中考解直角三角形

考点一、直角三角形的性质  

1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c². 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾：直角三角形较短的直角边     股：直角三角形较长的直角边      弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

考点二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c²＝a²＋b²，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a²＋b²＜c²，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a²＋b²＞c²，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4. 勾股定理的作用：

    （1）已知直角三角形的两边求第三边。

    （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为的线段

考点三、锐角三角函数的概念

1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即

③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即

④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即

2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

3、一些特殊角的三角函数值

4、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；

（2）平方关系：

（3）倒数关系：tanAtan(90°—A)=1

（4）商（弦切）关系：tanA=

5、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

考点四、解直角三角形   

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c

（1）三边之间的关系：（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系：正弦sin，余弦cos，正切tan

(4) 面积公式：  （hc为c边上的高）

考点五、解直角三角形应用

1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解

2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

      

(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。  把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）

1、解直角三角形的类型与解法

2、测量物体的高度的常见模型

1）利用水平距离测量物体高度

2)测量底部可以到达的物体的高度

3）测量底部不可到达的物体的高度（1）

测量底部不可到达的物体的高度（2）

第三部分 真题分类汇编详解20##-2012

（2007）19．（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈， sin63.5°≈，tan63.5°≈2）

 

（2008）19．（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角为，最大夹角为．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中的长是多少米？（结果保留两个有效数字）

（参考数据：，，，）

（2009）19．（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．

（参考数据：，，，）

（2010）19．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB， AB＝ 米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C处测得大厦顶部 A的仰角为37°，大厦底部 B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离 CD的长度．（结果保留整数）

（参考数据：）

解：

 

       

 

（2011）19．(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由

原来的40º减至35º．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地

面CD有多长？

(结果精确到0.1m．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)

（2012）20.（8分）

附历年真题标准答案：

（2007）19．（本小题满分6分）

解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．

设BD＝x海里，

在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴CD＝x ·tan63.5°．

在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝，

∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°．   ∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即 ．解得，x＝15．

答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近． …………………………6′

（2008）19．（本小题满分6分）

解：设CD为x ，在Rt△BCD中，，

∵，∴．      ········· 2′

在Rt△ACD中，， ∵，∴．    

∵，∴．                 ．

答：CD长约为1.14米．        　            

（20##）19．（本小题满分6分）

解：由题意知，，

∴，设，

在中，，则；

在中，，则

∵，∴． ，∴（米）．

答：古塔的高度约是39米．········································································ 6分

（2010）19．（本小题满分6分）

解：设CD = x．在Rt△ACD中，，

则，∴.

在Rt△BCD中，tan48° = ，

则，

∴.    ……………………4分

∵AD＋BD = AB，∴．

解得：x≈43．

答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米． ………………… 6分

（2011）19．（本小题满分6分）

（2012）20.（8分）

第二篇：【博海名师知识点总结】(人教版)20xx中考知识点总结：解直角三角形 (10大知识点+例题)

解直角三角形

知识点：

一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，如图5－1

a c

b 2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA? c

a 3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA? b

b 4、余切：把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA? a

1 说明：由定义可以看出tanA·cotA＝l（或写成tanA?） cotA 1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA?

5、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数 说明：锐角三角函数都不能取负值。

0＜ sinA＜ l； 0＜cosA＜；l

6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB

7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

即tanA＝cot（90°一 A）＝cotB；cotA＝tan（90°－A）＝ tanB

说明：式中的90°一A = B 。

8、三角函数值的变化规律

（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

9、同角三角函数关系公式

22 （1）sinA?cosB?1；（2）tanA?1sinA；（3） tanA＝ cotAcosA

10．一些特殊角的三角函数值

二、解直角三角形

由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5个元素之间有关系：

（l）a?b?c；（2）∠A十∠B＝90°；

（3）sinA?222abab；cosA?；tanA?；cotA? ccba

所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。 例如Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A＝30°，a＝5，

则由：a1?sinA?sin30???c?10 c2

b3?sinB?sin60???b?53 c2

?? A?B?90?B?60

?b?5,c?10,B?60?

三、应用举例

是实际问题中的解直角三角形，或者说用解直角三角形的方法解决实际问题。

例如一杆AB直立地面，从D点看杆顶A，仰角为60°，从C点看杆顶A，仰角为30°（如图5～2）若CD长为10米，求杆AB的高。

解：设AB＝x 即tan60??xx?，tan30?， BD10?BD

??x?3

BD即? ???10?BD

x?10?1

3x，2x?103，∴x?5

即杆高约8．66米，应用题中要注意：

（1）仰角，俯角见图5－3

（2）跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，见图5—

4

（3）深度、燕尾角

如燕尾槽的深度，见图5—

5

（4）坡度、坡角

见图5一6坡度i＝7坡度的垂直高度h水平宽度l，i?

例题： h?tana(a叫坡角） l

例1、根据下列条件，解直角三角形．

例2、在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿

直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB．

分析：此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念，同时，可引

导学生加以分析：

如图6－39，根据题意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB与BC之间的关系，因此山高AB

可求．学生在分析此题时遇到的困

难是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一条已知边，而题目中的已知条件CD=20米又不会用．

解：略

例题3如图6－40，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB

底宽AD(精确到0.1m)．

分析：坡度问题是解直角三角形的一个重要应用，学生在解坡

度问题时常遇到以下问题：

1．对坡度概念不理解导致不会运用题目中的坡度条件；

2．坡度问题计算量较大，学生易出错；

3．常需添加辅助线将图形分割成直角三角形和矩形．

坝