椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的基本知识

  1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c).

2.椭圆的标准方程：

 

（＞＞0）               （＞＞0）

焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程

3.求轨迹方程的方法:    定义法、待定系数法、相关点法、直接法

解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x₀, y₀),

则x＝x₀,   y＝   得x₀＝x， y₀＝2y.

∵x₀²＋y₀²＝4,   得  x²＋(2y)²＝4,

即所以点M的轨迹是一个椭圆.

 4.范围.  x²≤a²，y²≤b²，∴|x|≤a，|y|≤b．

椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．

5.椭圆的对称性

椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．

原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

6.顶点   只须令x＝0，得y＝±b，点B₁(0,－b)、B₂(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A₁(－a,0)、A₂(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A₁(－a, 0)、A₂(a, 0)、B₁(0, －b)、B₂(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．

线段A₁A₂、B₁B₂分别叫做椭圆的长轴和短轴.

长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的

长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．

|B₁F₁|＝|B₁F₂|＝|B₂F₁|＝|B₂F₂|＝a．

在Rt△OB₂F₂中，|OF₂|²＝|B₂F₂|²－|OB₂|²，

即c²＝a²－b²．

.

椭圆典型例题

例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．

解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．

又，所以，适合．故．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在轴上时，设其方程为．

由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．

当焦点在轴上时，设其方程为．

由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．

例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．

分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．

（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．

解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，

故其方程为．

（2）设，，则．      ①

由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．

例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．

从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，

可求出，，从而．

∴所求椭圆方程为或．

例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．

解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：     ·．①

由椭圆定义知：    ②，则得     ．

故  ．

例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，

即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即．∴点的轨迹是以，为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

例7 已知椭圆

（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，

求线段中点的轨迹方程． 

                       

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：  ． ⑥

将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．

（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：              ．（椭圆内部分）

（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：     ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得  ：  ，  ⑦，      将③④平方并整理得

，     ⑧，             ，      ⑨

将⑧⑨代入⑦得：            ，         ⑩

再将代入⑩式得：   ，     即    ．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例8 已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

解：（1）把直线方程代入椭圆方程得   ，

即．，解得．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．

根据弦长公式得  ：．解得．方程为．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

解：如图所示，椭圆的焦点为，．

点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．

解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．

所求椭圆的长轴：，∴，又，

∴．因此，所求椭圆的方程为．

例10   已知方程表示椭圆，求的取值范围．

解：由得，且．

∴满足条件的的取值范围是，且．

说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

例11   已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．

解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．

因此且从而．

说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在轴上，知，． (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件．

例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程

分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

解：设所求椭圆方程为(，)．由和两点在椭圆上可得

即所以，．故所求的椭圆方程为．

例13 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

分析：可以利用弦长公式求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为，，所以．因为焦点在轴上，

所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．

由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，，      从而．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为，设，，则，．

在中，，即；

所以．同理在中，用余弦定理得，所以．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．

再根据焦半径，，从而求出．

例14　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为A．4　　　B．2　     　C．8　     　D．

说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．

例15 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上．

利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围．

解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点．

∵的斜率，∴设直线的方程为．由方程组消去得

　　①。∴．于是，，

即点的坐标为．∵点在直线上，∴．解得．　②

将式②代入式①得　　③

∵，是椭圆上的两点，∴．解得．

(法2)同解法1得出，∴，

，即点坐标为．

∵，为椭圆上的两点，∴点在椭圆的内部，∴．解得．

(法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为．

∵，在椭圆上，∴，．两式相减得，

即．∴．

又∵直线，∴，∴，即　①。

又点在直线上，∴　　②。由①，②得点的坐标为．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．

(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式．

例17 在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程．

∴所求椭圆方程为

例18 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，(或，)的值代入计算即得．

并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得

　①   

 设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴

∵为中点，∴，．∴所求直线方程为．

方法二：设直线与椭圆交点，．∵为中点，∴，．

又∵，在椭圆上，∴，两式相减得，

即．∴．∴直线方程为．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点．

∵、在椭圆上，∴　　①。     　　　　　②

从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为．

说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．

若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？