特殊三角形的定义、性质及判定

等腰三角形

  1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

  2. 等腰三角形的性质：

    （1）等腰三角形的两个底角相等；

    （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

  3. 等腰三角形的判定：

    如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

  4. 等边三角形的性质：

    等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

  5. 等边三角形的判定：

    （1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

    （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

  6. 含30°角的直角三角形的性质：

    在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.

（2）等边三角形的性质：

①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；

②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.

（3）等边三角形的判定

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；

④三个角都相等的三角形是等边三角形.

（4）两个重要结论

①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.

两个重要结论的数学解释：

已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则：

①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°；

②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.

直角三角形

  1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。

    按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

   如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

  2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

  3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

  4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点：

1在直角三角形中如何正确添加辅助线  通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

勾股定理及逆定理

一、勾股定理及其证明

    勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

       符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知）

      

证明：进行图形拼接用面积法证明. 制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.

  

      

二、勾股定理的应用：

（1）已知两边（或两边关系）求第三边；

（2）已知一边求另两边关系；

（3）证明线段的平方关系；

（4）作长为的线段.

三、勾股定理的逆定理

       如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.

       1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；

2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

       1．先找出最大边（如c）；

2．计算与，并验证是否相等.

若，则△ABC是直角三角形.

若，则△ABC不是直角三角形.

注意：（1）△ABC中，若，则∠C=90°；而时，则∠A=

90°；时，则∠B=90°.

（2）若，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形.

若，则∠C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形.

三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.

第二篇：相似三角形知识点整理

相似三角形知识点整理

重点、难点分析：

1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．

2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。

☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：①第四比例项②比例中项

③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：

二、有关知识点：

1.相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：

(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，那么△ABC∽A₂B₂C₂

9、三角形三条中线的交点叫做重心；三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点距离的的两倍。

10、向量、

1、实数与向量相乘法则设为实数，则

（1）

（2）

（3）

2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数使

3.单位向量

我们把长度为1的向量叫做单位向量。设为单位向量，则。对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作,则

4.线性运算

向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。如，、等，都是向量的线性运算。

5.线性组合

如果是两个不平行的向量，、是实数，那么叫做线性组合。如两个不平行的向量，向量，这时就说是的线性组合。

6.线性分解

如果是两个不平行的向量，、是实数，那么对于任意一个向量都可由的线性组合表示＝，也叫线性分解。 是在方向上的分向量， 是在方向上的分向量。

三、注意

1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三

角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。

在利用定理证明时要注意A型图的比例，每个比的前项是同一个三

角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成的错误。

2、  相似三角形的基本图形

 

Ⅰ.平行线型：即A型和8型。

Ⅰ.相交线型                                                 

A.具有一个公共角，

  在△ABC与△ADE中∠A是它们的公共

角，且∠ADE=∠C

B.具有一条公共边和一个公共角

在△ABC与△BDC中CB是它们的公共边，

且∠CBD=∠A，∠C是它们的公共角。

C.有对顶角：在△ABC中∠1与∠2是对顶角

3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明

三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。