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函数的四大性质总结
知识点总结：
一． 单调性：
1. 定义：在定义域I里，有两个任意自变量,当时，则f（x）在定义域单调增。当时，则f（x）在定义域单调减。
2. 判断方法：①定义法（作差或作差比较）；②图象法；③单调性的运算性质；④复合函数
单调判断法则；⑤倒数法；
二． 奇偶性：
偶函数 ：f（-x）=f（x）（只需要满足这个式子就可以）
奇函数：f（-x）= - f（x）（只需要满足这个式子就可以）
三． 周期性：
如果存在一个数a，使得f（x+a）=f（x）[记忆方法：括号里面相减等于一个定值a]，则f（x）为周期函数，T=a。 周期函数有三种变形形式： 这三种形式的周期都为2a。
四． 对称性：
如果存在一个数a，使得f（x+a）=f（a-x）[记忆方法：括号里面相加等于一个定值2a]，则f（x）为对称函数，对称轴为x=a。
对称性和周期性的结合：
① f(x)关于（a,0）和(b,0)点对称,则f（x）是周期函数，T=2
② f(x)关于直线x=a和x=b对称,则f（x）是周期函数，T=2
③ f(x)关于点（a,0）和x=b点对称,则f（x）是周期函数，T=4
专题训练
（一）函数的单调性
1、当x??0,?，下列式子中正确的是 ?
?1?2?
?1? （A）logx?1?x??1 （B）???2?
21?x?1?????2?1?x （C）?1?x???1?x?2 （D）log2?1?x???1 2332、f?x??x?2?a?1?x?2在???,4?上是减函数，则a的取值范围是（ ）
（A）a??3 （B）a??3 （C）a?5 （D）a?3
1
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3、设P?log23，Q?log32，R?log2(log32)，则（ ） Ａ．R?Q?P 3．1
函数 A．
B．
Ｂ．P?R?Q
Ｃ．Q?R?P
Ｄ．R?P?Q
是单调函数时，的取值范围 C ．
D．
3.2、设偶函数f(x)的定义域为R，当x?[0,??]时f(x)是增函数，则f(-2),f(?),f(-3)的大小关系是（ ） （A）f(?)>f(-3)>f(-2) （B）f(?)>f(-2)>f(-3) （C）f(?)<f(-3)<f(-2) （D）f(?)<f(-2)<f(-3) 3.3、函数f(x)是(??,??)上的增函数，若对于x1,x2?R都有f(x1)?f(x2)?f(?x1)?f(?x2)成立，则
必有（A）x1?x2 （B）x1?x2 （C）x1?x2?0 （D）x1?x2?0 3.4、已知函数f（x）、g（x）定义在同一区间D上，f（x）是增函数，g（x）是减函数，且g（x）≠0,则在D
上
Af(x)+g(x)一定是减函数 B f(x)-g(x)一定是增函数 C f(x)·g(x)一定是增函数 D
f(x)g(x)
一定是减函数
4若a?2
0.5
，b?logπ3，c?log2sin
B．b?a?c
2π5
，则（ A ） C．c?a?b
D．b?c?a
A．a?b?c
5 函数f(x)=㏒
0.5
(x-1)(x+3)的单调递增区间是（A）
2
A （-∞，-3） B（-∞，-1） C （1，∞） D（-3，-1） 6
设a?lge,b?(lge),c?lg
（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a
7 下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2?（0，??），当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是 A．f(x)=
1x
B f(x)=(x?1) C f(x)=e D f(x)?ln(x?1)
2x
8 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2?[0,??)(x1?x2)，有
f(x2)?f(x1)x2?x1
?0则
A f(3)?f(?2)?f(1) B f(1)?f(?2)?f(3) C f(?2)?f(1)?f(3) D f(3)?f(1)?f(?2) 9
已知函数
f?x?是
R上的偶函数，且在区间
?0,???
上是增函数.令
2??5??5?????a?f?sin?,b?f?cos?,c?f?tan?，则 777??????
(A) b?a?c (B) c?b?a (C) b?c?a (D) a?b?c 10．函数
的单调区间为2
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11.f（x）=
a的取值范围。
二、函数的奇偶性
1、 函数 f?x?? （1）判断函数的奇偶性（2）若y=f（x）在 上为减函数，求lg1?x2?
x?2?2? （ ）
（A）奇函数 （B）是偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数
2、判断下列函数奇偶性：f?x??lg?x2?x 是 f?x????x2
x?2?2是。
3、已知f?x??x?ax?bx?8，且f??2??10，那么f?2?等于（ ） 53
（A）6 （B）－18 （C）－10 （D）10
4、函数f?x??x?1?a
?x2是奇函数，则实数a的值为（ ）
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 5、F?x???1??
???f?x?(x?0)是偶函数，且f?x?不恒等于零，则f?x?（ ） 2x?1?2
（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）非奇函数非偶函数
6、若f?x?、g?x?都是定义在R上的奇函数，若F?x??af?x??bg?x??2在区间?0,???上的最大值为5，
则F?x?在???,0?上的最小值为 。
7、奇函数f?x?在?3,7?上是增函数，在?3,6?上的最大值为8，最小值为－1，则2f??6??f??3??
（A）5 （B）－5 （C）－13 （D）－15
8、已知函数 f?x??ax?bcosx?sinx?1 ，满足，则2（f?/6）?5 则（f-?/6）?
A、5?3 B、3?5 C、4 D、－4 9、设偶函数f?x??logax?b在???,0?上递增，则f?a?1?与f?b?1?的大小关系是（ ）
Af?a?1??f?b?2? Bf?a?1??f?b?2? Cf?a?1??f?b?2? D不确定
10、已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调增加，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围是 1
3
A（1
3，23） B ［
3 13，23） C（12，23） D ［12，23） 勤鸟先飞 --------------------------------------------------------------------------------------------未雨绸缪
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（三）自对称、互对称、周期性
1、设函数y?f?x?定义在R上，则函数y?f?1?x?与函数y?f?1?x?的图象关于（ ）
（A）直线y?0对称 （B）直线x?0对称 （C）直线y?1对称 （D）直线x?1对称
2、设函数y?f?x?定义在R上，则函数y?f?x?1?与函数y?f?1?x?的图象关于（ ）
（A）直线y?0对称 （B）直线x?0对称 （C）直线y?1对称 （D）直线x?1对称
y?
3、函数3x?1x?2的图象（ ）
A关于点?2,?3?对称 B关于点??2,3?对称 C关于直线x??2对称 D关于直线x??3对称
4 设定义在R上的函数f?x?满足 f?x??f?x?2??13，若f?1??2，则f?99??( )
（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）
5、已知f?x?是定义在R上函数，且 f?x??132 （Ｄ）213 1?f?x?2?
1?fx?2 ,若f?1??2?3 ，则f?2005? 等于 （ ）
A、3?2 B、3?2 C、2?3 D、?2?3
6、 函数y?()与函数y??(1x2x
162)的图像关于 A、直线x?2 B、点（4，0）对称 C、直线x?4 D、点（2，0）对称
（四）函数图像的转换规则
1.设函数f?x??a?x(a?0,a?1),f?2??4，则（ ）
（A）f??2??f??1? （B）f??1??f??2? （C）f?1??f?2? （D）f??2??f?2?
2、若0?a?1且函数f?x??logax则下列各式中成立的是（ ）
1??1?1??1? （B）f?（A）f?2??f????f2?f????（C）???f??4???3??3??4?
3.、在下列函数中，在区间?0,1?上为增函数的是（ ）
（A）y??x?1??2
3?1??1?f???f?2??f?? （D）?3??4??1??1?f???f???f?2? ?4??3? （B）y?x?1 （C）y?log1x?1 （D）y?2
22?x?1
4、设函数f?x??log2x,?2?a?b??1,c?2则下列各式成立的是
（A）f?a??f?b??f?c?（B）f?c??f?b??f?a? （C）f?c??f?a??f?b? （D）f?b??f?a??f?c?
5、不等式 ?x?1??x?1 的解集为2
4
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A、???,2? B、?0,2? C、?0,1???1,2? D、???,1???1,2?
6、f?x??ax??b?1??a?0,a?1?的图象不经过第二象限，则必有（ ）。
（A）0?a?1,b?0 （B）0?a?1,b?0 （C）a?1,b?1 （D）a?1,b?0
x?3
10的图像，只需把函数y?lgx的图像上所有的点 （ C ） 7、为了得到函数y?lg
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长
8、设f(x)?lgx，若0?a?b?c，且f(a)?f(c)?f(b)，则下列关系正确的是
A 、ac?1?a?c B、 ac?1?a?c C、 ac?1?a?c D、 ac?1
2)9 ．对于函数①f(x)?lg(x?2?1)，②f(x)?(x?
命题甲：f(x?2)是偶函数；
命题乙：f(x)在(??，?)上是减函数，在(2，??)上是增函数；
命题丙：f(x?2)?f(x)在(??，??)上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（D）
Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②
10、下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（B） （0，+?）
32（A）y?x (B) y?x?1 （C）y??x?1 (D) y?2?x2，③f(x)?cos(x2?)，判断如下三个命题的真假：
11 函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(C)
12 ．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,??)上单调递减的函数为
A．y?ln（ C）
1|x| B．y?x 3C．y?2 |x|D．y?cosx
（五）三类性质的综合运用
1、 设 f?x? 是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当 x??2,3? 时，f?x??x ，则当 x???2,0? 是，
f?x? 的解析式为
5
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（A）f?x??x?4 （B）f?x??2?x
（C）f?x??3?x?1 （D）f?x??2?x?1
2、函数f?x?是以?为周期的奇函数，且（f-??9?）??1，则f???等于（ ） 4?4?
（A）?? （B）? （C）1 （D）－1 44
3、设f?x?是???,???上的奇函数，f?x?2???f?x?，当0?x?1时，f?x??x，则f?7.5?等于（A） A.
0.5 （B）－0.5 （C）1.5 （D）－1.5
5、设f?x?是定义在R上的偶函数，其图象关于x?2对称，已知x???2,2?时，f?x???x?1，则 2x???6,?2?时，求f?x?。
6、设奇函数f?x?的定义域为R，且满足f?x?2??f?x?，当x??0,1?时，f?x?
?2x?1,则f?log124?的值等于（ ）
2??????
（A）?1
2 （B）?23
24 （C）?5
6 （D）?5
2
7、定义在R上的偶函数f?x?满足f?x??f?x?2?，当x??3,5?时，f?x??2?x?4，则
?????2??2???（A）f??sin??f?cos? （B）f?sin1??f?cos1? （C）f?cos??f?sin6?6?3?3????
（D）f?cos2??f?sin2?
8 已知f(x)是周期为2的奇函数,当x?(0,1)时, ? ??23f(x)?2x,则f(log123)??)
216
?log2(1?x),9 定义在R上的函数f(x)满足f(x)?? 则f（2009）的值为：（09山东）f(x?1)?f(x?2)?
（A）-1 （B） 0 （C）1 （D） 210 已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调增加，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围是（09辽宁文）1
3
32323
1x11 已知函数f(x)满足：x?4,则f(x)=()；当x＜4时f(x)=f(x?1)，则f(2?log23)=（09辽宁文）2
1131（A）（A）（13，23） (B) ［13，2） (C)（1，2） (D) ［1，2）24 （B）12 （C）8 （D）8
12 函数f(x)的定义域为R，若f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，则09理
A、f(x)是偶函数
6
（ ） f(x?3) B、f(x)是奇函数 C、f(x)?f(x?2) 勤鸟先飞 --------------------------------------------------------------------------------------------未雨绸缪
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13．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?lgx.设a?f(),b?f(), c?f(), 6
53252
则选D.
（A）a?b?c （B）b?a?c （C）c?b?a （D）c?a?b
14．已知函数f(x)是(??,??)上的偶函数，若对于x?0，都有f(x?2）?f(x)，且当x?[0,2)时， f(x)?log2(x?1），则f(?2008)?f(2009)的值为（09江西文） A．?2 B．?1 C．1 D．215．已知f(x)为R上的减函数，则满足f?
A．(?11)， B．(0，1) ?1???f(1)的实数x的取值范围是 07福建 x??D．(??，?1)?(1，??) C．(?1，0)?(0，1)
16、已知奇函数 f?x? 在 ???,0? 上单调递减，且 f?2??0 ，不等式?x?1?f?x?1??0 的解集为（ ）
（A）?x?3?x??1? （B）x?1?x?1或1?x?3
（C）x?3?x?0或x?3 （D）x?3?x?1或x?2
17、已知f?x?是奇函数，定义域为?xx?R,x?0?，又f?x?在区间?0,???上是增函数，且f??1??0，则
满足f?x??0的x的取值范围为
（A）?1,??? （B）?0,1? （C）??1,0???1,??? （D）???,?1???1,???
18、已知 f?x? 是R上的偶函数，已知 g?x? 是R上的奇函数，且 g?x??f?x?1? ，若 f?1??2 ，则 ??????
f?2005? 的值为 （ ）
A、2 B、0 C、－2 D、±2
7
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