二次函数的定义

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）

1、下列函数中，是二次函数的是   ①②③              .

  ①y=x²－4x+1；   ②y=2x²；      ③y=2x²+4x；   ④y=－3x；

  ⑤y=－2x－1； ⑥y=mx²+nx+p；    ⑦y =错误！未定义书签。；    ⑧y=－5x。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t²+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为  88m   。

3、若函数y=(m²+2m－7)x²+4x+5是关于m的二次函数，则m的取值范围为  ___      。

4、已知函数是二次函数，则m＝ -3         。

5、若函数是关于的二次函数，则m的值为    -2        。

6、已知函数y=(m－1)x^{m +1}+5x－3是二次函数，求m的值。

-1

二次函数的对称轴、顶点、最值

（技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)²+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax²+bx+c则最值为

1．抛物线y=2x²+4x+m²－m经过坐标原点，则m的值为    0或-1     。

2．抛物y=x²+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ -2    ，c＝   -2  .

3．抛物线y＝x²＋3x的顶点在( C  )

    A.第一象限     B.第二象限    C.第三象限     D.第四象限

（1）4．若抛物线y＝ax²－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为(  B )©

    A.       B.      C.        D.

5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax²＋bx＋c(  A )

    A.开口向上，对称轴是y轴       B.开口向下，对称轴是y轴

  C.开口向下，对称轴平行于y轴  D.开口向上，对称轴平行于y轴

6．已知抛物线y＝x²＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_ -3        .

7．抛物线y=x²+2x－3的对称轴是      x=-1      。

8．若二次函数y=3x²+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝   -6     。

9．当n＝___2___，m＝__2____时，函数y＝(m＋n)xⁿ＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口____向上____.

10．已知二次函数y=x²－2ax+2a+3，当a  3或-1   时，该函数y的最小值为0？

12．(易错题)已知二次函数y=mx²+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝       。

13．已知二次函数y=x²－4x+m－3的最小值为3，则m＝    10     。

函数y=ax²+bx+c的图象和性质

1．抛物线y=x²+4x+9的对称轴是    x=2       。

2．抛物线y=2x²－12x+25的开口方向是    向上   ，顶点坐标是    （3，7）            。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式                。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=x²－2x+1 ；   （2）y=－3x²+8x－2；    （3）y=－x²+x－4  

开口方向：        向上                  向下                    向下

对称轴：         x=2                  x=                    x=2

                                                                                            

顶点坐标：        (2,-1)                                        (2，-3)

5．把抛物线y=x²+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x²－3x+5，试求b、c的值。

6．把抛物线y=－2x²+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

解：有最大值

  平移后得：∴b=3，c=7.

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

解：设每台的定价为X元。利润为Y元

由题意得： 

答：当每台定价为3000元时。利润最大为125000元。

第二篇：二次函数题型分类复习总结(打印版)

二次函数考点分类复习

知识点一：二次函数的定义

考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。

备注：当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．

1、下列函数中，是二次函数的是                 .

  ①y=x²－4x+1；   ②y=2x²；      ③y=2x²+4x；   ④y=－3x；

  ⑤y=－2x－1； ⑥y=mx²+nx+p；    ⑦y =错误！未定义书签。；    ⑧y=－5x。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t²+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为     。

3、若函数y=(m²+2m－7)x²+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为           。

课后练习：

（1）下列函数中，二次函数的是（     ）

A．y=ax²+bx+c  B。 C。  D。y=x(x—1)     

（2）如果函数是二次函数，那么m的值为            

知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值

1、二次函数 ，当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点

2、对于y=ax²+bx+c而言，其顶点坐标为（   ，           ）．对于y=a（x－h）²+k而言其顶点坐标为（   ，    ）。二次函数用配方法或公式法（求h时可用代入法）可化成：的形式，其中h=          ,k=            

练习：

1．抛物线y=2x²+4x+m²－m经过坐标原点，则m的值为         。

2．抛物y=x²+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝     ，c＝     .

3．抛物线y＝x²＋3x的顶点在(   )

 A.第一象限     B.第二象限    C.第三象限     D.第四象限

4．已知抛物线y＝x²＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_         .

5．若二次函数y=3x²+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝        。

6．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xⁿ＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.。

7．已知二次函数y=x²－4x+m－3的最小值为3，则m＝         。

知识点三：函数y=ax²+bx+c的图象和性质

1．抛物线y=x²+4x+9的对称轴是           。

2．抛物线y=2x²－12x+25的开口方向是       ，顶点坐标是                。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式                。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=x²－2x+1 ；   （2）y=－3x²+8x－2；    （3）y=－x²+x－4

知识点四：函数y=a(x－h)²的图象与性质

1．填表：

2．已知函数y=2x²,y=2(x－4)²，和y=2(x+1)²。

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x²得到抛物线y=2(x－4)²和y=2(x+1)²？

3．试写出抛物线y=3x²经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

4．试说明函数y=(x－3)² 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

知识点五：二次函数的增减性

1.二次函数y=3x²－6x+5，当x>1时，y随x的增大而          ；当x<1时，y随x的增大而          ；当x=1时，函数有最      值是         。

2.已知函数y=4x²－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为         。

3.已知二次函数y=x²－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是    .

4.已知二次函数y=－x²+3x+的图象上有三点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)且3<x₁<x₂<x₃，则y₁,y₂,y₃的大小关系为               .

知识点六：二次函数的平移

技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)²+k，平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减

6.抛物线y= －x²向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为                 。

7.抛物线y= 2x²，              ，可以得到y=2(x+4}²－3。

8.将抛物线y=x²+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为                     。

知识点七：函数的交点

11.抛物线y=x²+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为              。

12.直线y=7x+1与抛物线y=x²+3x+5的图象有       个交点。

知识点八：函数的的对称

13.抛物线y=2x²－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为                    。

14.抛物线y=ax²+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x²－4x+3，则

a=         b=         c=            

知识点九：函数的图象特征与a、b、c的关系

①a的符号判别---开口向上 a  0；开口向下 a   0；

②c的符号判别---由抛物线的与Y轴的交点来确定：

若交点在y轴的正半轴c    0；    若交点在y轴的负半轴c    0；

若交点在原点c    0；

③b的符号由对称轴来确定：（左同右异)

对称轴在Y轴的左侧 a、b同号；  对称轴在Y轴的右侧a、b异号。

④a+b+c的符号由x=1时的点的位置决定;a－b+c的符号由x=－1时的点的位置决定

点（1，a+b+c）在x轴上方a+b+c    0点（1，a+b+c）在x轴下方a+b+c    0

点（-1，a-b+c）在x轴上方a-b+c    0点（-1，a-b+c）在x轴下方a-b+c    0

⑤b+2a的符号由对称轴与1的大小关系确定；b－2a或2a-b的符号由对称轴与-1的大小关系确定

⑥△的符号由抛物线与x轴的交点个数确定

1.已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（　　　）

    A.a>0,b>0,c>0       B.a>0,b>0,c=0

    C.a>0,b<0,c=0       D.a>0,b<0,c<0  

2.抛物线y=ax²+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：

  ①c>0；  ②a+b+c> 0   ③a-b+c> 0  ④b²-4ac<0  ⑤abc< 0  ；其中正确的为（     ）       A．①②     B．①④     C．①②③       D．①③⑤

3.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax²+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（     ）

 

4、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：

⑴a+b+c﹤0     ⑵a-b+c﹥0    ⑶abc ﹥0    ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）

A  1   B  2   C 3  D  4

知识点十：二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

知识点：二次函数与x轴有交点，y=0,；与y轴有交点，x=0.

1.   如果二次函数y＝x²＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝        （写一个即可）

2.  二次函数y＝x²-2x-3图象与x轴交点之间的距离为  　

3.   抛物线y＝－3x²＋2x－1的图象与x轴交点的个数是(   )

  A.没有交点   B.只有一个交点   C.有两个交点   D.有三个交点

4.   若二次函数y＝(m+5)x²+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是         

5.         二次函数的图象如图所示，

（1）根据图象写出方程的两个根．　

（2）       根据图象写出不等式的解集．　

（3）       若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

　

6.         已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为         ．

7.         已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（    ）

8.         A．无实数根                      B．有两个相等实数根       

9.         C．有两个异号实数根        D．有两个同号不等实数根

10.     已知二次函数y=x²+x+m,当x取任意实数时,都有y>0,则m的取值范围是(   )

11.       A.m≥;      B.m>;      C.m≤;    D.m<

12.     已知关于x的函数y＝（m－1）x²＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝  

13.     已知抛物线的图象与x轴有两个交点为，且，m=    

14.  已知抛物线y＝－x²＋mx－m＋2.  

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；

（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.

 

15.     如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（-1，0）（0，1.5）

（1）求此抛物线的函数关系式。

（2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求三角形ABP面积的最大值。

（3）问：此抛物线位于x轴的下方是否存在一点Q，，使△ABQ的面积与△ABP的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。

知识点十一：函数解析式的求法

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax²+bx+c，然后解三元方程组求解；

 1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)²+k求解。

 2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x₁)(x－x₂)。

3．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

反馈：

6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式                     。

10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式                          。

12．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

17．抛物线y= (k²－2)x²+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － x+2上，求函数解析式。

知识点十二：二次函数应用

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.

(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2、抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

3、已知抛物线与x轴没有交点．   (1)求c的取值范围；

(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．