知识点梳理：

一.向量的基本概念与基本运算

1向量的概念：

???①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c??来表示，或用有向线段?的起点与终点的大写字母表示，如：AB AB，a；坐标表示法?

a?xi?yj?(x,y)向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|?小，记作｜a向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

??②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行???a向量＝0?｜a｜＝由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，

故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量??向量a0为单位向量?｜a0｜＝

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可??以移到同一直线上a∥b量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量?x1?x2??为a?b(x1,y1)?(x2,y2)???y1?y2

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法?设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC?????（1）0?a?a?0?a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

AB?BC?CD??PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”．

3向量的减法 ?? ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

?记作?a,零向量的相反向量仍是零向量???????关于相反向量有： （i）?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0； ?????????(iii)若a、b是互为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0????②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，

????记作：a?b?a?(?b)??????③作图法：a?b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起

点）

4实数与向量的积： ①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）?a???a；

（Ⅱ）当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，λa的方向与???a的方向相反；当??0时，?a?0，方向是任意的 ???????

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

5两个向量共线定理：

????向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使得b=?a

6平面向量的基本定理：

??如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量??????a，有且只有一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做

表示这一平面内所有向量的一组基底

7 特别注意:

（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

例1 给出下列命题：

① 若|a|＝|b|，则a=b；

② 若A，B，C，D是不共线的四点，则AB?DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③ 若a=b，b=c，则a=c，

④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；

⑤ 若a//b，b//c，则a//c，

例2 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：

① AB?BC?CD，②DB?AC?BD ③?OA?OC?OB?CO

② 例3设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb (k?R)，若c∥d，试求k

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底a可表示成a?xi?yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

2平面向量的坐标运算： (1)若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?

(2)若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?

(3)若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)

(4)若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0

(5)若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2

若a?b，则x1?x2?y1?y2?0

例1 已知向量a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b，v?2a?b，且u//v，求实数x的值

例2已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·b=︱a︱·︱b︱cos? 叫做a与b的数量积（或内积） 规定0?a?02向量的投影：︱b︱cos?=a?b∈R，称为向量b在a|a|

对值称为射影

3数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：a?a?a2?|a|2

5乘法公式成立：

?a?b???a?b??a

?a?b?

2?b?a?b； 2222222?a?2a?b?b?a?2a?b?b 2

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：a?b?b?a ②对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b???R? ③分配律成立：a?b?c?a?c?b?c?c?a?b

特别注意：（1）结合律不成立：a?b?c?a?b?c； （2）消去律不成立a?b?a?c不能得到

b?c?

（3）a?b=0不能得到a=0或b=0 ????????????

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·b=x1x2?y1y28向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=? （00???1800）叫做向量a与b的夹角 cos?=cos?a,b??a?b

a?

b0当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ

=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b10两个非零向量垂直的充要条件： ????a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0

例1 判断下列各命题正确与否：

（1）0?a?0；（2）0?a?0；

（3）若a?0,a?b?a?c，则b?c；

⑷若a?b?a?c，则b?c当且仅当a?0时成立；

（5）(a?b)?c?a?(b?c)对任意a,b,c向量都成立；

（6）对任意向量a，有a2?a 2

例2已知两单位向量a与b的夹角为1200，若c?2a?b,d?3b?a，试求c与d的夹角

例3 已知a??4,3?，b???1,2?，m?a??b,n?2a?b，按下列条件求实数?的值 （1）m?n；（2）m//n；(3)m?n

课堂练习：

一、选择题

1．下列命题中正确的是（ ）

A．OA?OB?AB B．AB?BA?0

C．0?AB?0 D．AB?BC?CD?AD

2．设点A(2,0)，B(4,2),若点P在直线AB上，且AB?2AP，

则点P的坐标为（ ）

A．(3,1) B．(1,?1)

C．(3,1)或(1,?1) D．无数多个 3．若平面向量与向量a?(1,?2)的夹角是180o，且|b|?，则?( )

A．(?3,6) B．(3,?6) C．(6,?3) D．(?6,3)

4．向量a?(2,3)，b?(?1,2)，若ma?b与a?2b平行，则m等于

11A．?2 B．2 C． D．? 22

5．若a,b是非零向量且满足(a?2b)?a，(b?2a)?b ，则a与b的夹角是（ ）

A．??2?5? B． C． D． 6336

?316．设a?(,sin?)，b?(cos?,)，且a//b，则锐角?为（ ） 23

A．300 B．600 C．750 D．450

二、填空题

1．若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为 ．

2．已知向量a?(1,2)，b?(?2,3)，c?(4,1)，若用a和b表示c，则c=____。 3．若a?1,b?2，与的夹角为600，若(3a?5b)?(ma?b)，则m的值为 ．

4．若菱形ABCD的边长为2，则AB?CB?CD?__________。

5．若a=(2,3)，b=(?4,7)，则a在b上的投影为________________。

三、解答题 ???????????

1．求与向量a?(1,2)，b?(2,1)夹角相等的单位向量c的坐标．

2．已知向量a与b的夹角为60，|b|?4,(a?2b).(a?3b)??72,求向量a的模。

3．设非零向量a,b,c,d，满足d?(ac)b?(ab)c，求证：a?d

4．已知a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，其中0??????．

(1)求证：a?b 与a?b互相垂直；

(2)若ka?b与a?kb的长度相等，求???的值(k为非零的常数)．

????

课后作业：

1、化简：(1)（AB?CD)－(AC?BD)= . (2)CB?ED?DC?FE?AF = ?????

2、已知正方形的边长为1，AB=→a，=→b，=→c,则|→a +→b +→c |等于

3.已知向量a和向量b的夹角为30o，

|a|?2,|b|a和向量b的数量积a?b= 。

4、在菱形ABCD中，（+）·（-）= 。

1a??1),b?(2，若存在不同时为0的实数k和t，使 5、 平面向量

x?a?(t2?3)b,y??ka?tb,且x?y，试求函数关系式k?f(t)

6、非零向量（＋）与（2－）互相垂直，（－2）与（2+）互相垂直，求向量与的夹角的余弦值 。

第二篇：必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

例：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向          ；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是：        )；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有              ；

（5）平行向量（也叫        ）：方向     或     的非零向量、叫做平行向量，记作：       ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是       。

例：命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______；

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝      叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e₁和e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e₁＋e₂。

例；（1）若，则______；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A.  B.  C.     D.

（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____；

（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___

4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向    ，当<0时，的方向与的方向    ，当＝0时，，注意：≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把            叫做与的数量积（或内积或点积），记作：    ，即＝       。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

例：（1）△ABC中，，，，则_________；

（2）已知，与的夹角为，则等于____；

（3）已知，则等于____；

（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____

（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，，且，则向量在向量上的投影为______

（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：

①⊥则                    ；

②当，同向时，＝         ，特别地，；当与反向时，＝     ；当＞0时，∈               ；当＜0，∈               ；

③非零向量，夹角的计算公式：               ；④。

例：（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______；

（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________；（3）已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小。

6、向量的运算：

（1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；

②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

例：（1）化简：①___；②____；③_____；

（2）若正方形的边长为1，，则＝_____；

（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____；

（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___；

（5）若点是的外心，且，则的内角为____；

（2）坐标运算：设，则：

①向量的加减法运算：+=                。—=                。

例：（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上；（2）已知，，则       ；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是        。

②实数与向量的积：λ=                   。

③若，则=               ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

例：设，且，，则C、D的坐标分别是__________；

④平面向量数量积：＝         ，。

例：已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。

（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值

⑤向量的模：∣∣=            。

例：已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____；

⑥两点间的距离：若，则∣AB∣=          。

例：如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。；

7、向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，。

例：下列命题中：① ；② ；③ ；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？

8、向量平行(共线)：＝0。

例：(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同；（2）已知，，，且，则x＝______；（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线；

9、向量垂直： .特别地。

例：(1)已知，若，则       ；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________ ；（3）已知向量，且，则的坐标是________；

10.线段分点求法：

例： 1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______；

（2）已知，直线与线段交于，且，则等于_______；

11.向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2），

特别地，当同向或有；

当反向或有；

当不共线(这些和实数比较类似).

（3）在中，①若，则其重心的坐标为。

例：若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、　　　（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______；

②为的重心，特别地为的重心；

③为的垂心；

④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；

⑤的内心；

（4）向量中三终点共线存在实数使得且.

例：平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______