第二篇：第4章 平面向量知识结构
第四章 平面向量
【知识概要】
一、向量的概念及其运算
●1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量。常用一条有向线段
表示向量，的长度表示向量的大小，记为
，长度为零的向量，记为
。
●2．平行向量：方向相同或相反的向量。平行向量也叫共线向量，且规定与任一向量平行。
●3．向量加法的定义及向量加法的三角形法则。
已知向量
，在平面内任取一点A，作
，
则向量
叫做
与
的和，记作
，即
。
规定：
（为任意向量）
●4．向量加法的性质
（1）交换律：
（2）结合律：
●5．向量加法的平行四边形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作
，则以、
为邻边的平行四边形ABCD的对角线向量就是。
●6．向量减法的定义
（1）与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，记做
，即
。
●7．向量的数乘
实数
与向量的积是一个向量，记作
，它的长度和方向规定如下：
（1）
；（2）的方向与相同(
或与相反(
；（3）
。
性质：若
，则（1）
；（2）
；（3）
。
●8．共线判定定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得
。
二、向量的坐标表示
●1．平面向量基本定理：
如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
，
，使
；不共线向量叫做平面内所有向量的一组基底。
●2．平面向量的坐标表示
如果
，其中
，
分别为与
轴，
轴方向相同的单位向量，则有
●3．平面向量的坐标运算
设
，则有（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
。
●4．数量积的坐标表示：若，则有
●5．向量平行的判定定理：设，则
的充分必要条件是
。
●6．向量垂直判定定理：设，则
。
●7．向量长计算公式
（1）若
，则
；
（2）若点
，
，则
。
●8．三角形不等式
定理：设
是任意两个向量，则有
。
三、向量的数量积
●1．数量积的定义：设向量与的夹角为
，我们将数值
称为向量与的数量积．记为
，并规定
，因此得定义式：
。
●2．数量积的运算律
（1）交换律：
（2）数乘结合律：
（3）分配律：
●3．数量积的基本性质
（1）垂直条件： 
（2）同向反向性：与同向
，与反向
（3）数量积表示模：
；或者
（4）夹角公式：设
，则
（5）数量积不等式：
四、向量的应用
●1．平面几何中的向量问题
向量的运算与几何图形的性质密切相关，向量的运算可以用图形简明地表示，而图形的性质又可以反映到向量的运算上来。
●2．向量在物理中的应用
物理学中有很多矢量，因此其研究过程若引入向量的基本方法，可以收到较好的效果。