浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧
黄荟宇
放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证
，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使
，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。
常用的放缩技巧还有：（1）若
（2）
（3）若
则
（4）
（5）
（6）
或
（7）
等等。
用放缩法证明下列各题。
例1 求证：
证明：因为
所以左边
因为99＜100（放大）
＜
所以
例2 （20##年海南理11）若
求证：
证明：因为
所以
因为
［因为
（放大），所以
又
所以
是增函数］，所以
，所以
例3 （20##年云南理1）求证：
证明：
（因为
）
［又因为
（放大）］，所以
所以
例4 已知
求证：
证明：因为
例5 求证：
证明：因为
（因为
）
（放大）
所以
例6 （20##年湖南省会考）求证：当
时，函数
的最小值是
当
时，函数的最大值是
证明：因为原函数配方得
又因为
所以
（缩小），所以函数y的最小值是
。当
所以
（放大），所以函数y的最大值是
例7 求证：
证明：因为
（分母有理化）
所以原不等式成立。
例8 （20##年贵州省理21）若
求证：
证明：因为
而所以
所以
同理可证
（当且仅当
时，取等号）。
例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：
证明：不妨设
据三角形三边关系定理有：
便得
所以原不等式成立。
例10 （1999年湖南省理16）求证：
证明：因为
又
所以原不等式成立。
例11 求证：
证明：因为左边
证毕。
例12 求证
证明：因为
所以左边
注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若
则
。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。
第二篇：放缩法证明不等式的十项技巧
? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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