高中数学必修五  第一章   解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c;  a-b<c

3、三角形中的基本关系： 

4、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：，，；

②化边为角：，，；

③；④．

6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)

7、余弦定理：在中，有等，变形： 等，

8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角）

9、三角形面积公式：．=2R²sinAsinBsinC===

10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设、、是的角、、的对边，则：

①若，则；②若，则；③若，则．

11、三角形的四心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

     重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）

     外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）

     内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）

12同角的三角函数之间的关系

（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：

特殊角的三角函数值

三角函数诱导公式：“ （）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（），k∈Z的三角函数值，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;

当k为偶数时，函数名不变。然后符号与 ‘将α看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。

三角函数的图像与性质：

 

 

 

有关函数

最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；

其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

函数y＝sin(ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象的关系:

由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。（先相位变换，再周期变换）

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。（先周期变换，再相位变换）

对称轴与对称中心：

的对称轴为，对称中心为；

的对称轴为，对称中心为；

y=tan x  图像的对称中心是（，0），无对称轴。

★诱导公式★(以下k∈Z)

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα 　tan（2kπ＋α）＝tanα

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα   cos（π＋α）＝－cosα   tan（π＋α）＝tanα

公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα    cos（－α）＝cosα     tan（－α）＝－tanα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα　　cos（π－α）＝－cosα　　tan（π－α）＝－tanα

公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα　　cos（2π－α）＝cosα　　tan（2π－α）＝－tanα

公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα　　cos（π/2＋α）＝－sinα　　tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα　sin（π/2－α）＝cosα　   cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα　　cot（π/2－α）＝tanα  　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα　　tan（3π/2＋α）＝－cotα　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα　　cos（3π/2－α）＝－sinα　tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα                                      

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式

商的关系：sinα/cosα＝tanα

平方关系：sin²α＋cos²α＝1

两角和差公式两角和与差的三角函数公式

　sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ    sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ　　cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)

tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)

二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]

半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sin²(α/2)＝(1－cosα)／2　　cos²(α/2)＝(1＋cosα)／2

tan²(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

万能公式

　　万能公式

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]

　　cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]

三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin³α

cos3α＝4cos³α－3cosα

tan3α＝（3tanα－tan³α）／（1－3tan²α）

和差化积公式三角函数的和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

积化和差公式三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]/2

cosα ·sinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]/2

cosα ·cosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]/2

sinα ·sinβ＝—[cos(α＋β)－cos(α－β)]/2

第二篇：解三角形知识点归纳

解三角形知识点归纳

一  正弦定理

（一）知识与工具：

正弦定理：在△ABC中，。

在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。

注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°     

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(3)面积公式：S=absinC==2R²sinAsinBsinC   

(4)三角函数的恒等变形。

sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin=cos，cos=sin

（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型

题型1 利用正弦定理公式原型解三角形

题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。

例如：

题型3 三角形解的个数的讨论

方法一：画图看

方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。

二余弦定理

（一）知识与工具：

a²=b²+c²﹣2bccosA   cosA=

b²=a²+c²﹣2accosB   cosB=

c²=a²+b²﹣2abcosC   cosC=

注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°；

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

(3)面积公式：S=absinC==2R²sinAsinBsinC

(4)三角函数的恒等变形。

（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型

题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形

题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

题型3 判断三角形的形状

结论：根据余弦定理，当a²+b²＜c²、b²+c²＜a²、c²+a²＜b²中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a²+b²＞c²、b²+c²＞a²，c²+a²＞b²中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。

判断三角形形状的方法：

(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。

在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。

正余弦定理在实际中的应用

题型1 计算高度           题型2 计算距离   

题型3 计算角度           题型4 测量方案的设计

实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。

（三）其他常见结论

1三角形内切圆的半径：，

特别地，

2三角学中的射影定理：

在△ABC 中，，…

3两内角与其正弦值：

在△ABC 中，，…