A2， 则A=A1A2,且P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)(A1与A2独立),而P(A1)=p,
1k?11k?1i?k
P(A2)=Cik???qi?1?(k?1)=Cik??q. 1p1?p
于是，所需试验次数X的分布律为
1k?1i?k1ki?kP{X=i}=p?cik??q=cik??(i=k,k+1,?;q=1?p). 1p1pq
6、解：设ξ为该种商品每月销售数，则 ξ～π（7）， x为该种商品每月进货数，则P(ξ≤x)≥0.999.查普哇松分布的数值表，得x≥13.
7、解 设X=｛该外国人在5个选择题中答对的题数｝，则X~B（5，1/4）.又设A=｛答对题数不少于两题｝，则依题设知 P(A)=
∑
k=3
5
P{X=k}=
∑
k1k35?k
C5()(=0.1035.
44k=3
5
8、解 设X=｛180台同类设备中同时发生故障的设备的台数｝，则X~B（180，0.01）.又
3
设配备N个维修人员，则所求概率为
P{X>N}=P{X≥N+1}=
180k=N+1∑P{X=k}k180?k180k，而P{X=k}=C180(0.01)k(0.99)180?k，故P{X>N}=
k=N+1∑c(0.01)(0.99)k180(1.8)k?1.8≈∑ek!k=N+1∞，这里
np=180×0.01=1.8=λ. 1.8k?1.8e≤1?0.99=0.01，查泊松分布表，可知N+1=7，因而至少应配备6名工人. 欲使k!k=N+1∑∞
，则P(A1)=0.10,P(A2)=0.20, 9、解 设Ai={部件i需要调整}（i=1,2,3）
P(A3)=0.30. 由于A1，A2，A3相互独立，因此，有
P{X=0}=P(123)=P(1)P(2)P(3)=(1?0.1)×(1?0.2)×(1?0.3)=0.504, P{X=1}=P(A123)+P(1A23)+P(12A3)
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398,
P{X=2}=P(A1A23)+P(A12A3)+P(1A2A3)=0.092，
P{X=3}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.1×0.2×0.3=0.006. 因此，X的概率分布为 0.3980.0920.006
10、解 F(x)为一阶梯状函数，则X可能取得值为F(x)的跳跃点：?1，1，3
P(X=?1)=F(?1)?F(?1?0)=0.4,P(X=1)=F(1)?F(1?0)=0.8?0.4=0.4,P(X=3)=F(3)?F(3?0)=1?0.8=0.2,即有 X ?1
0.2
x→+∞11、解 （1）由于limF(x)=1，所以有lim(a+bexp?x2/2)=a=1,即a=1，又由于Xx→+∞{}
为连续型随机变量，F(x)应为x的连续函数，应有
x→0lim?F(x)=0=lim+F(x)=lim+(a+bexp?x2/2)=a+b 所以a+b=0,b=?a=?1. x→0x→0{}
?1?exp?x2/2,x>0,代入a,b之值，得F(x)=? x0,≤0.?
?xexp?x2/2,x≥0,（2）对函数F(x)求导，得X的概率密度P(x)=? x<0.?0,
12、解 当x≤0, F(x)=
F(x)=1(2{}{}∫01t1edt=ex;当x＞0时， ?∞22x∫0?∞etdt+∫xe?tdt)=11[1+(1?e?x)]=1?e?x，所以，我们有 22
?ex/2,x≤0,F(x)=? ?x?1?e/2,x>0.
4
13、解 由P{X≥k}=
21
得P{X<k}=，即应选k，使33
∫
k?∞
f(x)dx=
1
.注意3
∫
?∞
f(x)dx=0，
∫∫
10
1
f(x)dx=，
3f(x)dx=
∫
31
f(x)dx=0，
∫
63
f(x)dx=
2
，可见当1≤k≤3时， 3
1
，所以k的取值范围应为1≤k≤3. 3
k?∞
∫
?∞
f(x)dx+
∫∫
101
f(x)dx+
∫
k1
f(x)dx=
14、解 P{X>0.8}=
0.8
12x(1?x)2dx=0.272. P{X>0.9}=
∫
1
0.9
12x(1?x)2dx=0.037.
1
??1
（1）P(X≤100)=F(100)=1?e200=1?e2； 15、解 X~E(200
?1
300200
?32
100
（2）P(X>300)=e=e
=e?1.5.
16、解1 用随机变量法：令xi表示第i 次掷骰子出现的点数，i=1,2. 显然x1和x2独立同分布，P{xi=j}=1/6,(j=1,2,?,6;i=1,2)，则方程变为x2+x1x+x2=0.它有重根的充要条件
22是x1?4x2=0，有实根的充要条件是x1?4x2≥0，故
2
q=Px1?4x2=0=P({x2=1,x1=2}U{x2=4,x1=4})=P{x2=1,x1=2}+P{x2=4,x1=4}
{}
=P{x2=1}P{x1=2}+P{x2=4}P{x1=4}=1/6×1/6+1/6×1/6=1/18. 由全概率公式可
得P=P
{
2
x1
2x1
?4x2≥0=P{x2≤}=
4
}
∑
i=1
6
2x1
x=j} P{x1=j}P={x2≤
41
2232421
}+P{x1=3}P{x2≤}+P{x1=4}P{x2≤}=P{x1=1}P{x2≤}+P{x1=2}P{x2≤4444
526211112141119
}+P{x2≤}=×0+×+×+×+×1+×1= +P{x1=5}P{x2<4466666666636
解2 用枚举法：一枚骰子掷2次，其基本事件总数为36.方程有实根和重根的充要条件分别为B2?4C≥0和B2?4C=0.
B的取值
使B2?4C≥0的基本事件个数 使B2?4C=0的基本事件个数
故使方程有实根的基本事件总数为1+2+4+6+6=19，有重根的基本事件总数1+1=2， 因此 P=19/36,q=2/36=1/18.
解 本题关键是理解随机变量N(t)的意义.事件{N(t)=k}表示设备在任何长为t的时间17、
(λt)k?λt
内发生k次地震，其概率为P{N(t)=k}=e(k=0,1,2,?). 由于T表示两次地震之间的
k!当t≥0时，事件{T≤t}与事件{T>t}是互逆事件，且{T>t}时间间隔，故当t<0时，P{T≤t}=0；表示在长为t的时间内无地震发生，故它等价于事件{N(t)=0}.
5
（1）由于T是非负随机变量，可见当t<0时，F(t)=P{T≤t}=0.
设t≥0，则事件{T>t}与{N(t)=0}等价. 因此，当t≥0时，有
F(t)=P{T≤t}=1?P{T>t}=1?P{N(t)=0}=1?e?λt.
于是，T服从参数为λ的指数分布.
P{T≥10,T≥5}P{T≥10}e?10t
T≥10T≥5}===?5t=e?5t. （2）Q=P{PT≥5PT≥5e
18、解 设X为考生的外语成绩，由题设知X~N(μ,σ)，其中μ=72.现在求σ2.由题设
2424?X?μ96?72?≥P{X≥96}=0.023,P?=1?Φ()=0.023,∴Φ(=0.977, ?σσσσ??
由Φ(x)的数值表，可见24
σ=2，因此σ=12.这样X~N(72, 122). 所求概率为
X?μ??P??1≤≤1? σ???60?72X?μ84?72?≤≤P{60≤x≤84}=P??=1212σ??
=Φ(1)?Φ(?1)=2Φ(1)?1=2×0.841?1=0.682.
19、解 （1）p(ξ>250)=p(ξ?300
35>250?300=Φ(1.43)≈0.9236; 35
（2）p(μ?x<ξ<μ+x)=p(?xxxxξ?300x<<=Φ(?Φ(?)=2Φ(?1≥0.9， 353535353535即(x/35)≥0.95，所以x/35≥1.65，即x≥57.75.
，A2=｛电压在200~240伏｝，A3=｛电20、解 引进下列事件：A1=｛电压不超过200伏｝
；B=｛电子元件损坏｝.由题设，知X~N(220,252)，因此 压超过240伏｝
?X?220200?220?P(A1)=P{X≤200}=P?≤=Φ(?0.8)=0.212； 2525??
P(A2)=P{200≤X≤240}=Φ(0.8)?Φ(?0.8)=0.576；
P(A3)=P{X>240}=1?0.212?0.576=0.212.
3（1）由题设条件，知P(BA1)=0.1，P(B|A2)=0.001，P(B|A3)=0.2. 于是，由全概
率公式，有α=P(B)=∑P(A)P(B|A)=0.0642. ii
i=1
（2）由条件概率定义（或贝叶斯公式），知β=P(A2|B)=
1P(A2)P(B|A2)≈0.009. P(B)11?1?21、解：由题设，Y～B(3,P)其中P=P?X≤=∫2f(x)dx=∫22xdx= 02??∞4?
2故 P{Y=2}=C3(1/4)2(3/4)1=9/64.
6
∴
(2X?π)2
π2 4π?2
cos(2X?π)
?1
??1,k=4n?1,
kπ?
23、解 因为 sin=?0,k=2n,
2?1,k=4n?3
?
(n=1,2,?).
所以，Y=sin(
π
2
X)只有3个可能取值?1，0，1，而取这些值的概率分别为
P{Y=?1}=P{X=3}+P{X=7}+P{X=11}+?=P{Y=0}=P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}+?=P{Y=1}=P{X=1}+P{X=5}+P{X=9}+?=
??101?
于是，Y=sin(X)的分布列为?218?.
2??15315??
123+
+124
127+
+126
1211=
+?=
112
?= 81?1/1615,
122
111?=,41?1/43
111118+5+9+?=?=.2221?1/16152
π
24、解 ∵X~U(0,2), ∴①y≤0时，FY(y)=0;
②当0<y<4,
FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(X≤
y)=FX(y)=
y;
③y≥4时,Fy(y)=1.
?1
,0<y<1?
故 fY(y)=?4y
?0,其它,?
25、解 应先求出FY(y)，再对y求导即得fY(y) 因 FY(y)=p{Y<y}=peX<y=?故当y≥1时,FY(y)=p{X<lny}=
?0,
?p{X<Iny},
y<1,y≥1.
{}
∫
lny0
e?xdx, 而fY(y)=FY′(y)=1/y2.
?0,
因此 fY(y)=?2
?y
y<1,y≥1.
26、解 先求Y的分布函数. 因0≤F(x)≤1，单调非降. 连续，故y=F(x)的反函数存在.
7
当y≤0时，FY(y)=P(F(X)≤y)=P(φ)=0，
当0<y<1时FY(y)=P(F(X)≤y)=P(X≤F?1(y))=F[F?1(y)]=y, 当y≥1时FY(y)=P(F(X)≤y)=P(Ω)=1.
?0,y≤0?1,
于是 FY(y)=?y,0<y<1 从而Y的密度函数为 fY(y)=??0,
??1,y≥1,
?
0≤y<1
其他.
即Y= F（X）服从(0，1)上的均匀分布.
27、解 （1）Y=eX 的分布函数 FY(y)=P(Y≤y)=P(eX≤y).当y≤0 时，FY(y)=0;
当y>0时，FY(y)=P{e
X
≤y}=P{X≤lny}=
∫
lny0
x2
exp{?dx, 于是，Y的概
22π1
?0,
?
率密度函数为 fY(y)=?1exp[?1(lny)2],
?y22?
y≤0;y>0.
（2）Y=2X2+1的分布函数FY(y)=P2X2+1≤y.当y≤1时,FY(y)=0;当y>1时，
{}
??
FY(y)=p2X2+1≤y=P??
??
{}
y?1
≤X≤2
y?1?
?=2??
∫
y?1
2y?1?
2
12π
e
?
x22
dx=
2π∫
2
y?120
e
?
x22
dx,
??0,?
即FY(y)=?
?2??2π
∫
y?12
e
?
x22
dx,
y?1??1
e4,?y≤1,
?2(y?1)
故Y的概率密度为fY(y)=?
?0,
y>1.?
?
y>1,y≤1.
. 当y≤0时,FY(y)=0;当y>0时, （3）Y=X的分布函数 FY(y)=P{Y≤y}=PX≤y}
FY(y)=PX≤y}=P{?y≤X≤y}=
∫
y
12?y
e
?
x22
dx=
22∫
y
?y
e
?
x22
dx.
?0,?1
于是，Y的概率密度函数为 fY(y)=FY′(y)=?2?2y2
,?πe
?
y≤0,y>0.
8