椭圆知识点
【知识点1】椭圆的概念:
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
当动点设为M时,椭圆即为点集
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形。
【知识点2】椭圆的标准方程
焦点在x轴上椭圆的标准方程: ,焦点坐标为(c,0),(-c,0)
焦点在y轴上的椭圆的标准方程为:焦点坐标为(0,c,)(o,-c)
【知识点3】椭圆的几何性质:
规律:
(1)椭圆焦点位置与x2,y2系数间的关系:焦点在分母大的那个轴上.
(2)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最小距离为a-c.
(3)在椭圆中,离心率
(4)椭圆的离心率e越接近1椭圆越扁;e越接近于0,椭圆就接近于圆;
(5)离心率公式:在中,,,
二、椭圆其他结论
1、若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是
若已知切线斜率K,切线方程为
2、若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是
3、椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5、过焦点的弦中,通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短
6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF。
7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,
即。
8、若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是
9、若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
10、若P为短轴顶点,则最大
【知识点4】椭圆中的焦点三角形:
定 义:∣PF1∣+∣PF2∣=2a ∣F1F2∣=2c
余弦定理:∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ(∠F1PF2=θ)
面积公式:在椭圆(>>0)中,焦点分别为、,点P是椭圆上任意一点,
,则
【知识点5】点(x0,y0)与椭圆(a>b>0)的位置关系:
点P在椭圆上
点P在椭圆内部 点P在椭圆外部
【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断:
① 直线斜率存在时
直线与椭圆相交 直线与椭圆相切 直线与椭圆相离
② 直线斜率不存在时判断y有几个解
例1. 已知:椭圆与直线交于、两点,、中点为,求直线的方程
(点差法:)
例2. 求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程 ()
设:所求椭圆方程为
例3. 求过点且与椭圆有相同离心率的椭圆方程 (、)
设:所求椭圆方程为
例4. 已知椭圆的离心率,求的值 (、)
例5. 若椭圆上存在、两点,关于直线 ,对称。求的取值范围。
双曲线知识点
【知识点1】双曲线的概念:
在平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
当动点设为M时,椭圆即为点集
注意:若,则动点的轨迹为两条射线;
若,则动点的轨迹无图形。
【知识点2】双曲线的标准方程
焦点在x轴上双曲线的标准方程: ,焦点坐标为(c,0),(-c,0)
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为:焦点坐标为(0,c,)(o,-c)
【知识点3】双曲线的几何性质
规律:
1.双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e=?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
2.区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a,b,c关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
(2)双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈(0,1).
(3)在双曲线中,离心率
(4)双曲线的离心率e越大,开口越阔.
【知识点4】双曲线中的焦点三角形:
定 义:∣PF1∣-∣PF2∣=±2a ∣F1F2∣=2c
余弦定理:∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ(∠F1PF2=θ)
面积公式:在双曲线(>>0)中,焦点分别为、,点P是双曲线上任意一点,
,则
【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断:
设直线,双曲线联立解得
(1)若即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
(2)若即时,
①直线与双曲线相交,有两个交点;
②直线与双曲线相切,有一个交点;
③直线与双曲线相离,无交点;
【知识点6】弦长公式:
│AB│=,
(其中k为直线斜率)
【知识点7】中点弦问题(点差法):遇到弦中点,两式减一减。若要求弦长,韦达来帮忙。
第二篇:圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线选知识点总结
一、椭圆
1、定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹称为椭圆.
即:|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质:
二、双曲线
1、定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于
F1F2)的点的轨迹称为双曲线.即:||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|)。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质:
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 三、抛物线
1、定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线. 2、抛物线的几何性质:
3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于?、?两点的线段??,称为抛物线的“通径”,即???2p. 4B(x2,y2),直线AB设AB为过抛物线y2?2px(p?0)焦点的弦,A(x1,y1)、
的倾斜角为?,则
p22p
⑴x1x2?,y1y2??p2;⑵AB?; 2
4sin?
⑶以AB为直径的圆与准线相切; ⑷焦点F对A、B在准线上射影的张角为⑸
?
2
;
112??. |FA||FB|P
四、直线与圆锥曲线的位置关系
??几何角度(主要适用于直线与圆的位置关系)直线与圆锥曲线的位置关系????代数角度(适用于所有直线与圆锥曲线位置关系)
1.直线与圆锥曲线?
?直线与圆锥曲线相交的弦长问题?利用一般弦长公式(容易)
??
?利用两点间距离公式(繁琐)?
2.直线与圆锥曲线的位置关系:
⑴.从几何角度看:(特别注意)要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看:设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2?bx?c?0。 ①. 若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线L与双曲线的渐进线平行或重合;
当圆锥曲线是抛物线时,直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若a?0,设??b2?4ac。a.??0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交。 b.??0时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切。c.??0时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离。
五、弦长问题:
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化解这个难点的方法是:设而不求,根据根与系数的关系,进行整体代入。即当直线斜率为k与圆锥曲线交于点
??
A?x1,y1?,B?x2,y2?时,则
AB=?k2x1?x2=?k2
=?
x1?x2?2?4x1x2 ?y1?y2?2?4y1y2
11
y?y?=12k2k2