函  数

一、知识网络

二、重要知识点及典型例题

1. 映射的概念：（任意对唯一）设

① A中所有元素都有象（在B中），并且象是唯一的；

② B中的元素未必有原象（在A中），允许B中的元素有剩余.

函数的概念: （任意对唯一）

函数的三要素: 对应关系,定义域,值域是函数的三要素,缺一不可.

☆☆复合函数的定义域求法：若的定义域为[a,b],则的定义域即为的解集.若的定义域为[a,b]，则的定义域即为在[a,b]的值域. (相同的对应法则整体自变量的取值范围不变)

2.求函数解析式的方法:

(1)代入法:已知一个函数的解析式,求另外的解析式,直接代入.已知,求.

☆(2)待定系数法:已知函数的类型,要求函数解析式时,可根据类型设其解析式,从而确定系数即可.

   如:已知 是一次函数,且,求.

(3)拼凑法:已知y =?[g (x)]的解析式,要求y =?(x)时,可从y =?[g (x)]的解析式中拼凑出“g (x)”,即用g (x)来表示,再将两边的g (x)用x代替即可.   如:已知:,求f (x).

☆(4)换元法:象上面的题目,也可以令,再求出的解析式,然后用x代替所有的t即可得到所求函数的解析式.

(5)方程组法（消去法）:根据题目中的条件,列出所求的y =?(x)所满足的方程组,通过解方程组得到问题的解答,在这里要注意的是函数的可变化性. 如:已知 ,求?(x).

3..函数的图象作法

  (1)描点法:①列表;②描点;③用光滑的曲线连线.

  (2)变换作图法: 一个函数图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象平移、、,对称、翻折、伸缩是图象的四种基本变换:

  1)平移变换,主要有

☆  ①水平平移:的图象,可由的图象向左或者向右平移（左加右减）个单位得到; 水平平移不改变函数的值域.

☆②上下平移:的图象,可由的图象向上或者向下平移（上加下减）个单位得到. 竖直平移不改变函数的定义域.

2)对称变换（函数的对称性）主要有

☆①与的图象关于轴对称;

☆②与的图象关于轴对称;

☆③与的图象关于原点对称;

☆④与的图象关于直线对称;

⑤与的图象关于直线对称;

☆⑥与的图象关于直线对称;

若(或者则的图象关于直线对称;

⑦与的图象关于对称;

⑧与的图象关于点对称;

⑨若存在常数,使得对于函数的定义域内的每一个仍在定义域内,且,则的图象关于直线对称.

☆3)翻折变换,主要有

①的图象在轴的右侧的部分与的图象相同,在轴左侧部分与其右侧部分关于轴对称;

②的图象在轴的上方部分与的图象相同,其他部分图象为图象在轴下方部分关于轴的对称图形.

☆4)伸缩变换,主要有（三角函数中）

①的图象,可将的图象上每点的纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)而得到;

②的图象,可将的图象上每点的横坐标伸长或缩短为原来的倍(纵坐标不变)而得到.

4. 函数值域（最值）的求法:

(1)观察法:直接根据函数表达式得到函数的值域.   如:求函数的值域.

(2)不等式法(部分分式法):根据不等式的性质直接推导得到值域.

 如:求函数的值域.

☆(3)反表示法(反函数法):将函数表示成另一种形式求值域.

如:求函数的值域.

☆(4)中间变量法（方程思想）:借助于中间变量来解决问题.(中间变量的范围已知).

如:求函数、的值域.

(5)配方法:通过配成完全平方来求解.如:求函数的值域.

☆(6)图象法（数形结合法）:根据函数的图象得到函数值域的求解.

如：求函数的值域

☆(7)换元法:通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解.(注意变元的取值范围不能改变) 如:求函数、的值域.

(8)判别式法:借助于二次函数的判别式来求函数的值域. 如:求函数的值域.

☆5 函数的单调性:函数的单调性是一个局部概念:单调区间在变换的时候,不能交,也不能并,在写法上一定要注意规范性.

  （1）判断函数的单调性（利用定义：取值任意—作差变形—判断正负—得出结论）

  （2）求复合函数的单调区间（同增异减）先求定义域

       如：求函数，，的单调区间

  （3）利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等

☆6 函数的奇偶性：（注意定义域是否关于原点对称）

①是偶函数对于任意的恒成立的图像关于轴对称

②是奇函数对于任意的恒成立的图像关于原点（0，0）轴对称，  ☆ 奇函数若在处有意义则；有时用来判断奇偶性

☆③奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上具有相同（相反）的单调性

☆7函数的周期性：（主要是针对抽象函数及三角函数）

或是周期为2T的周期函数

如：等

8 反函数  

 (1) 的定义域与值域互换

☆ (2) ）

☆（3）y = f ( x )与y = f^－1( x )有相同的单调性、奇偶性（奇）

(4) 函数y = f ( x )的图象关于直线y = x对称f^－1( x )= f ( x ) 为自反函数

（5）若函数y = f ( x )是单调递增函数,则y = f ( x )与y = f^－1( x )的图象的交点必在直线y = x.

(注意:原函数与反函数的图象交点并不一定在直线y = x上)

附1        ☆☆专题一、 一元二次函数在闭区间上的最值

二次函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0)在闭区间[p，q]上的最值可能出现以下三种情况：

(1)若＜p，则f(x)在区间[p，q]上是增函数，则f(x_)min=f(p)、f(x)_max=f(q)

(2)若p≤≤q，则f(x)_min=f()  此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：

①当p≤＜时，f(x)_max=f(q)     ②当＜＜q，则f(x)_max=f(p)

(3)若≥q，则f(x)在区间[p，q]上是减函数，则f(x)_min=f(q)，f(x)_max=f(p)。

三类型：定区间定轴；定区间动轴；定轴动区间

附2           专题二、 一元二次方程的实根分布

二次方程实根的分布问题，就是讨论二次函数的图象与x轴交点与坐标原点的位置关系的问题，因此，理解交点及二次函数系数（a─开口方向，a、b—对称轴，c—图象与y轴的交点）的几何意义，掌握二次函数图象的特点，是解决此类问题的关健。

设f(x)＝ax²＋bx＋c  (a＞０), 则一元二次方程f(x)＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达定理来确定．

如果f(m) f(n)＜０ (m＜n),由二次函数y＝f(x)的图像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有一个实数根．

9指、对数

(1)指数与对数:分数指数幂: 正数的正分数指数幂的意义： ),.

对数: 一般地,如果a (a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a^b=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,

记作:N=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.   ☆   ;

☆对数恒等式: ;  ☆对数换底公式: ;  常用对数,自然对数.     ☆ 关系式:N=ba^b=N;

☆指数的运算性质（1）a^m?aⁿ=a^m+n；(2)(a^m)ⁿ=a^m?n; (3)(a·b)ⁿ=aⁿ?bⁿ(a>0,b>0,m,n∈R).

☆对数的运算性质: 若>0, ≠1，M>0，N>0，则:①log_a(MN)=log_aM+ log_aN;

② ; ③log_aMⁿ=nlog_aM（n∈R）.④

(2) 指数函数与对数函数:

☆(3) 幂、对数的大小比较（注意底数是参数时的分类）

  (1)底数相同,指数（真数）不同的两个幂的大小比较（函数单调性法）

(2)底数不同,指数（真数）相同的两个幂的大小比较（作商法）/（利用换底公式）

(3)底数与指数（真数）都不同的两个幂的大小比较（中间值法）

10 三角函数

（1）三角的化简（注意“变”）

☆巧变角、变函数名；活用公式（同角、和差、倍角及变形公式）

☆（2）三角函数的最值

①型（和差公式）③型（“1”的代换）

②型（倍角公式将次）④型（化①）

 ⑤型（换元令化为二次函数）

（3）三角函数的图象的变换和性质（用上面的方法化为）

对称轴、对称中心，☆单调区间，周期用公式，☆图象的变换

第二篇：高中函数应用题模型全总结

高中函数应用题模型全总结

山东 孙道斌

函数应用题主要有以下几种常见模型：

1、一次函数模型

例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？ 分析：每月所赚的钱=卖报收入的总价—付给报社的总价。而收入的总数分为三部分：①在卖出400份的20天里，收入为0.5x?20；②在可卖出250份的10天里在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为0.5?250?10；③没有卖掉的(x?250)份报纸可退回报社，报社付出(x?250)?0.08?10的钱。注意写出函数式的定义域。

解：设每天应从报社买x份，易知250?x?400。设每月赚y元，得：

y?0.5x?20?0.5?250?10?(x?250)?0.08?10?0.35x?30

?0.3x?1050,x?[250,400]

因为y?0.3x?1050在其定义域上为增函数，

所以，当x?400时，每月所获的利润最大，最大值为ymax?120?1050?1170（元）。 答：每天应从报社买进400份，才能使每月所获的利润最大，每月可赚1170元。 评注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长,即为增函数，一次项系数为负时为减函数。

2、二次函数模型

例2某工厂生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品A征收附加税率为p%时，每年销售额将减少10p万件。据此，试问：

（1）若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求p的范围；

（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时p的值。

分析：将税务部门对商品A征收的税金表示出来，注意考虑一些实际情况。 解：（1）设每年征收的税金为y万元，则y?80(80?10p)p%，

?p?0?由题意得：?80?10p?0，

?80(80?10p)p%?96?

解之得：2?p?6。

所以，p的范围是[2,6]。

（2）由题意知：??p?0， 80?10p?0?

?0?p?8，

由y?80(80?10p)p%??8(p?4)2?128，

?当p?4时，ymax?128。

答：当税率为4%时，税务部门获得最高税金128万元。

评注：在第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件80?10p?0。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。

3、指数函数模型

例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：

（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系；

（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；

（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？

分析：本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律。

解：（1）1年后该城市人口总数为：

y?100?100?1.2%?100?(1?1.2%)，

2年后该城市人口总数为：

y?100?(1?1.2%)?100?(1?1.2%)?1.2%?100?(1?1.2%)2，

3年后该城市人口总数为：

y?100?(1?1.2%)2?100?(1?1.2%)2?1.2%?100?(1?1.2%)3，

x年后该城市人口总数为：

y?100?(1?1.2%)x。

（2）10年以后该城市人口总数为：y?100?(1?1.2%)

（3）设x年以后该城市人口将达到120万人，

即100?(1?1.2%)?120，

?x?log1.0121.2?15（年）。 x10。 ?112.7（万）

（4）设年增长率为x，依题意有：100?(1?x)20?120，

即(1?x)20?1.2，

由计算器计算得：1?x?1.009，

?x?0.009?0.9%，

即年增长率应控制在0.9%以内。

评注：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示为y?N(1?p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为 时间)的形式。

4、分段函数模型

例4通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越大），经过实验分析得知：

??t2?24t?100,0?t?10?f(t)??240,10?t?20,

??7t?380,20?t?40?

（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？

（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

分析：对于分段函数，分别求出f(t)各段中的最大值，通过比较就可以求出f(t)的最大值。

22解：（1）当0?t?10时，f(t)??t?24t?100??(t?12)?244是增函数，且

f(10)?240。

当20?t?40时，f(t)??7t?380是减函数，且f(20)?240。

所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟。

,f(25)?205， （2）f(5)?195

所以，讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中。

2（3）当0?t?10时，令f(t)??t?24t?100?180，则t?4。

当20?t?40时，令f(t)??7t?380?180，则t?28.57。

所以，学生的注意力在180以上所持续的时间28.57?4?24.57?24。

所以，经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。

评注：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先后或年同时构造、利用几个函数模型，即分段函数模型方可。

5、幂函数模型

例5在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度I与电线半径r的三次方成正比。

（1）写出函数解析式；

（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，求电流通过半径为r毫米的电线时，其电流强度的表达式；

（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计算该电流的强度。

解：（1）I?kr（k为常数）。

（2）由（1）知：320?k?4，

解得：k?5。

所以，电流通过半径为r毫米的电线时，其电流强度的表达式为I?5r。

3（3）由（2）中电流强度的表达式，将r?5代入得：I?5?5?625安。 333

评注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题，关键是分清各个量的物理意义及相关关系。

6、对数函数模型

例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v?5log2O，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量。 10

（1）计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

解：（1）由题意，当燕子静止时，它的速度v?0， 所以，0?5log2O， 10

解得：O?10个单位。

（2）由耗氧量是O?80得：

v?5log280?5log28?15(m/s)。 10