椭圆知识点

知识要点小结：知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

　注意：若，则动点的轨迹为线段；
　　　　　若，则动点的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程
　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，       才能得到椭圆的标准方程；
　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
　　3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；

当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，

知识点三：椭圆的简单几何性质
　　椭圆：的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为  ，，，　　
    ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：
　

　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
　　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；
　　

（2）；；；
　　（3）；；；

知识点四：椭圆 与 的区别和联系

注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法： 1．如何确定椭圆的标准方程？
　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

 2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义
　　椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。

可借助右图理解记忆：  　       　
　　显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置  椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程是表示椭圆的条件

方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法： ①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
　　②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

② 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

③ 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF₁F₂（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF₁F₂有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。

将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系.

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。

显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。

（一）椭圆及其性质1、椭圆的定义

（1）平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于常数（大于|F₁ F₂|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率

2、椭圆的标准方程

3、椭圆的参数方程

4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 

椭圆的准线方程

左准线         右准线

（二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：

（左焦半径）      （右焦半径）         其中是离心率 

焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：

  （ 其中分别是椭圆的下上焦点）

（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：

若直线与圆锥曲线相交与、两点，则

         弦长 

                

例1. 已知椭圆及直线y＝x＋m。（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。

2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(x₀，y₀)，

则AB的斜率为－.运用点差法求AB的斜率，设A(x₁，y₁)，

B(x₂，y₂)．A、B都在椭圆上，∴两式相减得

＋＝0，∴＋＝0，

即＝－＝－.故k_AB＝－.

例、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。

（四）、四种题型与三种方法四种题型1：已知椭圆C：内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求｜PA｜+｜PF｜的最小值。

2： 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求｜PA｜+｜PF|的最大值与最小值。

3：已知椭圆外一点A（5，6），l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，求|PA|+的最小值。

4：定长为d()的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。

三种方法1：椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点， 求三角形OAB的最小面积 。

2：已知椭圆 和直线 l:x-y+9=0 ，在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦

   点为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。

3：过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值 。

 课后同步练习

1.椭圆的焦点坐标是      , 离心率是________，准线方程是_________.

2.已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，过F₁的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF₂的周长为(     )A．8           B．16          C．25          D．32

3.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（   ）

A.5           B.6          C.4            D.10

4.已知椭圆方程为,那么它的焦距是  （    ）

A.6             B.3            C.3           D. 

5.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 

A.（0，+∞）    B.(0,2)         C.(1,+∞)         D.(0,1)  

6．设为定点，||=6，动点M满足，则动点M的轨迹是（    ）

A.椭圆           B.直线            C.圆           D.线段

7.已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为       .

8.已知椭圆的两个焦点坐标是F₁（-2，0），F₂（2，0），并且经过点P（），则椭圆标准方程是__          ___

9.过点A（-1，-2）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是__        __    

10.过点P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是_ __        ___

11.若椭圆的离心率是，则k的值等于         .

12.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y²＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是            .

13.F₁、F₂分别为椭圆+=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF₂是面积为的正三角形，则b²的值是             

14.设M是椭圆上一点，F₁、F₂为焦点，，则         

15.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

(A)          (B)            (C)                   (D)

16.设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的（      ）

（A）充要条件                          （B）必要不充分条件    

（C）充分不必要条件                    （D）既非充分也非必要

17.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则

                   。         ;

18、已知定点A（a，0），其中，它到椭圆上的点的距离的最小值为1，求a的值。

19、已知F₁?F₂是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任一点.

(1)若∠F₁PF₂=,求△F₁PF₂的面积。

(2)求|PF₁|·|PF₂|的最大值。

第二篇：高二椭圆知识点总结

椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（时为线段，无轨迹）。

2．标准方程： 

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（0,  ±c）   

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示： 或者  mx2+ny2=1  

二．椭圆的简单几何性质：

  1.范围

  （1）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

  （2）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

   2.对称性

       椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

 3.顶点

  （1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

  （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

  4．离心率

  （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，
记作e（），     

     是圆；

e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：

小结一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），  特征三角形

（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）

（3）基本线：对称轴（共两条线）

5．椭圆的的内外部

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

6.几何性质

（1） 最大角

 （2）最大距离，最小距离

1.        点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的外角.

2.        PT平分△PF₁F₂在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.        以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.        以焦点半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.        若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

6.        若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

7.        椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

8.        椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

,( , ).

9.        设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.    过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A₁、A₂为椭圆长轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF.

11.    AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

12.    若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

13.    若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

一、选择题：

1. 设定点，，动点满足条件，则动点 的轨迹是（   ）

A. 椭圆           B. 线段          C. 椭圆或线段            D. 不存在

2. 已知椭圆的一个焦点为，则椭圆的方程是（   ）

A.                             B.

C.                             D.

3. 椭圆上一点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离是（   ）

A.              B. 8                  C. 6                 D. 1

4. 椭圆的焦点坐标是（   ）

    A.      B.       C.    D.

5曲线和没有（   ）

A. 相同的焦点      B. 相同的离心率  

  C. 相同的短轴        D. 相同的长轴

6椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（   ）

A. 或          B.

C. 或       D. 或

7椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的取值是（   ）

    A.          B. 2            C.             D. 4

二、填空题

8. 已知椭圆方程，离心率为           ，此椭圆的长轴长为          。

9. 椭圆的焦点坐标为            ，顶点坐标为                。

10.，,则焦点在y轴上的椭圆的离心率为　　   。．

11 焦点在x轴上，焦距为的椭圆方程是　               。

三、解答题

12. （15分）平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

13（15分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，短轴长为，求椭圆的方程.