概率论与数理统计

第一章 随机事件与概率 （17个核心考点）

1、事件、样本空间、事件间的关系与运算性质

（1） 随机试验与样本空间的定义 （2） 随机事件的定义 （3） 事件间的关系 （4） 事件的运算性质 （5） 文氏图 2、概率

（1） 概率的公理化定义 （2） 概率的性质 3、事件的独立性

（1） 事件的独立性的定义 （2） 相互独立的性质 4、等可能概型 （1） 古典概型 （2） 几何概型 5、n重伯努利概型

（1） n重伯努利实验定义 （2） 二项概率公式

6、条件概率及其相关的三个概率公式 （1） 条件概率 （2） 乘法公式 （3） 贝叶斯公式 （4） 全概率公式

第二章 随机变量及其分布 （18个核心考点）

1、随机变量及其分布函数 （1） 随机变量的定义 （2） 随机变量的分布函数 （3） 随机变量分布函数的性质 2、离散型随机变量及其分布规律 （1） 离散型随机变量

（2） 离散型随机变量的分布律及分布函数

（3） 离散型随机变量的分布律的性质 3、连续型随机变量及其概率密度 （1） 连续型随机变量的定义 （2） 概率密度的性质 4、随机变量的函数的分布

（1） 离散型随机变量的函数分布的求法

（2） 连续型随机变量的函数分布的求法 5、常见随机变量分布及其概率分布 （1） （0-1）分布 （2） 二项分布 （3） 几何分布 （4） 超几何分布 （5） 泊松分布 （6） 均匀分布 （7） 指数分布 （8） 正态分布

第三章 多维随机变量及其分布函数 （24个核心考点）

1、二维随机变量及其分布函数 （1） 二维随机变量的定义

（2） 二维随机变量的联合分布函数的定义

（3） 二维随机变量的联合分布函数的性质

（4） 二维随机变量边缘分布函数 2、二维离散型随机变量

（1） 二维离散型随机变量的定义 （2） 二维离散型随机变量的概率分布 （3） 二维离散型随机变量的边缘分布 （4） 二维离散型随见变量的条件分布 3、二维连续型随机变量

（1） 二维连续型随机变量的定义

（2） 二维连续型随机变量概率密度的性质

（3） 二维连续型随机变量的边缘密度 （4） 二维连续型随机变量的条件密度 （5） 密度乘法公式 4、相互独立的随机变量 （1） 独立性的定义

（2） 相互独立的充要条件 （3） 相互独立的性质

5、两个常见的二维连续型随机变量的分布 （1） 二维均匀分布 （2） 二维正态分布

6、二维随机变量函数的分布的求法

（1） 二维离散型随机变量的函数分布的求法

（2） 二维连续型随机变量的函数分布的

求法

7、两个随机变量的函数的分布 （1） Z=X+Y的分布

（2） Z=X/Y与Z=XY的分布的分布

（3） “N=min{X,Y}及M=max{X,Y}的分布”

（4） 分布的可加性

第四章 随机变量的数字特征 （12个核心考点）

1、随机变量的数学期望 （1） 数学期望的定义 （2） 数学期望的性质

（3） 随机变量的函数的数学期望 2、随机变量的方差及标准差 （1） 方差及标准差的定义 （2） 方差的性质

（3） 常用随机变量的数字特征 3、协方差、相关系数及矩 （1） 协方差的定义及计算 （2） 协方差的性质 （3） 相关系数的定义 （4） 相关系数的性质 （5） 独立与不相关的关系 （6） 矩

第五章 大数定理和中心极限定理 （7个核心考点） 1、大数定理

（1） 依概率收敛 （2） 切比雪夫不等式 （3） 切比雪夫大数定理 （4） 辛钦大数定理 （5） 伯努利大数定理 2、中心极限定理

（1） 独立同分布的中心极限定理 （2） 棣莫弗-拉普拉斯定理

第六章 样本及抽样分布 （11个核心考点） 1、随机样本 （1） 总体

（2） 样本及样本值

（3） 简单随机样本的概率分布

2、统计量

（1） 统计量的定义

（2） 常用的统计量（样本矩）

3、来着正态总体的三个常用统计量的分布 （1） 卡方分布 （2） t分布 （3） F分布

4、正态总体的样本均值与样本方差的分布函数

（1） 单个正态总体 （2） 两个正态总体

（3） X(n)=max（X1，X2?，Xn），X(l)=min（X1，X2?，Xn）

第七章 参数估计与假设检验 （2个核心考点） 1、点估计

（1） 估计量、估计值与点估计 （2） 点估计的计算方法

第二篇：概率论与数理统计知识点 张继昌

第一章 概率论的基本概念

一 样本空间和随机事件

（1）样本空间：某随机试验的可能结果的全体构成的集合，常用S（或Ω）表示。

（2）随机事件：可能发生可能不发生的“事件”，常用大写字母A,B,? 表示。

（3）随机事件之间的关系：

A?B； A?B； A与B互不相容，记为：AB??；

（4）随机事件的运算（与集合运算相同）：

和：A?B； 交：AB； 差：A?B； 逆事件：A?S?A。

（3）随机事件运算的运算律：

交换律： 结合律： 分配律：

对偶律：A?B?AB,A?B?C?,

AB?A?B,ABC???, .

二．概率的公理和性质：

公理：（1）0?P(A)?1, （2）P(S)?1,

（3）A,B互不相容，则P(A?B)?P(A)?P(B).

性质：（1）P(?)?0； （2）P(A)?1?P(A))；

（3）若 A?B,则 P(A?B)?P(A)?P(B)；

（4）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)。

三. 等可能概率问题（古典概型）及其概率计算。

四. 几个公式

1． 条件概率与乘法公式

条件概率 P(B|A)?P(AB)。 P(A)

乘法公式：P(AB)?P(A)P(B|A)，

P(ABC)?P(A)P(B|A)P(C|AB).

2．全概率公式： 若 A?B?S,A,B互不相容, 则

P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)；

3．贝叶斯公式：P(A|D)?P(AD)P(A)P(D|A)?， P(D)P(A)P(D|A)?p(B)P(D|B)

4．独立性：P(A)?0,P(B)?0，若 P(AB)?P(A)P(B)，则A与B相互独立.

第二章：随机变量及其分布

一、离散型随机变量

离散型随机变量X用分布律描述，

分布律有性质：（1）0≤pi≤1， （2）?p

ii?1。

对于实际问题中引进的随机变量，首先要明确他是否是离散型，若是，则分析他的全体可能取值，再用适当的方法求各个值对应的概率。

几种常见的重要的离散型

（1）．0?1分布

其分布律为：

x?0?0? 分布函数是： F(x)??q0?x?1 ?1x?1?

(2)．泊松分布 X~?(?) P(X?k)?

(3)。贝努里分布（二项分布）

kkn?k X ～ B (n, p) P(X?k)?Cnpq k = 0, 1, 2, ?，n. ?kk!e?? k = 0，1, 2, ?

二项分布的客观背景：在一次试验中，随机事件A发生的概率是p，（A不发生的概率是q=1- p）独立重复n次试验中，A发生的次数X就是二项分布：X～ B(n, p),

二 随机变量的分布函数

设随机变量X，任意实数x， 函数：

F(x)?P(X?x) ????x????

三 连续型随机变量

连续型随机变量X用密度函数f(x)描述。

密度函数的性质

f(x)?0；

?

????

f(x)dx?1； P?a?X?b???f(x)dx； F?(x)=f (x)；

a

b

几种常见的连续型随机变量， （1）均匀分布 X～U (a, b)

?1?a?x?b

密度函数：f (x) = ?b?a

?其他?0

（2） 指数分布

??x

?x?0??e

密度函数为：f(x)??

x?0??0

（3）正态分布：X～N(?,?2)

密度函数为：f(x)?

12??

e

?

(x??)22?2

????x????

标准正态分布：X~N(0,1)，

x??

其分布函数为：?(x)?P(X?x)?

?

12?

?

t2

2

dt

注意到密度函数?(x)关于OY轴是对称的，于是 ?(?a)?P(X??a)?1?P(X?a)?1??(a) P(X?a)?P(?a?X?a)?P(X?a)?P(X??a)

??(a)?[1??(a)]?2?(a)?1

积分

?

x??

12?

?

t22

dt 不能用常规的方法计算，我们把分布函数?(z)的值编

制成表格（见附表），标准正态分布的概率由查表得到。

例. Ф(1) = 0.8413, Ф(1.645) = 0.95, ?(1.96)?0.9750等。 一般正态分布概率的计算：

设 X~N(?,?)，密度函数为：f(x)?

2

12???

e

?

(x??)22?2

分布函数为： F(x)?P(X?x)?

?

x??

12??

(t??)22??x???

dt= ??? .

???

这样，就把一般正态分布概率的计算转化为标准正态分布概率的计算，由查表解决。

第三章 多维随机变量

一.二维离散型随机变量

（1）联合分布律：

有性质：0?pij?1， i, j = 1, 2, … ；

（2）边缘分布律

边缘分布律可以从联合分布律中按行（按列）相加得到：

二．二维连续型随机变量

（1）联合密度函数 f (x, y)，有如下的性质；

（1）f(x,y)?0； （2）.??????f(x,y)dxdy?1；

（3）P((X,Y)?D)???D??pijij?1. ?????2F(x,y)f(x,y)dxdy；（4）?f(x,y)； ?x?y

(2)．边缘密度函数

x???????fX(x)?FX(x)???(?f(u,y)dy)du???f(x,y)dy； ????????x?

y??????fY(y)?FY(y)??????(???f(x,v)dx)dv??????f(x,y)dx； ??y

三．随机变量的独立性

对于二维离散型，就是：

P(X = xi,Y = yj) = P(X = xi) P(Y = yj)

对于二维连续型，就是；f(x,y)?fX(x)?fY(y)