人教版九年级下册二次函数知识点总结与经典习题

1、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。

2、二次函数的性质：

（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴；

（2）函数的图像与的符号关系：

    ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点。

（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为。（P21-12）

3、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线。

4、二次函数用配方法可化成：的形式，

其中。

5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④；⑤。

6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

  ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同。

  ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线。（P23-9,10）

7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。

8、求抛物线的顶点、对称轴的方法

 （1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线。（P26-9）

 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。

 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

  注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。

题11：抛物线y＝x²＋6x＋4的顶点坐标是(　)

　　A．(3，-5)           B．(-3，-5)        C．(3，5)　　　　D．(-3，5)

9、抛物线中，的作用（P29-例2,1,10）

 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线的对称轴是直线。

，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧。

 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。

      当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

      ①，抛物线经过原点； ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴。

      以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 。

10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）

 （1）一般式：。已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。

题12：已知关于x的一元二次方程x²-2(m-1)x＋(m²-1)＝0，有两个实数根x₁、x₂，且x₁²＋x₂²＝4．求m的值。

题13：先化简，再求值： ，其中＝

题14：在平面直角坐标系中，B(＋1，0)，点A在第一象限内，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。

　(1)求点A的坐标；

(2)求过A、O、B三点的抛物线解析式；

(3)动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止，①若△POB的面积为S，写出S与时间t(秒)的函数关系；②是否存在t，使△POB的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值。

                                                                 图4

12、直线与抛物线的交点（P47-5、P48-10,14）

 （1）轴与抛物线得交点为(0, )。

 （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,)。

 （3）抛物线与轴的交点。

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离。

  （4）平行于轴的直线与抛物线的交点：

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。

  （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点；

②方程组只有一组解时与只有一个交点；

③方程组无解时与没有交点。

  （6）抛物线与轴两交点之间的距离：

若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故：

第二篇：新人教版九年级数学二次函数知识点总结与经典课后练习题

??????罗平轻松学习辅导中心20xx年中学生周末辅??导班专题

：?号? 第26章二次函数复习题

考?一。选择题：

1、 下列函数中，是二次函数的有

?线( )

?? ①y?1?2x2

②y?

1

?x

2 ③y?x(1?x) ④?y?(1?2x)(1?2x)

?A、1个 B、2个 C、3个 D、??4个

?22

2、若二次函数y?(m?1)x?m?2m?3的图象经过原点，则m的

??值必为( )

名?3、A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定 姓?封3、二次函数y?x2

?2(m?1)x?4m的图象与x轴 ?（ ）

?A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有?一个交点

??4、二次函数y?x2

?2x?2有 ??（ ）

?A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小?值2

??5、已知二次函数y?ax2

?bx?c（a?0）的图象如图4所示，有下??列四个结论：①b?0②c?0③b2

?4ac?0④a?b?c?0，其中级?正确的个数有（ ） 班?A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

?密?????提高成绩才是硬道理 罗平轻松学习辅导中心 134xxxxxxxx 第 1 页 共 3 页 ?导中心 1340875 958

????

图4

6、二次函数y?

12

(x?1)2?2的图象可由y?1

2x2的图象 ( )

A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

7、若抛物线y?ax2

?bx?c的所有点都在x轴下方，则必有 ( )

A、a?0,b2

?4ac?0 B、a?0,b2

?4ac?0 C、a?0,b2

?4ac?0 D、a?0,b2

?4ac?0 8、已知反比例函数y?

a

x

(a?0)，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数y?ax2?a的图象经过的象限是 ( )

A、第三、四象限 B、第一、二象限 C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限

9、二次函数y?ax2

?bx?c(a?0)，当x=1时，函数y有最大值，

设(x1,y1)，（x2,y2)是这个函数图象上的两点，且1?x1?x2，则 （ ）

A、a?0,y1?y2 B、a?0,y1?y2 C、a?0,y1?y2 D、a?0,y1?y2

10、函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）

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????????：?号?考? ?线??????????名?姓?封???????? ?????级?班??密??????????

B． C． D．

二。填空题

11、抛物线y?ax2

经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．

12、抛物线y?(k?1)x2?k2

?9，开口向下，且经过原点，则． 13、把函数y??

12

6

x的图象向左平移2个单位，

再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ．

14、二次函数y??x2

?2x?3的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为 ．

15、有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 。 16、抛物线y?x2

?x?c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，

(x22

2,0)，若x1?x2?3，那么c值为，抛物线的对称轴

为 ．

三。解答题

17．根据下列条件，求二次函数的关系式： （1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；

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（2）已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-31），求此二次函数的函数关系式．

19、把抛物线y?x2

?mx?n的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y?x2

?2x?2，求m、n．

20、已知二次函数y?x2

?bx?1的图象经过点（3，2）。 （1）求这个二次函数的关系式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。

21、已知抛物线y?ax2

?4ax?t与x轴的一个交点为A（-1，0）。 （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底

的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。

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????????：?号?考??线??????????名?姓?封?????????????级?班??密?????????? 22、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函 数有最大值2． （1）求二次函数的函数关系式； （2）设此二次函数图象的顶点为P，求⊿ABP的面积． ． 25、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年 市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克 售价y31（元）与销售月份x（月）满足关系式y?? 8x?36，而其每 千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定b、c的值； （2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间 的函数关系式； 23、如图，已知二次函数y??x2?mx?n，当x=3时， （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？有最大值4． 最大利润是多少？ （1）求m、n的值； y2（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B， 求A、B点的坐标； （3）当y＜0时，求x的取值范围； 24、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品 每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函26、已知开口向下的抛物线y?ax2?bx?c与x轴交于两点A（x1，0）数关系式； B（x（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多2，0），其中x1＜x2，P为顶点，∠APB=90°，若x1、x2是方程少最合适？最大销售利润为多少？ 的两个根，且x221?x2?26． （1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的函数关系式．

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