商学院高等数学考前疑点归纳2011.11.18

一、知识性：

1、函数的高阶求导

2、莱布尼兹公式的理解及应用

3、极限存在准则的应用补充

4、函数间断点的求法及连续性证明

5、隐函数、复合函数求导

6、无穷大、无穷小的求解及证明

7、中值定理的应用及例题讲解，零点定理与中值定理的应用区别

8、语言证明技巧，何时放缩，怎样放缩，何时要划定范围？

9、参数方程二阶求导中，为什么？

10、若在处可导，则在的某邻域内有界而非连续，为什么？

二、题目求解：

1、7、已知，试由条件确定的值。

11、设在上连续，，证明至少存在一点使得：。

证明：设、，

，在、构成的区间上连续，且介于与之间，由介值定理知至少存在一点使得：

12、设在上连续，且，证明在上至少存在一点，使。

证明：设，则在连续，且

若等号成立，取，结论成立。否则，由零点定理，存在，使得

，结论成立。

13是11的特例。

14、设在内连续，且，，证明在内至少存在一点零点。

证明：，，使得；又，，使得。由在内连续，，知在上连续。由零点定理，存在，使得。

3、设在上有意义，，，求证：（1）若单调减少，则；（2）若单调增加，则。

证明：（1）因为单调减少，，，所以

同理。所以相加并消去得：。

（2）同理可得。

10、设，证明：。

证明：，

1（6）、

2、设有次多项式，若多项式的第一个系数与最后一个系数异号，证明：方程至少有一个正根。

3、设在内有意义，且，，又

，其中，求。

4、周期为，它在的某邻域内满足且在处可导，求曲线在点处的切线方程。

5、在具有连续导数，且，试求。

6、求的阶导数。

7、设，讨论的可微性。

8、可导，，求。

9、设，，证明收敛，并求。

10、设在上一阶可导，且， ，证明：

，使得。

第二篇：高数复习总结

第一章

1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练；

2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流；

3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功； 4）1的∞次方的极限是重点，多练几个题；

5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你说句话你体会一下，“连续的概念是逐点概念”，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了；

6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定；

7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限；

8）两个重要极限、两个基本极限 把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用e的抬头法，一个是注意“趋向不同，结果就大不一样的极限”，还有注意lnx的定义域>0;

9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。例题：无穷大无穷小 有界变量无界变量；

10）注意夹逼定理的条件很强，不要漏掉要点；

11）“见根号差，用有理化”！！！ 这是思维定势，很管用；

第二章

1） 导数的概念非常重要！！！一定会在解答题（主观题）中让你展现出你对它的理解是透彻的，所以这里不要用什么特殊化思想，就是严格按照定义来演算推理；

2） 导数公式倒背如流的要求不算过分吧 呵呵；

3） 连续可导的要求一个弱一个强，只要改变条件的强弱就会有截然不同的做法，你做题的时候一定要总结一下，回顾一下，看看条件的强弱问题，然后在每个题上标记出来，便于以后再复习；

4） 由于有些函数求导会出现x在分母上出现，所以要知道：即使不是分段函数，有时也要用定义去求导，而且乘积中某个因子在某点不可导，但乘积在该点也可能可导；

5） 中值定理的难点在于构造辅助函数，构造函数是根据题目的要求来的，除了陈文灯等人写的方法外，关键是多看例题，熟练了，自然就会了（我上次给同学们说的是“微分方程法”和“凑”法，这两个掌握了就足够了）；

6） 函数性态部分是基本功，一定要耐心的按照函数作图的几大步骤认真做几个题，这样就可以把函数的各种性态串起来了，方法：抄例题，然后背下来，自己默一遍；

7） 三个式子的不等事，即A 8） 能用微分中值定理的，一般用积分中值定理也可以搞定，你也试试吧，体会一下数学思想和定理的联系，是有好处的；

9） 这部分的经济应用题不难，关键是仔细一些，对弹性等概念理解好，你经济学的好的多了，我就不说了：）；

第三章

1） 一元函数积分是高等数学中最重要的部分之一，一元函数的积分不学扎实，后面的多元函数的积分就是空中楼阁，要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型，如有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分；

2） 给你说几个准公式： ； ； ，作题时相当有用的哦，关键是反过来用你要有意识；

3） 这里特别提醒注意积分限函数，一句话：“积分限x在积分过程中是常量，在积分完毕后是变量”，这是核心的东西，抓住它就不会迷失方向；

4） 旋转体的体积看来是一定要考了，当然是重点，关键：一个是公式记清，应该是绕x轴还是y轴都要搞的清清楚楚，另一个就是体会移图和移轴的不同，这里要用到积分的计算，是体现基本功的地方；

5） 积分在经济中的应用也是重重之重，记清概念，把握公式，清醒审题，仔细答题，搞定；

6） 广义积分关键是计算，不是证明！！！记住重点；

7） 广义积分中积分函数是加减函数时不能将加减函数拆开分别积分，应将加减函数整体积分。积分上下限代入积分函数若无意义，则理解为取极限，你做做这个题就明白了：I= .

8） 其实广义积分和定积分的概念很容易搞清，一句话：定积分存在有两个必要条件，即积分区间有限，被积函数有界。破坏了积分区间有限，引出无穷区间上的广义积分，破坏了被积函数有界，引出无界函数的广义积分。

9） 把握住上面的这句话，就可以不晕了，看出来了吧，基本概念非常清楚的人才能学好；

10） 定积分是一个数！！！这是一个经常命题的地方，好记吗？那就记住吧；

11） 不定积分去根号时不用考虑绝对值，而定积分去根号时则要考虑绝对值！！！这个好错，一定要记住，会的可不要错哦，不然就惨喽；

12） 经验一个：三角有理函数式的积分，若有理函数式分母为 ，则可以通过分子分母同时乘上一个式子，使分母变为积的形式，另外，

还可以直接变形为积的形式来求解

13） 被积函数只要是可以看成两个不同类函数的积，就要优先考虑分步积分法，经验哦：）；

14） 这里提一下，对于选择题中的抽象函数问题，我个人的认识是：将复杂的形式化成简单的形式，比如对抽象复合函数做变量替换，与其说是一种技巧方法，不如说是一条普遍的规律，任何事物都有由繁到简的趋势，这是可以上升到哲学层面的认识问题，（哈哈，这是英语学多了，not so much…as…用了一下）；

15） 一个经验：如果在一个函数或者积分等中的函数，当它是同一个x的函数时，比如f(x)g(x)的形式，可以对其中的任何一个进行放大缩小或者变形，而另一个可以不动，这样的处理往往是需要的，很有用，当你作不下去时，想想我说的这个