椭圆知识点

【知识点1】椭圆的概念:

   在平面内到两定点F₁、F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

   当动点设为M时，椭圆即为点集  

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程

焦点在x轴上椭圆的标准方程:  ，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)

焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：焦点坐标为（0，c，）(o，-c)

【知识点3】椭圆的几何性质:

规律:

(1)椭圆焦点位置与x²，y²系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.

(2)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

(3)在椭圆中，离心率

(4)椭圆的离心率e越接近１椭圆越扁；e越接近于０，椭圆就接近于圆；

(5)离心率公式：在中，，，

二、椭圆其他结论

1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是

若已知切线斜率K，切线方程为

2、若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是

3、椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为

4、以焦点半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短

6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A₁、A₂为椭圆长轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF。

7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是

9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

10、若P为短轴顶点，则最大

【知识点4】椭圆中的焦点三角形:

定    义:∣PF₁∣+∣PF₂∣＝2a    ∣F₁F₂∣＝2c

余弦定理:∣F₁F₂∣²=∣PF₁∣²+∣PF₂∣²-2∣PF₁∣∣PF₂∣cosθ(∠F₁PF₂=θ)

面积公式:在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点， 

         ，则

【知识点5】点(x₀,y₀)与椭圆(a>b>0)的位置关系:

点P在椭圆上         

点P在椭圆内部          点P在椭圆外部

【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断：

①  直线斜率存在时

   直线与椭圆相交   直线与椭圆相切    直线与椭圆相离 

②  直线斜率不存在时判断y有几个解

例1.            已知：椭圆与直线交于、两点，、中点为，求直线的方程

(点差法：)

例2.            求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程         ()

设：所求椭圆方程为

例3.            求过点且与椭圆有相同离心率的椭圆方程     (、)

设：所求椭圆方程为

例4.            已知椭圆的离心率，求的值   (、)

例5.            若椭圆上存在、两点，关于直线 ，对称。求的取值范围。

双曲线知识点

【知识点1】双曲线的概念:

   在平面内到两定点F₁、F₂的距离的差的绝对值等于常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

   当动点设为M时，椭圆即为点集  

注意：若，则动点的轨迹为两条射线；

若，则动点的轨迹无图形。

【知识点2】双曲线的标准方程

焦点在x轴上双曲线的标准方程:  ，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：焦点坐标为（0，c，）(o，-c)

【知识点3】双曲线的几何性质

规律:

1.双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．

2.区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a²＝b²＋c²，而在双曲线中c²＝a²＋b².

(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．

(3)在双曲线中，离心率

(4)双曲线的离心率e越大,开口越阔.

(5)等轴双曲线离心率

(6)共轭双曲线两离心率、满足：

【知识点4】双曲线中的焦点三角形:

定    义:∣PF₁∣-∣PF₂∣＝±2a    ∣F₁F₂∣＝2c

余弦定理:∣F₁F₂∣²=∣PF₁∣²+∣PF₂∣²-2∣PF₁∣∣PF₂∣cosθ(∠F₁PF₂=θ)

面积公式:在双曲线（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是双曲线上任意一点， 

         ，则

【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：

设直线，双曲线联立解得

（1）若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

（2）若即时，

①直线与双曲线相交，有两个交点；

②直线与双曲线相切，有一个交点；

③直线与双曲线相离，无交点；

【知识点6】弦长公式:

 │AB│=，

    （其中k为直线斜率）

【知识点7】中点弦问题（点差法）：遇到弦中点，两式减一减。若要求弦长，韦达来帮忙。

二、双曲线其他结论

1、若在双曲线圆上，则过的双曲线的切线方程是

若已知切线斜率K，切线方程为

2、若在双曲线外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是

3、双曲线的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为

4、以双曲线焦半径PF₁为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切(内切或外切)。

5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短

6、双曲线焦点到渐近线的距离等于虚半轴长。

7、AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

8、若不在双曲线与渐近线之间的区域内，则存在被P所平分的中点弦直线方程。

典例

例1、       已知双曲线，点，过点M的直线与双曲线交于A、B两点，M为线段AB中点，求直线的方程。

例2、       求过点且与双曲线有相同焦点的双曲线方程   ()

设：所求双曲线方程为

例3、       求与双曲线有相同渐近线且过点的双曲线方程   ()

设所求双曲线方程为

例4、       已知双曲线，过点，能否作直线使它与双曲线交于A、B两点，且M为线段AB中点？(，舍去)

【抛物线】

1、抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l (l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

抛物线

2、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H₁H₂称为通径；通径：|H₁H₂|=2P

3、焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则

(1) x₀+， (2)，－p²

(3) 弦长,，即当x₁=x₂时,通径最短为2p

(4) 若AB的倾斜角为θ，则=

(5) +=

4、关于点，

5、关于点

第二篇：椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点

【知识点1】椭圆的概念:

   在平面内到两定点F₁、F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

   当动点设为M时，椭圆即为点集  

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程

焦点在x轴上椭圆的标准方程:  ，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)

焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：焦点坐标为（0，c，）(o，-c)

【知识点3】椭圆的几何性质:

规律:

(1)椭圆焦点位置与x²，y²系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.

(2)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

(3)在椭圆中，离心率

(4)椭圆的离心率e越接近１椭圆越扁；e越接近于０，椭圆就接近于圆；

(5)离心率公式：在中，，，

二、椭圆其他结论

1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是

若已知切线斜率K，切线方程为

2、若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是

3、椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为

4、以焦点半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短

6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A₁、A₂为椭圆长轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF。

7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是

9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

10、若P为短轴顶点，则最大

【知识点4】椭圆中的焦点三角形:

定    义:∣PF₁∣+∣PF₂∣＝2a    ∣F₁F₂∣＝2c

余弦定理:∣F₁F₂∣²=∣PF₁∣²+∣PF₂∣²-2∣PF₁∣∣PF₂∣cosθ(∠F₁PF₂=θ)

面积公式:在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点， 

         ，则

【知识点5】点(x₀,y₀)与椭圆(a>b>0)的位置关系:

点P在椭圆上         

点P在椭圆内部          点P在椭圆外部

【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断：

①  直线斜率存在时

   直线与椭圆相交   直线与椭圆相切    直线与椭圆相离 

②  直线斜率不存在时判断y有几个解

例1.            已知：椭圆与直线交于、两点，、中点为，求直线的方程

(点差法：)

例2.            求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程         ()

设：所求椭圆方程为

例3.            求过点且与椭圆有相同离心率的椭圆方程     (、)

设：所求椭圆方程为

例4.            已知椭圆的离心率，求的值   (、)

例5.            若椭圆上存在、两点，关于直线 ，对称。求的取值范围。

双曲线知识点

【知识点1】双曲线的概念:

   在平面内到两定点F₁、F₂的距离的差的绝对值等于常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

   当动点设为M时，椭圆即为点集  

注意：若，则动点的轨迹为两条射线；

若，则动点的轨迹无图形。

【知识点2】双曲线的标准方程

焦点在x轴上双曲线的标准方程:  ，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：焦点坐标为（0，c，）(o，-c)

【知识点3】双曲线的几何性质

规律:

1.双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．

2.区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a²＝b²＋c²，而在双曲线中c²＝a²＋b².

(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．

(3)在双曲线中，离心率

(4)双曲线的离心率e越大,开口越阔.

【知识点4】双曲线中的焦点三角形:

定    义:∣PF₁∣-∣PF₂∣＝±2a    ∣F₁F₂∣＝2c

余弦定理:∣F₁F₂∣²=∣PF₁∣²+∣PF₂∣²-2∣PF₁∣∣PF₂∣cosθ(∠F₁PF₂=θ)

面积公式:在双曲线（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是双曲线上任意一点， 

         ，则

【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：

设直线，双曲线联立解得

（1）若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

（2）若即时，

①直线与双曲线相交，有两个交点；

②直线与双曲线相切，有一个交点；

③直线与双曲线相离，无交点；

【知识点6】弦长公式:

 │AB│=，

    （其中k为直线斜率）

【知识点7】中点弦问题（点差法）：遇到弦中点，两式减一减。若要求弦长，韦达来帮忙。