积   分

   整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.

   一、不定积分

   不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)

  二、定积分

  1.定义式:

  2.定义域:一维区间,例如

  3.性质:见课本P₂₂₉-P₂₃₂

    特殊:若,则,即区间长度.

  4.积分技巧:奇偶对称性.

   注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.

  5.积分方法:与不定积分的方法相同.

  6.几何应用:

   定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);

   其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.

   三、二重积分

   1.定义式:

   2.定义域:二维平面区域

   3.性质:见下册课本P₇₇ 

特殊: 若,则,即为的面积.

4.坐标系:

 ①直角坐标系:型区域,型区域

 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉,积分时一般先确定的范围,再确定的范围.

5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;

6.几何应用:

二重积分的几何意义:若,则表示以为顶以为底的曲顶柱体体积;

其他应用:求曲面的面积

四、三重积分

1.定义式

2.定义域:三维空间区域;

3.性质:与二重积分类似;

  特殊: 若,则,其中表示的体积.

4.坐标系:

 ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面                             

积易求时采用)

     ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;

     ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先,后,最后                                     

.

     5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.

     6.应用: 表示密度,则为物体质量.(不考虑几何意义)

五、第一类曲线积分

1.定义式:(二维)  (三维)

2.定义域:平面曲线弧   空间曲线弧

3.性质:见课本P₁₂₈

  特殊: 则,表示曲线弧长.

4.计算公式(二维为例):

   

  类似可推出的公式.注意化为定积分时下限小于上限.

5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;

6.几何应用:见上3.

六、第二类曲线积分

1.定义式: (二维)

(三维)

2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)

3.性质:见课本P₁₃₅

4.计算公式:

注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.

5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.

不能使用奇偶对称性.

6.应用:力做功.

七、第一类曲面积分

1.定义式:

2.定义域:空间曲面

  注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.

3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似

  特殊: 则,表示曲线面积.

4.计算公式:类似可得在另两个曲面上的投影公式.

  注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.

5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.

6.几何应用:见上3.

八、第二类曲面积分

1.定义式

2.定义域:有向空间曲面

3.性质:见课本P₁₆₂

4.计算公式: ,类似可得另两个.

5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.

注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封

闭.

6.应用:求流量,磁通量等.

奇偶对称性:

定积分:若积分区间关于原点对称,例如 

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

    二重积分:若积分区域关于轴对称,记为的部分

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

同样可以得到积分区域关于轴对称时, 关于为奇、偶函数的公式.

三重积分: 若积分区域关于面对称,记为的部分

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况.

例题:P₁₂₃#1(1)(2) P₁₂₄#2(4)

第一类曲线积分:若积分曲线关于轴对称,记为的部分

若关于为奇函数:

若关于为偶函数:

同样可以得到曲线关于轴对称的情况.

   第一类曲面积分:若积分曲面关于面对称,记为的部分,

若关于为奇函数:

若关于为偶函数:

同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况.

例题:课本P₁₅₈#6(3),P₁₈₄#2

变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，

 使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如等,此时

    例题1:其中为球面被平面所截的曲线.

例题2: 其中为球面

   循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且中依次替换,即后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有

例题:课本168页#3(4)

   质心:适用重积分,第一类积分.

  请同学们思考如何区别各种积分?(定义域)

  区别:以下两个例题应该怎样算?

,

其中

第二篇：高数积分总结

第四章  一元函数的积分及其应用            

第一节  不定积分

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设是定义在某区间的已知函数，若存在函数，使得或,则称为的一个原函数

定义2.函数的全体原函数叫做的不定积分，，记为:

其中   叫做被积函数  叫做被积表达式   叫做积分常数

“”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

        .

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 

        

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

        .

性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

      

三、换元积分法和分部积分法

定理1. 设可导，并且 则有

该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法．

定理2.设是可微函数且，若具有原函数，则

该方法叫第二换元积分法       

 1)  v 容易求得 ;

解题技巧:

把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为后者为

第二节   定积分概念

一、原函数与不定积分的概念

二、定积分的定义和存在定理

三、定积分的几何意义与定积分的性质

1．定积分的几何意义

2. 定积分的性质

性质1..

性质2.   (是常数).

性质3. .

性质4..

推论1. 如果在 上，  (a<b).

推论2.

性质5.    .

性质6.  设M与m分别是函数上的最大值及最小值，则

  ().

性质7 .(定积分中值定理)  如果函数在闭区间上连续，则在积分区间]上至少存在一点，使下式成立：

  ()

可积的充分条件:

定理1.，则

定理2.且只有有限个间断点 ，则

第三节  微积分基本公式

一、微积分基本公式

1.             变上限函数

定义1. 设函数在区间上连续，则它在任意一个子区间上可积，则

                         ( )

是上限变量的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数.

2. 微积分基本公式

定理2.

1.定积分的换元积分法

定理3.

注：设在上连续,证明

(1)若在为偶函数，则 =；

(2)若在上为奇函数，则   =0.

2.定积分的分部积分法

定理4. 

第四节  定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=~）

一、定积分的微元法

其实质是找出的微元的微分表达式.

二、定积分在几何中的应用

1. 平面图形的面积  .

2. 旋转体的体积

三、定积分在物理上的应用

1.变力做功

2.液体静压

四、定积分在医学上的应用