二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

? 值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、 描点法：

B、 图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换

2) 伸缩变换

3) 对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯

一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x，x∈D，且x<x； ○

2 作差f(x)－f(x)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）； ○

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○12121212

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调

性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，○

则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法

2) 待定系数法

3) 换元法

4) 消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴y?

⑵y?

2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _

3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是

?x?2(x??1)

?24.函数 ，若f(x)?3，则x= f(x)??x(?1?x?2)

?2x(x?2)?

5.求下列函数的值域：

⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2]

(3)y?x?

y?6.已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数f(x)，f(2x?1)的解析式

7.已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。

8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时

,f(x)?x(1? f(x)在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴ y?x2?2x?3

⑵y?⑶ y?x?6x?1 ,则当x?(??,0)时f(x)= 2

10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论．

11.设函数f(x)?1?x

1?x22判断它的奇偶性并且求证：f(1

x)??f(x)．

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，

*其中n>1，且n∈N．

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。 当nannn?a，当nann?a?|a|????a(a?0)(a?0)

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

ma

an?mnam(a?0,m,n?N,n?1)?1

n*，*??1m

anam(a?0,m,n?N,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）a〃a?a（2）

(a)(ab)

r

s

rrr?s

x

(a?0,r,s?R)； (a?0,r,s?R)；

?a

rs

r

s

r

（3）

（二）指数函数及其性质

?aa

(a?0,r,s?R)．

1、指数函数的概念：一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或

[f(b),f(a)]；

x

（2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a； 二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a?N

xx

(a?0,a?1)，那么数

a

x叫做以．a为底．．N的对数，记作：x?log

N（a— 底数，N

— 真数，log

a

N— 对数式）

说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1； 2 a○

x

?N?log

a

N?x；

3 注意对数的书写格式．log○

两个重要对数： aN

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数ln○

? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

N．

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么：

1 loga(M〃N)?logaM＋logaN； ○

2 log○

3 log○MaN?lognaM－log

aaN； aM?nlogM (n?R)．

注意：换底公式

logab?loglogccba

n

m （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）logambn?loga（2）logb；ab?1logba．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数

函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log

称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

2x，y?logx5 都不是对数函数，而只能5

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 例题：

1. 已知a>0，a

0，函数y=a与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

x

?

2.计算： ①

loglog

3

264

?1

3

?②2

4?log

2

3

= ；25

13

log527?2log52

= ;

27

③0.064

?(?

78

)?[(?2)]

03

?4

3

?16

?0.75

1

?0.012

=

3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为

2

2

4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知f(x)?loga1?x1?x（1）求f(x)(a?0且a?1)，的定义域（2）求使f(x)?0的x的取值范围

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。 即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数○

y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．

2（1）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的

图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

22

高中数学函数的图象变换经典

1、对称变换

①y

②y

③y

④y

⑤y?f(x)→y?f(?x)，关于Y轴对称（与偶函数联系起来记忆）； ?f(x)→y??f(?x)，关于坐标原点对称（与奇函数联系起来记忆）； ?f(x)→y??f(x)，关于?f(x)?y?f(x)?f(x)?y?f(x)X轴对称； ?0 利用y作图，将x轴下方的图象上翻。 利用偶函数作图，图象关于y轴对称

2、平移变换

①y

②y?f(x)→y?f(x?a),(a?0) 向左或向右平移a个单位（左“＋”右“－”）； b个单位（上“＋”下“－”）； ?f(x)→y?f(x)?b,(b?0)向上或向下平移

?f(x)3、函数y

①的图象的对称性 的对称轴是直线x?a?b

2f(x?a)?f(b?x)?f(x)（自变量相加除2得对

称轴）。

②f(a?x)?f(a?x)?2b?y?f(x) 关于点（a，b

?f(x)）中心对称。 特别地：函数y的图象关于直线x?a对称

?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)。

4、几个结论：

①若函数y?f(x)是偶函数?f(x)?f(?x)?f(x?a)?f(?x?a)?

第 9 页 共 10 页 f(x)关

于直线x＝0对称； ②若函数y?f(x?a)是偶函数?f(x?a)?f(?x?a)?

?f(x?a)关于直线f(x)关于直线x＝a对称? 函数y

x＝0对称。

第二篇：函数图像总结

高一数学函数图像知识点总结

一、函数图像知识点汇总

1．函数图象的变换

1平移变换

①水平平移：y＝fx±aa＞0的图象,可由y＝fx的图象向左＋或向右－平移a个单位而得到．

②竖直平移：y＝fx±bb＞0的图象,可由y＝fx的图象向上＋或向下－平移b个单位而得到．

2对称变换

①y＝f－x与y＝fx的图象关于y轴对称．

②y＝－fx与y＝fx的图象关于x轴对称．

③y＝－f－x与y＝fx的图象关于原点对称．

由对称变换可利用y＝fx的图象得到y＝|fx|与y＝f|x|的图象．

①作出y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；

②作出y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．

3伸缩变换

①y＝afxa＞0的图象,可将y＝fx图象上每点的纵坐标伸a＞1时或缩a＜1时到原来的a倍,横坐标不变．

②y＝faxa＞0的图象,可将y＝fx的图象上每点的横坐标伸a＜1时或缩a＞1时到原来的倍,纵坐标不变．

4翻折变换

①作为y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；

②作为y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．

2．等价变换

可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：1写出函数解析式的等价组；2化简等价组；3作图．

3．描点法作图

方法步骤：1确定函数的定义域；2化简函数的解析式；3讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值甚至变化趋势；4描点连线,画出函数的图象．

注意：

一条主线

数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可本末倒置．

两个区别

1一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称．

2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系．

三种途径

明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．

1图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．

2函数解析式的等价变换．

3研究函数的性质．

二、例题解析

三、复习指导

函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻