函数

1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。这时，称y是x在映射f的作用下的象记作f（x）。x称作y的原象。

2.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素

3.求函数的定义域常涉及到的依据为

①分母不为0；

②偶次根式中被开方数不小于0；

③实际问题要考虑实际意义

④零指数幂的底数不等于零；

⑤对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；

⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响

4.函数值域：

①

②

5、函数图像变换知识

①平移变换：

形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移

｜a｜个单位，就得到y=f(x+a)的图象。

形如：y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a｜个单位，就得到y=f(x)+a的图象

②.对称变换     y=f(x)→ y=f(－x),关于ｙ轴对称

y=f(x)→ y=－f(x) ,关于ｘ轴对称

③.翻折变换

y=f(x)→y=f|x|,  (左折变换)

把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）

把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称

在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y轴。

6函数的表示方法

①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法

         ②图像法：如果图形是函数的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.

         ③如果在函数中，是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法

7．分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

8函数单调性及证明方法:

①增函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)< f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。

　　②减函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)> f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。此区间叫做函数f(x)的单调减区间。

③证明方法

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；

第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”；

第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性

9.函数的奇偶性

⑴奇函数

①设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。

  ②奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。

　③奇函数的定义域必须关于原点（0，0）中心对称，否则不能成为奇函数。

　④若F(X)为奇函数，且X在零处有定义，则F(0)=0.

⑤定义域关于原点对称。

（2）偶函数

①设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)= f(x)，则这个函数叫做偶函数。

②如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称.

③定义域关于原点对称。

（3）奇函数偶函数运算

  ①两个偶函数相加所得的和为偶函数.

　②  两个奇函数相加所得的和为奇函数.

　③ 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

　④ 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

　⑤  两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

　⑥ 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

⑦奇函数不一定f(0)=0，也不一定有f(0)=0推出奇函数

    ⑧定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；

（4）奇偶函数图象。

①奇函数的图象关于原点成中心对称。

②偶函数的图象关于Y轴成轴对称。

③奇偶函数的定义域一定关于原点对称！

　④奇函数的偶数项系数等于0，偶函数的奇数项系数等于0。

　⑤Y=0即是X轴，既是奇函数也是偶函数~！

10.一次函数二次函数

（1）一次函数

①函数叫做一次函数，定义域为R，值域为R。k叫做直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。一次函数又叫线性函数。

②当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

③当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。

　当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。

　当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

④解析式类型

一般式：ax+by+c=0

　斜截式：y=kx+b　（k为直线斜率，b为直线纵截距；其中正比例函数b=0）

　点斜式：y-y1=k(x-x1) （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

　两点式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) （已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点）

截距式：x/a + y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

⑤当k>0时，函数为增函数

当k<0时，函数为减函数。

（2）二次函数

①函数 叫做二次函数，定义域为R

②a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

③抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

④定点坐标：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

⑤抛物线与x轴交点个数：

　　Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

11．待定系数法

①定义：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写成为一般的形式，其中系数为待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

②一般过程：首先确定所求问题含待定系数的解析式； 其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. 最后解方程或消去待定系数。

12、函数与方程

①函数的思想：函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

②方程的思想：方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；

③零点：对于函数y=f(α)，使得f(α)=0的实数α叫做函数f(x)的零点.。

第二篇：三角函数基础知识总结

自主招生讲座1—基础知识

1.定义1  角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

2.定义2  角度制，把一周角360等分，每一等份为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。=2π rad。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径（相应的扇形面积为）。

3.定义3  象限角：角的终边落在象限内的角，如为第一象限角。

轴线角：角的终边落在坐标轴上的角，如终边落在轴上的角的集合为： 

4.定义4  三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sin=,余弦函数cos=,正切函数tan=，余切函数cot=，正割函数sec=,余割函数csc=（在单位圆中定义更加简单）

（1）三角函数的正否：“一全二正弦，三切四余弦”

（2）与大小关系如图：             

（3）的大小范围如图：

5.定义5  三角函数线：略

6.定理1  同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos=；商数关系：tan=；乘积关系：tan×cos=sin,cot×sin=cos；平方关系：sin²+cos²=1, tan²+1=sec², cot²+1=csc²；若，则为轴线角。

7.定理2  诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。

8.三角函数的图像：略（留意的图像）

9.正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇函数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.

10.余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.

11.正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（，0）均为其对称中心。这里k∈Z.

12.的性质：单调区间：增区间（），（），减区间（），（）；最小正周期为2π，奇函数，对称轴为，对称中心为，值域为。这里k∈Z.

13. 的性质：单调区间：增区间（），（），减区间（），（）；最小正周期为2π，偶函数，对称轴为，对称中心为，值域为。这里k∈Z.

14.的性质：减区间为（）；最小正周期为π，奇函数，对称中心为，值域为R。这里k∈Z.

15.平移与伸缩变换：（1）先平移后伸缩；（2）先伸缩后平移。图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。

16.两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=（注意其的变形形式）

17.和差化积与积化和差公式:（重要）

sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,

cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

18.倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α, tan2α=

19.三倍角公式：=

20.半角公式:sin=,cos=,

tan==

21.万能公式: , ,

22.辅助角公式：如果a, b是实数且a²+b²0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.

asinα+bcosα=sin(α+β).

23.正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

24.余弦定理：在任意△ABC中有a²=b²+c²-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

25.在中，下列公式成立：

（1）

（2）

（3）

（4）

（4）

（5）

（6）

26.函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理15  三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)ⁿarcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.

27.若，则sinx<x<tanx.

28.三角与复数

（1）复数的4种形式：（是复数的模）

（2）

（3）

（4）隶莫弗公式：复数的次方

（5）复数的次方根为

（6）方程的解为，其中