概率统计知识点归纳

平均数、众数和中位数

　　平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．

　　一、正确理解平均数、众数和中位数的概念

　　1．平均数　平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．

　　２．众数　在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．

　　３．中位数　中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．

　　二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系

　　平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．

　　三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题

由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．

极差、方差、标准差

极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.

一、          极差

一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.

二、方差

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x₁、x₂、x₃、…、x_n的平均数为，则该组数据方差的计算公式为：

.

三、标准差

  在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.

即标准差=.

四、极差、方差、标准差的关系

方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.

一、随机事件的概率

1、必然事件：一般地，把在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。

2、不可能事件：把在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。

3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。

4、随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。

7、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。

二、 概率的基本性质

1、事件的关系与运算

（1）包含。对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作。

不可能事件记作。

（2）相等。若，则称事件A与事件B相等，记作A=B。

（3）事件A与事件B的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。

（4）事件A与事件B的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。

（5）事件A与事件B互斥：为不可能事件，即，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。

（6）事件A与事件B互为对立事件：为不可能事件，为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。

2、概率的几个基本性质

（1）.

（2）必然事件的概率为1..

（3）不可能事件的概率为0. .

（4）事件A与事件B互斥时，P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。

（5）若事件B与事件A互为对立事件，，则为必然事件，.

三、古典概型

1、基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

具有这两个特点的概率模型称为古典概型。

3、公式：

四、几何概型

1、几何概型：每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型。

2、几何概型中，事件A发生的概率计算公式：

三类概率问题的求解策略

对于一个概率题，我们首先要弄清它属于哪一类型的概率，因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法；其次，要审清题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。

一、可能性事件概率的求解策略

对于可能性事件的概率问题，利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时，应注意按下列步骤进行：求出基本事件的总个数n;②求出事件A中包含的基本事件的个数m;③求出事件A的概率，即

二、互斥事件概率的求解策略

对于互斥事件的概率问题，通常按下列步骤进行：①确定众事件彼此互斥；②众事件中有一个发生；先求出众事件分别发生的概率，然后再求其和。

对于某些复杂的互斥事件的概率问题，一般应考虑两种方法：一是“直接法”，将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是用“间接法”，即先求出此事件的对立事件的概率，再用求出结果。

三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略

对于相互独立事件同时发生的概率问题，其求解的一般步骤是：①确定众事件是相互独立的；②确定众事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求它们的积。

概率的计算方法

一、公式法

利用公式就可以计算随机事件的概率，这里，，如果A为不确定事件，那么0＜＜1．

二、列表法

例．如果每组3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？

解：利用列表法：

 

列表中两次出现1，2，3点的可能性相同，因而共有9中可能，而牌面数字和等于4的情况有（1，3），（2，2），（3，1），3中可能，所以牌面数字和等于4的概率等于，即．

三、树状图法

如上题的另一中解法，就利用用树状图法来解：

 

总共9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为等于，即．

四、面积法

几何概型的概率的求解方法往往与面积的计算相结合

例．如图，矩形花园ABCD，AB为4米，BC为6米，小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率是多少？

解：矩形面积为：4×6＝24（米），

阴影部分面积为：（米），

．

第二篇：高中数学知识点总结_概率及其应用

概率及其应用

1. 解概率应用题要学会“说”：首先是记事件，其次是对事件做必要的分析，指出事件的概率类型，包括“等可能性事件”、“互斥事件”、“相互独立事件”、“独立重复试验”、“对立事件”等；然后是列式子、计算，最后别忘了作“答”。

2．“等可能性事件”的概率为“目标事件的方法数”与“基本事件的方法数”的商，注意区分“有放回”和“不放回”；“互斥事件”的概率为各事件概率的和；“相互独立事件”的概率为各事件概率的积；若事件在一次试验中发生的概率是，则它在次“独立重复试验”中恰好发生次的概率为；若事件发生的概率是，则的“对立事件”发生的概率是1-等。有的同学只会列式子，不会“说”事件，那就根据你列的式子“说”：用排列（组合）数相除的是“等可能性事件”，用概率相加的是“互斥事件”，用概率相乘的是“相互独立事件”，用的是“独立重复试验”，用“1减”的是“对立事件”。

[举例1] 已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；  （07高考天津文18）

解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件；从甲盒内取出2个球（基本事件）有种方法，它们是等可能的，其中2个球均为红球（目标事件）的有种，∴

；设“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件，有；

而“取出的4个球均为红球”即事件A、B同时发生，又事件相互独立，

∴．

（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．=，；

而“取出的4个红球中恰有4个红球”即事件有一个发生，又事件互斥，∴

答：取出的4个球均为红球的概率是，取出的4个球中恰有1个红球的概率是。

[举例2] 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．（07高考湖南文17）

解析：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训即事件、同时发生，其概率是

所以该人参加过培训的概率是．

解法二：任选1名下岗人员，设该人只参加过一项培训为事件C，，与

互斥，∴P（C）=P（）=P（）+P（）=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45;

该人参加过两项培训为事件D，P(D)=P(AB)=0.6×0.75=0.45

该人参加过培训即C、D有一个发生，且C、D互斥，∴其概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=0.9;

（II）解法一：设任选3名下岗人员，3人中恰有2人参加过培训为事件E，E是独立重复实验，其中n=3,k=2,p=0.9,∴P(E)==0.243,

设任选3名下岗人员，3人都参加过培训为事件F，P(F)==0.729．

“3人中至少有2人参加过培训”即E、F有一个发生，又E、F互斥，∴它的概率是：P(E+F)

=P(E)+P(F)=0.243+0.729=0.972；

解法二：设任选3名下岗人员，3人中恰有1人参加过培训为事件G，P(G)=

;设任选3名下岗人员，3人都没有参加过培训为事件H，P（H）=

；“3人中至少有2人参加过培训”即，

P()=;

答：任选1名下岗人员该人参加过培训的概率是0.9，任选3名下岗人员，这3人中至少有2人参加过培养的概率是0.972

[巩固1] 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：

（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；

（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；（07高考北京文18）

[巩固2] 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立．

（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；

（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．（07高考重庆文17）

3．要准确理解题意，吃透其中的“关键词”，如： “至多”、“至少”、“恰有“、“不全是”、“全不是”等；要能读出题目的“言下之意”。

[举例1]在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．

（I）求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；

（II）求笼内至少剩下5只果蝇的概率．（07高考安徽文19）．

解析：设笼内恰好剩下只果蝇的事件为 ．

（I）笼内恰好剩下1只果蝇即第7只飞出的是苍蝇，而前6只飞出的蝇子中有1只苍蝇、5只果蝇；基本事件有种，它们是等可能的，其中目标事件有种，

故==；（II）笼内至少剩下5只果蝇为事件+，=

=，=，又事件、互斥，故P(+)=P()+P()=+

=；答：笼内恰好剩下1只果蝇的概率为，笼内至少剩下5只果蝇的概率。

．

[举例2]甲、乙两人个有4张卡片，现以掷硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢得乙一张卡片，否则乙赢得甲一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏立即终止，求掷币次数不大于6时游戏恰好终止的概率。

解析：显然，至少需掷币4次，游戏才可能终止；现要求掷币次数不大于6时游戏终止，看似有三种情况，即掷币次数分别为4、5、6，但事实上掷币5次游戏终止的情况是不可能出现的：因为，首先前4次不可能都为正面或反面（否则掷币4次后游戏已经终止），若前4次中有1次反面而其它4次都为正面，此时甲手中有7张卡片，乙手中有1张卡片，游戏尚未终止。设掷币4次游戏终止的事件为A，P（A）=2×=；掷币6次游戏终止的事件为B，则前4次中有1次反面而其它5次都为正面，或前4次中有1次正面而其它5次都为反面，∴P（B）=2×=，有又掷币次数不大于6时游戏恰好终止为A+B ，且

A、B互斥，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=+=；

[巩固1] 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；

（Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率.（精确到0.001）

[巩固2] 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（       ）

A．，B． C．  D．

[巩固3] 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．（07高考全国卷Ⅱ理19）

4．关注概率与其它知识点的“交汇”，如数列、不等式、解析几何等。

[举例1]设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件

，若事件的概率最大，则的所有可能值为（   ）     （07高考山东文12）

A．3            B．4            C．2和5    D．3和4

解析：点落在直线上，即；集合和中随机取一个数和

有6种方法，它们是等可能的，其中使得有1种，使得有2种，使得有2种，使得有1种；故使得事件的概率最大的可能为3和4。

[举例2] 正四面体的各顶点为，进入某顶点的动点 X不停留在同一个顶点上，每隔1秒钟向其他三个顶点以相同的概率移动。秒后X在的概率用(n=0,1,2……) 表示。当，，时，

（1）求；             (2)求与的关系（）

（3）求关于n的表达式，   （4）求关于n的表达式

解析：即1秒后动点在的概率，它有三种情况；①开始时（0秒）在，1秒后移动到；由题意知，每隔1秒钟动点 X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为；所以这种情况的概率为：×=；②开始时在，1秒后移动到；其概率为：

×=；③开始时在，1秒后移动到；其概率为：×=；

又这种情况互斥，∴=++=。我们设想一下，如果仍然按这个办法计算

，将不胜其烦，因为首先要算、、；事实上1秒后动点在，即开始时（0秒）动点不在，其概率为：1-=,而每隔1秒钟动点 X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为；所以=×=。类似的，2秒后动点在，即1秒后动点不在，其概率为：1-=,∴=×=；秒后动点在，即秒后动点不在，其概率为：1-，∴=[1-]×。至此，问题化归为数列问题。即：已知数列{}满足：=-+，求通项公式。用待定系数法构造等比数列，设+=-[+]，得=，可见

数列{}是以-为公比的等比数列，其首项为=

∴=，=。

完全类似地，可得=-+，于是有=-[]

但=0，∴数列{}是常数列，即=。

点评：本题的关键是：第秒后动点在某一顶点即意味着第秒后动点不在该顶点，由此反映的它们的概率之间的关系正是数列的前后项之间的关系即递推关系，于是从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的办法解决之。

[巩固1]已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是       （     ）          （07高考四川理12）

（A）        （B）            （C）            （D）

[巩固2]位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位`于点的概率是   （    ）        （07高考山东理12）

A．        B．     C．     D．

[巩固3]有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站，第1站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从n到n+1），若掷出反面，棋子向前跳两站（从n到n+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营），或跳到第100站（失败集中营）时该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为P(n)；（1）求P(1), P(2),P(3);（2）求证：数列{P(n)-P(n-1)}是等比数列 (n∈N^﹡,n≤99)；（3）求P(99)及P(100)的值。

答案

2、[巩固1]0.1512,0.01458;[巩固2],0.4825；3、[巩固1]0.648,0.138；[巩固2]C

[巩固3]0.2,；4、[巩固1] B，[巩固2] B，[巩固3] P(1)= ，P(2)= ，P(n)-P(n-1)= -[ P(n-1) - P(n-2)] ( 2≤n≤99，n∈N)，P(99)=[2-（）⁹⁹]；P(100) = [1+（）⁹⁹]。