二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 （轴） （0,0） （轴） (0, ) (,0) (,) () 11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 第二部分 典型习题
１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是 （ D ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）
２.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0
第２,３题图 第4题图
３.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
４.如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）
５.抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 ．
6.已知二次函数与x轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当时，y＞0；③方程有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．
7.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.
解：（1）或
将代入，得.顶点坐标为，由题意得，解得.
（2）
8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,,．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围.
解：（1）设所求二次函数的解析式为,
则,即 ,解得
故所求的解析式为:.
（2)函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值为正数时，
输入值的取值范围是或．
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：
⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?
⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?
⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到
22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解
析式．
解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时
⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃
⑶
10.已知抛物线与x轴交于A、
B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得
△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不
存在，请说明理由．
解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．
设点A、B的坐标分别为（，0），（，0），
由，解得 ，．
∴ 点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0）．
∴ ，，
．
∴ ，
，．
〈ⅰ〉当时，∠ACB＝90°．
由，
得．
解得 ．
∴ 当时，点B的坐标为（，0），，，．
于是．
∴ 当时，△ABC为直角三角形．
〈ⅱ〉当时，∠ABC＝90°．
由，得．
解得 ．
当时，，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．
〈ⅲ〉当时，∠BAC＝90°．
由，得．
解得 ．不合题意．
综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当时，△ABC为直角三角形．
11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；
（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.
解: (1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根. ∵x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ;
又AB＝∣x1 - x2∣＝ ,
∴m2－4m＋3=0 .
解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 .
（2）M(a，b)，则N(－a，－b) .
∵M、N是抛物线上的两点,
∴
①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 .
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.
∴ .
这时M、N到y轴的距离均为,
又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 ,
∴2××（2－m）×=27 .
∴解得m=－7 .
12.已知：抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解法一：
（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．
∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），
∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
（2）∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1， 0），
∴ ．∴ t＝3a．∴ ．
∴ D（0，3a）．∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上，
∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．
∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ．∴ ．
∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为或．
（3）设点E坐标为（，）.依题意，，，
且．∴ ．
①设点E在抛物线上，
∴．
解方程组 得
∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（，）．
设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．
∵ AE长为定值，∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．
∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），
∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．
设过点E、B的直线的解析式为，
∴ 解得
∴ 直线BE的解析式为．∴ 把x＝－2代入上式，得．
∴ 点P坐标为（－2，）．
②设点E在抛物线上，∴ ．
解方程组 消去，得．
∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．
综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，），使△APE的周长最小．
解法二：
（1）∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），
∴ ．∴ t＝3a．∴ ．
令 y＝0，即．解得 ，．
∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
（2）由，得D（0，3a）． ∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上， ∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4． ∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ．解得OD＝3． ∴ ．∴ a±1． ∴ 所求抛物线的解析式为或．
（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．
∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交点为F．
由PF∥EQ，可得．∴ ．∴ ．
∴ 点P坐标为（－2，）．
以下同解法一．
13.已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）． 解：（1）设抛物线的解析式，
∴ ．∴ ．∴ ．
其顶点M的坐标是．
（2）设线段BM所在的直线的解析式为，点N的坐标为N（t，h），
∴ ．解得，．
∴ 线段BM所在的直线的解析式为．
∴ ，其中．∴ ．
∴ s与t间的函数关系式是，自变量t的取值范围是．
（3）存在符合条件的点P，且坐标是，．
设点P的坐标为P，则．
，．
分以下几种情况讨论：
i）若∠PAC＝90°，则．
∴
解得：，（舍去）． ∴ 点．
ii）若∠PCA＝90°，则．
∴
解得：（舍去）．∴ 点．
iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），
以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E，F．
图a 图b
14.已知二次函数的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．
解：根据题意，得a－2＝－1.
∴ a＝1． ∴ 这个二次函数解析式是．
因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．
15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．
解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
．
因为点A（，0）（或B（，0））在抛物线上， 所以，得．
因此所求函数解析式为．
（2）因为点D、E的纵坐标为， 所以，得．
所以点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）．
所以．
因此卢浦大桥拱内实际桥长为 （米）．
16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二次函数（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）a、c的符号之间有何关系?
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证
a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，，求a、c的值．
解:
（1）a、c同号． 或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．
（2）证明：设点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0），则．
∴ ，，．
据题意，、是方程的两个根． ∴ ．
由题意，得，即．
所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．
（3）当时，由（2）知，，∴ a＞0．
解法一：AB＝OB－OA＝，
∴ ．
∵ ， ∴ ．得．∴ c＝2.
解法二：由求根公式，，
∴ ，．
∴ ．
∵ ，∴ ，得．∴ c＝2．
17.如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．
（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；
（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：
（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．
解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）．
∵ A、B是直线分别与x轴、y轴的交点．∴ A（3，0），B．
又∠COD＝∠CBO． ∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C是的中点． ∴ EC⊥OA． ∴ ．
连结OE．∴ ． ∴ ．∴ C点的坐标为（）．
（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为．
∵ C（）． ∴．∴ ．
∴ 为所求．
（3）∵ ， ∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．
由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ． ∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2． ∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2． ∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°． ∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即 PA⊥AB． 即直线 PA 是⊙E 的切线．1． （2012?台湾） 判断下列哪一组的 a、 c， b、 可使二次函数 y=ax2+bx+c-5x2-3x+7 在坐标平面上的图形有最低点？（ ）A．a=0，b=4，c=8 C．a=4，b=-4，c=8 显示解析试题篮 B．a=2，b=4，c=-8 D．a=6，b=-4，c=-82．（2012?兰州）已知二次函数 y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值 1，则 a，b 的 大小关系为（ ）A．a＞b 显示解析试题篮 B．a＜b C．a=b D．不能确定3． （2012?湖州）如图，已知点 A（4，0），O 为坐标原点， P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O，A），过 P、O 两点的二次函数 y1 和过 P、 A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、C，射线 OB 与 AC 相交于点 D．当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）B． A．5VIP 显示解析试题篮4 3 5C．3D．44．（2012?呼和浩特）已知：M，N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y= 1 2x 上， N 在直线 y=x+3 上， 点 设点 M 的坐标为（a， b），则二次函数 y=-abx2+ （a+b） x（ ）A．有最大值，最大值为B．有最大值，最大值为9 29 2
C．有最小值，最小值为D．有最小值，最小值为-9 2显示解析试题篮9 25．（2012?贵阳）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a＜0）的图象 如图所示，当-5≤x≤0 时，下列说法正确的是（A．有最小值-5、最大值 0 C．有最小值 0、最大值 6 VIP 显示解析试题篮）B．有最小值-3、最大值 6 D．有最小值 2、最大值 66．（2011?肇庆）二次函数 y=x2+2x-5 有（A．最大值-5 VIP 显示解析试题篮 B．最小值-5）C．最大值-6 D．最小值-62 7． （2011?温州） 已知二次函数 y= （x-1）-1 （0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是 （ ）A．有最小值 0，有最大值 3 C．有最小值-1，有最大值 3 显示解析试题篮 B．有最小值-1，有最大值 0 D．有最小值-1，无最大值8．（2011?呼和浩特）下列判断正确的有（ ） ①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形； ②中心投影的投影线彼此平行； ③在周长为定值 π 的扇形中，当半径为 π 4
时扇形的面积最大； ④相等的角是对顶角的逆命题是真命题．A．4 个 VIP 显示解析试题篮 B．3 个 C．2 个 D．1 个9．（2011?防城港）已知拋物线 y=1 3 x2+2，当 1≤x≤5 时，y 的最大值是（B． A．2）C． D．2 35 37 3显示解析试题篮10．2010?自贡） 2+ 1-a） 是关于 x 的二次函数， x 的取值范围是 1≤x≤3 （ y=x （ x+1 当 时，y 在 x=1 时取得最大值，则实数 a 的取值范围是（ ）