三角函数总结及统练
一. 教学内容：
三角函数总结及统练
（一）基础知识
1. 与角
终边相同的角的集合
2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是
、
、
三个量的比值
3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线
正弦线MP=
余弦线OM=
正切线AT=
5. 同角三角函数的关系
平方关系：
商数关系：
倒数关系：
口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
7. 两角和与差的三角函数
8. 二倍角公式——代换：令
降幂公式
半角公式：
；
；
9. 三角函数的图象和性质
10. 函数
的图象变换 
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
（1）
（2）
（二）数学思想与基本解题方法
1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4. 角的和与差的相对性
如：
－
角的倍角与半角的相对性
如：
5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6. 数形结合：心中有图，观图解题。
7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。
8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。
【典型例题】
1. 如：
（化成一个角的一个三角函数）
[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
（1）
（2）
解：
（1）
，
，
（2）
，
，
，
2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简
；
[例2] 化简
。
答案：
3. 化异为同
[例3] 已知
，求：
（1）
（2）
答案：（1）3；（2）
[例4] 已知
，求：
答案：
4. 
与
间的相互转化
（1）若
，则
；
；
=
（2）若
，则
；
（3）
[例5] 化简：
。
答案：
[例6] 若在第二象限，
，求
。
答案：
5. 互为余角的三角函数相互转化
若
，则
；
[例7] 已知
，则
。
答案：
[例8] 求值：
。
答案：
[例9] 求值：
。
答案：
6. 公式的变形及活用
（1）
（2）若
[例10] 计算
。
答案：
[例11] 
。
答案：
7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性
[例12] 若
，则
。
答案：7
[例13] 若
，则
。
答案：
[例14] 在
中，A为最小角，C为最大角，且
，
，求
的值。
答案：
8. 角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。
[例15] 已知
，求
。
答案：
[例16] 若是第二象限角且，求的值。
解法一：利用公式
然后限定角的范围。
解法二：设
利用平方和求
的值，然后限定角的范围。
解法三：利用
，可回避限定角的范围。
答案：
9. 在三角形中的有关问题
；
；
结论：
；
；
[例17] 已知A、B、C是的内角且
，试判断此三角形的形状。
答案：等腰三角形，B=C
[例18] 在锐角三角形ABC中，求证：
证明：由
则
故
同理
三式相加，得证。
10. 形如
的化简
[例19] 求值：（1）
（2）
答案：（1）（2）
11. 三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。
[例20] 求下列函数的定义域。
（1）
（2）
答案：
（1）
（2）
[例21] 求下列函数的值域。
（1）
（2）若是锐角，则
的值域。
答案：（1）
（2）
12. 可化为形如：
的形式（一个角的一个三角函数）
[例22] 已知函数
，求“一套”。
答案：
，定义域：R；值域：
，
，
；
对称轴
增区间：
减区间：
13. 函数的图像的变换——两个题型，两种途径
题型一：已知解析式确定其变换方法
变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。
注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与
的关系
题型二：由函数图像求其解析式
[例23] 已知函数，（，
）在一个周期内，当
时，有最大值为2，当
时，有最小值为
，求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）
答案：
14. 可化为形如：
，
（定义域有限制的一元二次函数）
[例24] 求函数
的值域
解：
[例25] 已知
，若记其最大值为
，求的解析式。
解：
，当
时，
当
时，
当
时，
15. 周期函数与周期
[例26] 已知函数
对定义域中每一个都有
，其中
，则
的周期 。
解：T
[例27] 已知奇函数对定义域中每一个都有
成立，求其周期。
解：4
[例28] 已知奇函数对定义域中每一个都有
成立，求其周期。
解：8
[例29] 已知奇函数对定义域中每一个都有
成立，求其周期。
解：6
[例30] 已知奇函数对定义域中每一个都有
成立 ，求其周期。
解：6
16. 函数与方程的思想
[例31] 方程
的解的个数 。
解：63
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
2. 已知，求：
3. 设
，则
。
4. 求
的最大值和最小值。
5. 求值：
。
6. 若
；
，求
7. 已知、
且
，
，求
的值。
8. 为何值时方程
有解？
9. 方程
，
有两解时求的值。
10. 求值：
（1）
（2）
11. 求下列函数的定义域。
12. 已知函数，当
时，求函数的最大值和最小值及何时取到？
【试题答案】
1. 
，
，
，
2. 
3. 
4. 令
，
，
，
，
5. 
6. 
7.
提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。
解：
又由
得
，
得
则
故
8. 
9. 
10.（1）
（2）
11. 
（
）
12. 当
时，
；时，
第二篇：高考数学之三角函数知识点总结
三角函数
一、基础知识
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=
,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=
,余弦函数cosα=
,正切函数tanα=
，余切函数cotα=
，
定理1 同角三角函数的基本关系式，
倒数关系：tanα=
,商数关系：tanα=
；
乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα;
（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα;
（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα; （
Ⅳ）sin
=cosα, cos=sinα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间
上为增函数，在区间
上为减函数，最小正周期为2
. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+
时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点
均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x
kπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α
β)=cosαcosβ
sinαsinβ,
sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;
tan(αβ)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sin
cos
,
sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos,
cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=
[sin(α+β)+sin(α-β)],
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα,
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9 半角公式:sin
=
,cos=
,
tan=
=
定理10 万能公式: 
, 
,
定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=
,cosβ=
，对任意的角α.
asinα+bcosα=
sin(α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有
，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+
)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的
，得到y=sin
(
)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(
x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移
个单位得到y=Asinx的图象。
定义4 函数y=sinx
的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
定理16 若
，则sinx<x<tanx.
二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
1（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数
的图象和直线
的交点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
2．最小正周期的确定。
例2 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,
所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。
1．（07江苏卷）下列函数中，周期为的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2.（08江苏）
的最小正周期为
，其中
，则=
3.（04全国）函数
的最小正周期是（ ）.
4.（1）（04北京）函数
的最小正周期是 .
（2）（04江苏）函数
的最小正周期为（ ）.
5.(09年广东文)函数
是 ( )
A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为
的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
6.（浙江卷2）函数
的最小正周期是 .
3．三角最值问题。
例3 已知函数y=sinx+
，求函数的最大值与最小值。
【解法一】 令sinx=
,
则有y=
因为
，所以
，
所以
≤1，
所以当
，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，
当
，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.
【解法二】 因为y=sinx+
,
=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），
且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，
所以当=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时, ymax=2，
当=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时, ymin=0。
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
练习1.（09福建）函数
最小值是= 。
2.（09上海）函数
的最小值是 .
3．将函数
的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是
A． 
B．
C．
D．
4.若动直线
与函数
和
的图像分别交于
两点，则
的最大值为（ ）
A．1 B．
C．
D．2
5.函数
在区间
上的最大值是 ( )
A.1 B.
C. 
D.1+
4．换元法的使用。
例4 求
的值域。
【解】 设t=sinx+cosx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx=
，所以
，
所以
因为t-1，所以
，所以y-1.
所以函数值域为
5．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).
由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。
例5 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点
对称，且在区间
上是单调函数，求和的值。
【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。
又0≤≤π，解得=，
因为f(x)图象关于对称，所以
=0。
取x=0，得
=0，所以sin
所以
(k∈Z)，即=
(2k+1) (k∈Z).
又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=2时，≥
，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，
综上，=或2。
1.(09山东)将函数的图象向左平移
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是
2.（1）（07山东）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象向
平移 个单位
（2）（全国一8）为得到函数
的图像，只需将函数的图像
向 平移 个单位
（3）为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象向 平移
个单位长度
3.将函数 y = cosx－sinx 的图象向左平移 m（m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （D ）
A. B. C. D.
4.（湖北）将函数
的图象F按向量
平移得到图象
,若的一条对称轴是直线
,则
的一个可能取值是 ( )
A. 
B. 
C. 
D. 
6．三角公式的应用。
例6 已知sin(α-β)=
，sin(α+β)=- ，且α-β∈
，α+β∈
，求sin2α,cos2β的值。
【解】 因为α-β∈，所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈，所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=
,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例7 求证：tan20
+4cos70.
【解】 tan20+4cos70=
+4sin20
求值
1、（1）(07全国Ⅰ)
是第四象限角，
，则
（2）（09北京文）若
，则
.
（3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，
，则
.
(4) 是第三象限角，
，则
= 
=
2、(1)(07陕西) 已知
则
= .
(2)（04全国文）设
，若
，则
= .
（3）（06福建）已知
则
=
3. (1)(07福建)
=
(2)（06陕西）
= 。
（3）
。
4．已知
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知sinθ=－
，θ∈（－
，0），则cos（θ－
）的值为 （ ）
A．－
B． C．－
D．
6.若
，则的取值范围是： ( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
7.若
则
= （ ）
（A） （B）2 （C）
（D）
单调性
1.（04天津）函数
为增函数的区间是 （ ）.
A. 
B. 
C. 
D. 
2.函数
的一个单调增区间是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3.函数
的单调递增区间是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．（07天津卷） 设函数
，则
（ ）
A．在区间
上是增函数 B．在区间
上是减函数
C．在区间
上是增函数 D．在区间
上是减函数
5.函数
的一个单调增区间是 ( )
A．
B．
C．
D．
6．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f(
)= f(
)，则f(x)的解析式可以是 （ ）
A．f(x)=cosx B．f(x)=cos(2x
) C．f(x)=sin(4x) D．f(x) =cos6x
四.
五.对称性
1.（08安徽）函数
图像的对称轴方程可能是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2 （07福建）函数
的图象 （ ）
Ａ．关于点
对称 Ｂ．关于直线
对称
Ｃ．关于点
对称 Ｄ．关于直线
对称
3（09全国）如果函数
的图像关于点
中心对称，那么
的最小值为 （ ）
(A)
(B) (C) 
(D)
七.图象
4．（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.（2009江苏卷）函数
（
为常数，
）在闭区间
上的图象如图所示，则= .
7．(2010·天津)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 ( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
8．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象 ( )
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
9．(2010·重庆)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 ( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
八.解三角形
1.(20##年广东卷文)已知
中，
的对边分别为
若
且
，则
2.（2009湖南卷文）在锐角中，
则
的值等于 2 ，
的取值范围为 .
3.（09福建） 已知锐角的面积为
，
，则角
的大小为
5．已知△ABC中，
，则
的值为
7.在
中，
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设的面积
，求
的长．
九..综合
1. （04年天津）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当
时，
，则
的值为
2．(04年广东)函数f(x)
是 （ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C． 周期为2的偶函数 D．.周期为2的奇函数
3．（ 09四川）已知函数
，下面结论错误的是 ( )
A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间［0，］上是增函数
C.函数的图象关于直线
＝0对称 D. 函数是奇函数
4．(07安徽卷) 函数
的图象为C, 如下结论中正确的是
①图象C关于直线
对称; ②图象C关于点
对称;
③函数
)内是增函数;
④由
的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
5.（08广东卷）已知函数
，则是 （ ）
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
6.在同一平面直角坐标系中，函数
的图象和直线的交点个数是C
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
7．若α是第三象限角，且cos
<0，则是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
8．已知函数
对任意都有
，则
等于 （ ）
A、2或0 B、
或2 C、0 D、或0
十.解答题
1．（05福建文）已知
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值.
2（06福建文）已知函数
（I）求函数的最小正周期和单调增区间；
（II）函数的图象可以由函数
的图象经过怎样的变换得到？
3．（20##年辽宁卷）已知函数
，
.求:
(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；
(II) 函数的单调增区间.
4.（07福建文）在
中，
，
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若
边的长为
，求边的长．
5. （08福建文）已知向量
,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函数
R)的值域.
6.（2009福建卷文）已知函数
其中，
（I）若
求的值； 
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数
，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。
7.已知函数
（）的最小正周期为
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间
上的取值范围．
8.知函数
（
）的最小值正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
9.已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数在区间
上的值域
10.已知函数f(x)＝
为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ求f（
）的值；
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
11.已知向量
，
，记函数
。
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数的最大值，并求此时的值。
12（04年重庆卷.文理17）求函数
的最小正周期和最小值；并写出该函数在
的单调递增区间.
13.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小： 
（Ⅱ）若c＝
,且△ABC的面积为
,求a＋b的值。
14.（2009陕西卷文） 已知函数
（其中
）的周期为
，且图象上一个最低点为
.
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当
，求的最值.
15.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数
.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间
上的最大值和最小值.
16.（08全国二17）在中，
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
，求的面积．