《线性代数》复习提纲

第一章、行列式

1．行列式的定义：用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n?3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

?行列式值为0的几种情况：

Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；

Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式Mij、代数余子式Aij?(?1)i?jMij

定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 （-1）aq1aq2?aqn，t为q1q2?qn的逆序数 n阶行列式也可定义：D??12nt

4.行列式性质：

1、行列式与其转置行列式相等。

2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

3、行列式某行（列）乘数k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.

5.

：若线性方程组的系数行列式D?0，则方程有且仅有唯一解x1?DD1D,x2?2，?，xn?n。 DDD

：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0.

：若齐次线性方程组的系数行列式D?0，则其没有非零解。

：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。 r1r1

r2

?

rn

a

??

a

c

?

c

6. ??r r?r1rn ， rnr2????1?n(n?1)2?r r?r1rnbbd?d?(ad?bc)n, 1x1x12?x1n?11x22x21x32x3???1xn2xn? ?n?1x2??n?i?j?1?(xi?xj)，（两式要会计算） n?1n?1x3?xn范德蒙德行列题型：Page21（例13）

第二章、矩阵

1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

（2）关于乘法的几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；

④|kA|=kn*|A|。只有方阵才有幂运算。

（3）转置：（kA）T=kAT， ?AB?T?BＴAＴ

（4）方阵的行列式：AT?A，?knA，AB?AB

－１（5）伴随矩阵：AA*?A*A?AE，A*?，A*的行元素是A的列元素的代数余子式 AE）Ａ

（6）共轭矩阵：＝（aij），，kA?，AB?

?A11?B11?A?B??（7）矩阵分块法：??A?Bs1?s1??T?A11A1r?B1r??ATs1????T??? ?，A????AT?AT?Asr?Bsr??sr??1r

3．对称阵：方阵AT?A。 对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。

3．矩阵的秩

（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

（2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

（3）0≤R(Am?n)≤min{m,n} ； R?AT??R?A? ；若A~B，则R(A)=R(B) ；

若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A) ; max{R(A),R(B)} ≤R(A,B) ≤R(A)+R(B) ；

若AB=C，R(C)≤min{R(A),R(B)}

4．逆矩阵

（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；

（2）性质：?AB??1?B?1A?1， ?A'?-1??A-1? '；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）

（3）可逆的条件：① |A|≠0； ②r(A)=n; ③A->I;

A*1伴随矩阵法A?；②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A?1） （4）逆的求解：○A-1

1存在有限个初等矩阵P1，…，Pl，使A?P1P2?Pl ○2A~E （5）方阵A可逆的充要条件有：○

第三章、初等变换与线性方程组

ｉ?ｋ? 性质：初等变换可逆。 1?Ａ?2?Ａ??3?Ａ??????Ｂ?Ｂ?，○???Ｂ?，○　1、初等变换：○ｉ?ｊｉ＋ｋ?ｊ

等价：若A经初等变换成B，则Ａ与Ｂ等价，记作A~B

1 R(A)=R(B)=R(A,B) 等价的充要条件：○

2m?n的矩阵Ａ、Ｂ等价?存在m阶可逆矩阵P、n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。 ○

（A,E）~（B,P）PA=B?

矩阵A中有某个S阶子式不为0,R(A)?S;矩阵A中t阶子式全为0,R(A)?t;

2、线性方程组解的判定

再特别，若为方阵，(1)|A|≠0 只有零解；(2)|A|=0 有非零解

3、齐次线性方程组

（1）解的情况：r(A)=n?只有零解 ； r(A)<n?有无穷多组非零解。

（2）解的结构：X?c1a1?c2a2??cn?ran?r。

（3）求解的方法和步骤：

①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组；

③移项，利用自由未知数表示所有未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解。

（4）性质：

1若x??1和x??2是向量方程Ax=0的解，则x??1??2、x?k?1也是该方程的解。 ○

2齐次线性方程组的解集的最大无关组是该齐次线性方程组的基础解系。 ○

3若R(Am?n)?r，则n元齐次线性方程组A*x=0的解集S的秩RS?n?r。 ○

3．非齐次线性方程组Ax?B

1有解? R(A)=R(A,b)。○2唯一解? R(A)=R(A,b)=n。○3无限解? R(A)=R(A,b)＜n。 （1）解的情况：○

（2）解的结构： X=u+c1a1?c2a2??cn?ran?r。

（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。

（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。

1若x??1、x??2都是方程Ax?b的解，则x??1??2是对应齐次方程Ax?0的解 （5）○

2x??是方程Ax?b的解，x??是Ax?0的解，则x????也是Ax?b的解。 ○

第二篇：考研线性代数知识点归纳

1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.         对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.         证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.         是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

2.         对于阶矩阵： 无条件恒成立；

3.        

4.         矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.         关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

②、；（主对角分块）

③、；（副对角分块）

④、；（拉普拉斯）

⑤、；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.         一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；

等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵、，若；

2.         行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.         初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、  若，则可逆，且；

②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；

③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；

4.         初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；

③、对调两行或两列，符号，且，例如：；

④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；

⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；

5.         矩阵秩的基本性质：

①、；

②、；

③、若，则；

④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、；（※）

⑥、；（※）

⑦、；（※）

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）

       Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；

       Ⅱ、

⑨、若、均为阶方阵，则；

6.         三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如的矩阵：利用二项展开式；

       二项展开式：；

       注：Ⅰ、展开后有项；

Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质：；

③、利用特征值和相似对角化：

7.         伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：；

②、伴随矩阵的特征值：；

③、、

8.         关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）

②、，中有阶子式全部为0；

③、，中有阶子式不为0；

9.   线性方程组：，其中为矩阵，则：

①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；

②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；

10.     线性方程组的求解：

①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11.     由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：

①、；

②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）

③、（全部按列分块，其中）；

④、（线性表出）

⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.         个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；

个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2.         ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出          是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示    是否有解；（矩阵方程）

3.         矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)

4.         ；(例15)

5.         维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关          ；

②、线性相关       坐标成比例或共线（平行）；

③、线性相关  共面；

6.         线性相关与无关的两套定理：

若线性相关，则必线性相关；

若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：

若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.         向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；

向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）

向量组能由向量组线性表示

有解；

              （定理2）

       向量组能由向量组等价（定理2推论）

8.         方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；

①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解

②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；

③、矩阵等价：（、可逆）；

9.         对于矩阵与：

①、若与行等价，则与的行秩相等；

②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵的行秩等于列秩；

10.     若，则：

①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；

②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）

11.     齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、 只有零解只有零解；

②、   有非零解一定存在非零解；

12.     设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）

（）

       其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：；充分性：反证法）

       注：当时，为方阵，可当作定理使用；

13.     ①、对矩阵，存在，   、的列向量线性无关；（）

②、对矩阵，存在，     、的行向量线性无关；

14.  线性相关

存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）

有非零解，即有非零解；

，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.     设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；

16.     若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1.         正交矩阵或（定义），性质：

①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；

②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；

③、若、正交阵，则也是正交阵；

       注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2.         施密特正交化：

；

      

       ;

3.         对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.         ①、与等价   经过初等变换得到；

，、可逆；

，、同型；

②、与合同   ，其中可逆；

                            与有相同的正、负惯性指数；

③、与相似   ；

5.         相似一定合同、合同未必相似；

若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6.         为对称阵，则为二次型矩阵；

7.         元二次型为正定：

的正惯性指数为；

与合同，即存在可逆矩阵，使；

的所有特征值均为正数；

       的各阶顺序主子式均大于0；

       ；(必要条件)