平面向量题型总结（新高数学）
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）若
，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（5）直角坐标平面上的
轴、
轴都是向量。（6）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
（7）若
与
共线， 与
共线，则与共线。（8）若
，则
。
（9）若
，则
。 （10）若与不共线，则与都不是零向量。
（11）若
，则
。 （12）若与均为非零向量，
，则
。
2.给出命题
（1）零向量的长度为零，方向是任意的. （2）若，都是单位向量，则＝.
（3）向量
与向量
相等. （4）若非零向量与
是共线向量，则
，
，
，
四点共线.
以上命题中，正确命题序号是
A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4）
题型2.向量的线性运算
1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则
。
2.化简
=_______;
=________； _ 
3.已知
,
,则
的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知
的和向量，且
，则
，
。
5.已知点C在线段AB上，且
,则
， 。
6．已知向量
反向，下列等式中成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7计算：（1）
（2）
8.已知
求与
垂直的单位向量的坐标 。
9．与向量
=（12，5）平行的单位向量为 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，D、E、F分别是
ABC边AB、BC、CA上的
中点，则下列等式中成立的有_________：
①
②
③
④
题型3平面向量基本定理
1.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A. 
B. 
C. 
D. 
2.（2011全国一5）在
中，
，
．若点满足
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量
（ ）.
A．
B．
C．
D．
4.如图，ABCD是梯形，AB//CD，且
，M、N分别是DC和AB的中点，已知
，
，试用和
表示
和
题型4向量的坐标运算
1.已知
，
，则点的坐标是 。
2.（2011四川卷3）设平面向量
，则
( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
3.【2012高考广东文3】若向量
，
，则
A. 
B. 
C. 
D. 
4【2012高考广东理3】若向量=（2,3），
=（4,7），则=
A．（-2,-4） B． (3,4) C． (6,10) D． (-6,-10)
5.已知
,向量
与相等，求
的值。
6.已知
是坐标原点，
，且
，求
的坐标。
7.已知梯形
的顶点坐标分别为
，
，
，且
，
，求点的坐标。
题型5.求数量积
1.已知
，且
与
的夹角为
，求（1）
，（2）
，（3）
，（4）
。
2.已知
，求（1）
，（2），
3.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =
(A) —1 (B) —
(C) (D)1
4.（2011北京卷11）已知向量
与
的夹角为
，且
，那么
的值为 ．
5. △ABC中，
,则
题型6求向量的夹角
1.已知
，
，求与的夹角。
2.已知
，求与的夹角。
3.已知平面向量
满足
且，则
的夹角为
5.已知
，
，
（1）若与的夹角为钝角，求
的范围；
（2）若与的夹角为锐角，求的范围。
题型7.求向量的模
1.已知，且与的夹角为，求（1）
，（2）
。
2.【2012高考重庆文6】设
，向量
且 ，则
（A）
（B）
（C）
（D）
3.（2011上海卷5）若向量，满足
且与的夹角为
，则
．
4. 已知
,点
在线段
的延长线上,且
,求点的坐标
5．已知
与
，要使
最小，则实数
的值为___________。
题型8投影问题
1． 已知
，的夹角
，则向量在向量上的投影为
3．关于
且
，有下列几种说法：
① 
； ② 
；③
④在方向上的投影等于在方向上的投影 ；
⑤
；⑥
其中正确的个数是 （ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
5．若
=
，
=
，则在上的投影为________________。
题型9.向量的平行与垂直
1.已知
，
，当为何值时，（1）
？（2）
？
2.（广东卷3）已知平面向量
，
，且//，则
＝（ ）
A、
B、
C、
D、
3.（2011海南卷5）已知平面向量
=（1，－3），
=（4，－2），
与垂直，则
是（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
4．已知
,
,当
为何值时，
（1）
与
垂直？（2）
与
平行？平行时它们是同向还是反向？
5.已知
，
，
，求证：
三点共线。
6如果
，
，
，求证，，三点共线．
7.设
是两个不共线的向量，
，若A、B、D三点共线，求k的值.
8.已知向量
，
（1）求证：
（2）是否存在不为0的实数和，使
，且
？如果存在，试确定与的关系；如果不存在，请说明理由
题型10平面向量与三角函数的综合应用
1.【2012高考陕西文7】设向量=（1.
）与=（-1， 2）垂直，则
等于 （ ）
A
B C .0 D.-1
2．设
，
，且
，则锐角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2011广东卷理）已知向量
与
互相垂直，其中
．
（1）求
和的值；
（2）若
，求
的值．
4.已知向量
, 
，且
⑴求
的值
（2）求函数
的值域
5. 已知向
且
（1）求函数
的解析式；
（2）当
时，的最小值是
，求此时函数的最大值，并求出相应的的值
选做：
1．若
是非零向量且满足
，
，则与的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量
，向量
，则
的最大值是 ．
3若P为
所在平面内一点，且满足
,则点P在（ ）
A..
平分线所在的直线上 B.线段AB的垂直平分线上
C .AB边所在的直线上 D.AB边的中线上
4.已知O，N，P在
所在平面内，且
，且
，则点O，N，P依次是的（ ）
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
5已知非零向量
则△ABC为（ ）
A．等边三角形 B．等腰非直角三角形 C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形
6. 点P满足
, 当在(0, +
)变化时, 动点P的轨迹一定过ABC的_____心