高一数学 集合：

1、定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2、集合与元素的关系：（1）如果a是集合A的元素,就说a属于集合A，记作a?A；

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A ，记作a?A。

3、常见集合：(1)非负整数集(或自然数集) ：N ；(2)正整数集合：N*或N?；(3)Z，

(4)有理数集合：Q；(5)实数集合：R.

注意：（1）自然数集N含有0；

（2）整数集Z、有理数Q、实数集R内排除0的集合分别表示为： Z*或Z+、Q*或Q+、R*或R+。

4、集合三要素：确定性、互异性、无序性。

5、集合的分类：（1）有限集——含有有限个元素的集合。

（2）无限集——含有无限个元素的集合。

特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作?。

6、集合的表示方法：

（1）列举法——把集合中的元素一一列举出来的方法。如{x1，x2，?，xn}。

（2）描述法：{ x | p(x) }有时也可写成{ x：p(x) }。

（3）文氏图（又叫韦恩图）： （4）区间表示法

知识点二：集合之间的关系

1、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。 记作：A?B或(B?A).

性质：①??A（特别地???）； ②A ?A ； ③ 若A?B,B?C,则A?C。

2、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等

性质：A=B?A?B,B?A

3、真子集：如果集合A?B，但存在元素x?B，且x?A，则称集合A是集合B的真子集. 记作：AB?A?B，A?B

性质：①若A??,则有??A。 ②如果A?B,B?C，那么A?C。

③规定：空集合是任何集合的子集.

4.子集的性质

①AA，即任何一个集合都是它本身的子集

②如果AB，BA，那么AB

③如果AB，BC，那么AC

④如果A??B，B??C，那么A??C

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二 空集

1.不含任何元素的集合叫做空集，记作.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3.{0}、0、与{}之间的关系 0{0} 0{0} {0}

三 有限集合的子集的个数

1.n个元素的集合有个子集

2.n个元素的集合有

3.n个元素的集合有

4.n个元素的集合有个真子集 个非空子集 个非空真子集

知识点三：集合间的基本运算：

1、并集：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：A∪B={x| x?A,或x?B}.

性质：①A∪A=A ②A∪Φ=A ③A∪B=B∪A

④A?A∪B ，B?A∪B ⑤A∪B=B?A?B

2、交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：A∩B={x| x?A,且x?B}.

性质：①A∩A=A ②A∩Φ=Φ ③A∩B=B∩A

④A∩B?A ，A∩B?B ⑤A∩B=A?A?B

3、全集与补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即A?S），由S 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。 记作：CSA={x| x?S,且x?A}

性质：①CUU=Φ ②CUΦ=U ③CU(CUA)=A

④(CUA)∩A=Φ ⑤(CUA)∪A=U

⑥CU(A∩B)=(CUA )∪(CUB) ⑦CU(A∪B)=(CUA )∩(CUB)

说明：⑴“?,?”只能用在元素与集合之间。“?,?,?,?,?”等只能用在集合与集合之间。 ⑵一般地，若一个集合有n个元素，则它有2n个子集，2n-1个真子集。

⑶一般地，对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)。

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习题

1、集合{a，b，c }的真子集共有 个 （ ）

A 7 B 8 C 9 D 10

2、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U（M∪N）=（ ）

A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}

3、集合P??x|x?2k,k?Z?，Q??x|x?2k?1,k?Z?，R??x|x?4k?1,k?Z?，且a?P,b?Q，则有（ ）

A、 a?b?P

C、a?b?R B、a?b?Q D、a?b不属于P、Q、R中的任意一个

4、设集合A={1,a,b},B={a,,ab},且A=B，求实数a、b的值.

5、设全集U=R，集合

练习

一、选择题

1、下列四组对象，能构成集合的是（ ）

A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家

C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.下列命题中，正确的有 （ ）

①空集是任何集合的真子集 ，或，集合，或，求,,,

? ②若A??B，B ?C，则A??C

③任何一个集合均有两个或两个以上的真子集

④如果凡不属于B的元素也不属于A，则AB

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（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④

3、若{1，2}?A?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

x?y?1

4x?y??1 的解集是 ( )

A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1}

5、以下六个关系式：0??0?，?0???，0.3?Q, 0?N, ?a,b???b,a? ，?x|x2?2?0,x?Z?是空集中，错误的个数是（ ）

A 4 B、3 C、2 D、1

6、点的集合M＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( )

A.第一象限内的点集

C. 第一、第三象限内的点集 B.第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集

7、设集合A=x?x?2?，B=xx?a?，若A?B，则a的取值范围是 （ ）

A aa?2?

8、已知a

A.

二、填空题

9、若A?{?2,2,3,4}，B?{x|x?t2,t?A}，用列举法表示10、集合A={x| x2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B?A，则a=__________

11、集合A??x|x??3或x?3?，B??x|x?1或x?4?，A?B?____________.

12、已知集合A={x|x2?x?m?0}, 若A∩R=?，则实数m的取值范围是13、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.

三、解答题

14、已知集合M{2，，}，若2

第 4 页 ??? B aa?1? ，则 （ ） C.?C aa?1? ? D aa?2? ?， B. D. ，求x.

15、已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

1、设全集U=?2,3,a2?2a?3，A=?2,b?，CUA=?5?，则ab

2、已知集合，，则等于（ ）

} ?A、(0,1),(1,2) B、{(0,1),(1,2)} C、{y|y=1或y=2} D、{y|y

3、若集合{1,3,x},{1,},{1,3,x}，则满足条件的实数x有（ ）

C、3个 D、4个 A、1个 B、2个

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第二篇：【强烈推荐】高一数学必修二总结

高中数学必修二复习

基本概念

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：

空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

（1）共面： 平行、 相交

（2）异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法

两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]

最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直

esp.直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

两个平面的位置关系：

（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

（2）两个平面的位置关系：

两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交

二面角

（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]

（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp. 两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）

多面体

棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：

（1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形

（2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

（3） 多个特殊的直角三角形

esp：

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，；    

当时，； 

当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式： 

注意下面四点：

(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P₁、P₂的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：直线斜率k，且过点

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y₁。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因

l上每一点的横坐标都等于x₁，所以它的方程是x=x₁。

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：（）直线两点，

④截矩式：

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

⑤一般式：（A，B不全为0）

注意：1各式的适用范围   

 2特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；  

 平行于y轴的直线：（a为常数）；

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）

（二）垂直直线系

垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）

（三）过定点的直线系

① 斜率为k的直线系：，直线过定点；

② 过两条直线，的交点的直线系方程为

（为参数），其中直线不在直线系中。

（5）两直线平行与垂直

当，时，

；

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（6）两条直线的交点

 相交

交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解 ；          方程组有无数解与重合

（7）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，

则 

（8）点到直线距离公式：一点到直线的距离

（9）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

圆的方程

（1）标准方程，圆心，半径为r；

（2）一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为

当时，表示一个点；  当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)²+(y-b)²=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则过此点的切线方程为(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)= r²

圆与圆的位置关系

通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆，

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当时，两圆内含；   当时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

      圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点