教师应该如何进行教学反思
一、为什么要进行“教学反思”？
教学反思是一种有益的思维活动和再学习方式，每一位优秀教师的成长都离不开教学反思。如果一个教师仅仅满足于获得经验而不对经验进行深入的思考，那么，即使是有“20年的教学经验，也许只是一年工作的20次重复；除非……善于从经验反思中吸取教益，否则就不可能有什么改进”。他可能永远只能停留在一个新手型教师的水准上。我国著名心理学家林崇德也提出“优秀教师=教学过程+反思”的成长模式。叶澜教授说：一个教师写一辈子教案难以成为名师，但如果写三年反思则有可能成为名师。
教学反思可以激活教师的教学智慧，探索教材内容的崭新呈现方式，构建师生互动机制及学生学习新方式。它是我们教师成长的“催化剂”，是教师发展的重要基础。是否具有反思的意识和能力，是区别作为技术人员的经验型教师与作为研究人员的学者型教师的主要指标之一。
反思不仅是批判性的思考，而且是教师以自己的教学实践为思考对象，对自己在教学实践做出的行为以及所产生的结果进行审视和分析的过程。教学有其延续性，教过了不是了结，不能边教边丢。我们不妨回过头来看看整个教学过程，追问一下：“我的教学有效果吗？”“有没有比这更有效的教学？”正如有的教师所说，通过反思，在学生的“错误”中求发展，在教师的“失败”中寻发展，在教材的“局限”上寻发展。反思是教师全面发展的过程，教师只有全面深入地反思自己的教学行为时，他才能从教学的各个环节中审视、修正原始经验，在强化、否定的思维加工中，经验得到了提炼与升华，从而转变为一种目标明确并有先进理念支撑的实践行为，让自己从一名“教书匠”转变为“科研型”教师，甚至“学者型教师”。
目前，我们所进行的教学反思贯穿于教学的全过程，分为课前反思、课中反思和课后反思三个阶段。课前反思即是对课程标准及教材的解读和对教学设计的初步设想，因而它具有预期性，能让教学成为一种自觉的实践；课中反思即及时地在行动过程中反思，它具有调控性，有助于教师课堂控制和应变能力的提高；课后反思具有深刻性，让教学经验理性化，有利于教师总结和评价能力的提升。
通常这种反思我们可以通过评课，做教学案例、写教学手记等方式来进行。说到反思，许多教师便认为是写写教学札记，实际上做教学案例、评课也是一种反思。评课包括自评或他评，具体内容可以从教师的教和学生的学两个角度进行。评课有益于教师悟出个中滋味，获益匪浅。写教后札记更多是重在分析、总结，不仅要记录下成功与失败，而且还要写进自己的感悟，补充意见，使其成为今后教学的借鉴。教学案例是课改中出现的新名词。它的最大特点就是在实践中不断反思，通过一些具体的教学片段或剖析或对比，说明一些道理，让教师具体地领悟到怎样做，更能符合新理念。这样，教学问题可以得到一定程度的解决，教师的教学水平可以得到一定程度的提高，教学理论也就会随之得到一定程度的丰富。
二、“教学反思”思什么？
简单地说，教学反思就是研究自己如何教、如何学；别人如何教、如何学；如何在教中学、学中教的问题。教师要反思的内容很多，但以下几方面是反思的重点。
反思成功得意之处。如教学中引起师生共振效应的做法；课堂上一些精彩的师生对答、学生争论等；教学思想方法和教学原则运用的体会;
教法改革和临时应变的教学措施；感受最深的教材改进和创造性的处理。这些可供以后教学时参考，有不断改进和完善教学的功效。
反思失误之处。侧重审视自己课堂教学的失误之处，以及解决问题的办法、对策。如问题情境的创设有没有给学生思考的空间;
学习活动的组织是否有利于学生的自主学习；小组合作学习有没有流于形式；是否关注学生的情感、态度、价值观的发展；学生学习的兴趣如何等等。对他们进行回顾、梳理，并作出深刻反思、探究和剖析，使之成为以后教学时的借鉴，同时找到针对问题的解决办法和教学新思路，写出改进的策略和“二度设计”的新方案。
反思学生见解。学生的一些独特见解犹如智慧的火花，不仅能启发同伴，对教师的教学也有开拓思维的良好作用。如课堂上学生的独特见解、学生的精彩回答、学生的创新思维等都源于学生对文本的独特理解、源于学生对世界的独特感受，是十分丰富的可贵的课程资源，也是教师可利用的宝贵教学资料。
反思学生的问题和建议。学生在学习中肯定会遇到很多困难，也必然会提出各种各样的问题，有些是个别的，有些是普遍的，也有些是教师意想不到的，还有一些是富有创新性的。可能有的问题一时难以解答，教师就应及时记录下来这些问题，并及时反思，以便在今后的教学中对症下药。这样做，一方面可以丰富自己的教学思维和教学经验，另一方面也能促进自身教科研水平的提高。同时，还关注了学生，充分发挥学生的教学主体作用和体现了教学民主意识。还有对于学生的教学建议也应该做必要的记录和反思。
“金无足赤，人无完人”，我们只有在教学工作中多多反思，总结发扬教学的成功经验，改正弥补教学中的缺点与不足，不断进步，不断完善，才能使自己成为一名优秀的教师。
三、怎样进行“教学反思”？
（一）选准反思对象
“教学反思”的主要对象有：回顾反思、记录改进自己的教学行为和理念；观摩反思同事的教学行为和理念，参与集体交流研讨，诊断自己或同事的教学问题，提出解决问题的对策；分析反思公开发表的课堂实录（课例）意图、理念，对比反思自己的课堂教学，发现别人成果的可资借鉴之处。
（二）熟悉反思过程
反思过程一般包括以下几个步骤：发现问题——分析问题——提出假设——验证假设。也有人以经验学习理论为基础，将教师反思分为以下四个环节：具体经验—→观察分析—→抽象的重新概括—→积极的验证。在此过程中提高教师的反思能力，从而提高他们的教学能力。
（三）明确反思方式
1.内省式反思，即通过自我反省的方式来进行反思，可通过反思日记、课后备课、成长自传等方式完成。
2.学习式反思，即通过理论学习或通过与理论对照进行反思。
3.交流式反思，即通过与他人交流来进行反思，可用观察交流、学生反馈、专家会诊和微格教学等方法。观摩交流，即教师之间相互观摩，根据交流观摩的实际情景，进行分析提出问题，共同研究解决问题的方案。学生反馈，即教师通过从学生那里了解到的自己教学效果情况，分析提出改进措施，使之达到学生期望的效果。专家会诊，即专业研究人员、学校领导、同行教师定期对教师教学行为会诊，从中发现教师教学工作中的不足，并通过共同研究来解决问题。微格教学，即以少数学生、教师或专家为对象，在较短的时间内尝试做小型的课堂教学，并把教学过程制成录像，课后反复观看交流，积极听取他人的意见和建议。
4.研究式反思，即通过教学研究来进行反思。以研究的态度从事教学、以研究的视角反思教学、以反思的成果改进教学。
（四）掌握反思方法
1.自我提问法。指教师对自己的教学进行自我观察、自我监控、自我调节、自我评价后提出一系列的问题，以促进自身反思能力提高的方法。这种方法适用于教学的全过程。如设计教学方案时，可自我提问：“学生已有哪些生活经验和知识储备”，“怎样依据有关理论和学生实际设计易于为学生理解的教学方案”，“学生在接受新知识时会出现哪些情况”，“出现这些情况后如何处理”等。备课时，尽管教师会预备好各种不同的学习方案，但在实际教学中，还是会遇到一些意想不到的问题，如学生不能在计划时间内回答完问题，师生之间、生生之间出现理解分歧等。这时，教师要根据学生的反馈信息，思考“为什么会出现这样的问题，如何调整教学计划，怎样的策略与措施更有效”，从而顺着学生的思路组织教学，确保教学过程沿着最佳的轨道运行。教学后，教师可以这样自我提问：“我的教学是有效的吗”，“教学中是否出现了令自己惊喜的亮点环节，这个亮点环节产生的原因是什么”，“哪些方面还可以进一步改进”，“我从中学会了什么”等。
2.行动研究法。行动研究是提高教师教育教学能力的有效途径。如“合作讨论”是新课程倡导的重要的学习理念，然而，在实际教学中，我们看到的往往是一种“形式化”的讨论。“如何使讨论有序又有效地展开”即是我们应该研究的问题。问题确定以后，我们就可以围绕这一问题广泛地收集有关的文献资料，在此基础上提出假设，制定出解决这一问题的行动方案，展开研究活动，并根据研究的实际需要对研究方案作出必要的调整，最后撰写出研究报告。这样，通过一系列的行动研究，不断反思，教师的教学能力和教学水平必将有很大的提高。
3.教学诊断法。“课堂教学是一门遗憾的艺术”，而科学、有效的教学诊断可以帮助我们减少遗憾。教师不妨从教学问题的研究入手，挖掘隐藏在其背后的教学理念方面的种种问题。教师可以通过自我反省法或小组“头脑风暴”法，收集各种教学“病历”，然后归类分析，找出典型“病历”，对“病理”进行分析，重点讨论影响教学有效性的各种教学观念，最后提出解决问题的对策。
4.交流对话法。教师间充分的对话交流，无论对群体的发展还是对个体的成长都是十分有益的。如在集体备课时，教师可以向同事提出自己在教材解读、教材处理、教学策略、学生学习等方面遇到的疑点与困惑，请大家帮助分析、诊断、反思，并集思广益提出解决办法。这样合作反思、联合攻关，可达到相互启发、资源共享、共同成长的目的。
5.案例研究法。在课堂教学案例研究中，教师首先要了解当前教学的大背景，在此基础上，通过阅读、课堂观察、调查和访谈等形式收集典型的教学案例，然后对案例做多角度、全方位的解读。教师既可以对课堂教学行为作出技术分析，也可以围绕案例中体现的教学策略、教学理念进行研讨，还可以就其中涉及的教学理论问题进行阐释。
6.观摩分析法。“他山之石，可以攻玉”。教师应多观摩其他教师的课，并与他们进行对话交流。在观摩中，教师应分析其他教师是怎样组织课堂教学的，他们为什么这样组织课堂教学；我上这一课时，是如何组织课堂教学的；我的课堂教学环节和教学效果与他们相比，有什么不同，有什么相同；从他们的教学中我受到了哪些启发；如果我以后教这一课时，会如何处理……通过这样的反思分析，从他人的教学中得到启发、得到提高。
7.总结记录法。一节课结束或一天的教学任务完成后，我们应该静下心来细细想想：这节课呈现的教学内容是否符合学生的年龄特征和认识规律，总体设计是否恰当，教学环节安排是否合理，教学方法运用是否得当，学生思维能力与动手能力是否得到了富有成效的训练，教学手段的运用是否充分，重点、难点是否突出；今天我有哪些行为是正确的，哪些做得还不够好，哪些地方需要调整、改进；学生的积极性是否调动起来了，学生学得是否愉快，我教得是否愉快，其成败得失的原因何在?还有什么困惑?等等。把这些想清楚，然后记录下来，这样就为今后的教学提供了可资借鉴的经验。经过长期积累，我们必将获得一笔宝贵的教学财富。
8、质疑法。质疑是人的思维走向深刻的开始。人们认识事物的初始只是以领会接受为主，而要真正理解其内在价值需要不断质疑才会有新的发现，有发现才会有努力，有努力才会有发展。建议教师进行这样的反思：“这样做对吗？”“这样合理吗？”“这是最佳方案吗？”
9、对比法。过去的经历对我们来说虽不可回，但我们可以通过反思它的对立面来坚定我们今后面对这类问题的态度，“用另一种方法会怎样？”“我先这样做会怎样？”这样的反思并非事后诸葛，它暗示着我们下一次类似经历，该怎样去做。
10、因果法。事物处于普遍联系的状态之中，事物的发展都有其过去和未来，找出过去经历的因果关系，可以让我们更清楚地把握将要发展的方向。“为什么会出现这种状况？”“我这样教会出现什么结果？”教师经过这样的反思，其自主性、自觉性一定会得到很大程度的提高。
11、归纳法。教学经验一般是在自然状态下零星地存在与我们的记忆之中甚至于记忆之外，而一旦我们将它们联系起来，找出它们的共同之处，这些经验就会显现出一般规律了。“我这些成功有相同之处吗？”“我坚持这样做会怎样呢？”经过这样的归纳反思，找出了解决问题的策略。
12、换位法。横看成岭侧成峰。人的认识受自我经历的局限，会使自己的认识产生偏离，这样容易产生冲突，“如果我是学生会怎样想？”“如果我教会怎样设计？”经常进行这样的移位换情反思，对于形成互助平等、教学相长的学习氛围是大有裨益的。
（五）养成反思习惯
教师的成长过程也就是不断反思、重构自己对教育教学理论与实践基本看法的过程。让教师真正意识到并切身体验到反思对其专业发展的作用，对于督促教师自觉进行反思、养成良好的反思习惯具有重要意义。教师自身也应树立高度的责任感、培养持之以恒的精神、创造良好的反思氛围，养成自觉反思的好习惯。
四、“教学反思”只是课后才做的事情吗？
其实不然，教学反思应贯穿于教师的整个教学生涯，而不是某一阶段的特殊任务。“教学反思”不单单是教学经验、教训的总结，它是伴随整个教学过程的监控、分析和解决问题的活动。就一节课而言，教学反思应贯穿于整个教学过程，而不应只是课后才做的事。课前反思可以明确目标，加强自觉实践；课中反思可以调控教学，提高教学效益；课后反思可以使教学经验理论化，促进教师专业可持续发展。一句话，时时是反思之时，处处是反思之地。
五、如何写好“教学反思”？
（一）从文体结构上，我们建议把“教学反思”看成“一事一议”的实用性议论文。其写作结构可以概括为“教学实例——得失（成败）分析——理性思考”，第一、二部分是“反”，第三部分是“思”。第三部分是重点，应详写，尽量写出深刻的切实可行的方案策略。
一般来说，首先叙述具体的教学活动（应简略些），接着分析在这一活动中自己的成败得失之处，最后针对成败得失，结合新课程、新理念谈自己的思考和感悟。
（二）从写作内容上看，大致可以从以下五个方面选择话题来写“教学反思”：
1.写成功之处。如教学过程中达到预先设计的教学目的、引起教学共振效应的做法；课堂教学中临时应变得当的措施；层次清楚、条理分明的板书；某些教学思想方法的渗透与应用的过程；教育学、心理学中一些基本原理有意使用的感触；教学方法上的改革与创新等等，把他们详细得当地记录下来，供以后教学时参考使用，也可在此基础上不断地改进、完善、推陈出新。
2.写不足之处。即使是成功的课堂教学也难免有疏漏失误之处，对它们进行系统地回顾、梳理，并对其作深刻的反思、探究和剖析，使之成为今后再教学时的参照物。
3.写教学机智。课堂教学中，随着教学内容的展开，师生的思维发展及情感交流的融洽，往往会因为一些偶发事件而产生瞬间灵感，这些“智慧的火花”常常是不由自主地突然而至，若不及时利用课后反思去捕捉，便会因时过境迁而烟消云散，令人遗憾不已。
4.写学生创新。在课堂教学过程中，学生是学习的主人，学生总会有“创新的火花”在闪烁，教师应当充分肯定学生在课堂上提出的一些独特的见解，这样不仅使学生的好方法、好思路得以推广，而且对学生也是一种赞赏和激励。同时，这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以拓宽教师的教学思路，提高教师的教学水平。
5.写“再教设计”。一节课下来，静心沉思：本节课摸索出了哪些教学规律；教法上有何创新；知识点上有什么新发现；组织教学方面有何新招术；解题的误区有无突破;启迪是否得当、训练是否到位。及时记下这些得失，并进行必要的归类与取舍，考虑一下再教这部分内容时应该如何做，写出“再教设计”，这样可以做到扬长避短、精益求精，把自己的教学水平提高到一个新的境界和高度。
总而言之，写教学反思，贵在及时、贵在坚持。一有所得，及时记下，有话则长，无话则短，以写促思，以思促教。长期积累，必有“集腋成裘、聚沙成塔”的收获。
数学概念的学习过程
1. 数学概念的特点
一般地，数学概念具有如下四个特点：
（1）数学概念是对一类具有共同属性的数学对象的概括，因而在一定范围内具有普遍意义；
（2）学习概念意味着学习、掌握一类对象的本质属性；
（3）特定的数学符号往往是数学概念的重要标志之一；
（4）数学概念具有抽象性和具体性的双重特性，亦即，对于上一级的数学对象，数学概念是对这一级的具体对象的抽象和概括；而对于这个数学概念来说，又构成下一级抽象的具体物。例如，相对于“数”来说，“式”是对“数”的抽象和概括，而对于“式”来说，函数又是对“数”、“式”、“关系”等的进一步抽象。
2 ．掌握数学概念的方式
掌握数学概念，意味着掌握一类事物共同的本质属性。 即能够辨别概念的本质属性和非本质属性；能够概括表示为定义；能够指出概念的肯定例证和否定例证；能够从抽象到具体。
例一 “三角形的高”的学习，就是需要辨别底与高相互垂直的各种情况，而底与高未必一定有交点（两条线段所在的直线只要相互垂直即可），特别是钝角三角形的情形。
例二 反例：学习了方程概念后，遇到问题“求一个数 a ，使得 4a=a+3 ”却不知道如何求解。
3 ．学生学习数学概念的基本方式
学生学习数学概念主要包括以下两种形式：
（ 1 ）概念的形成过程
形式化 -------------------------------------- 用符号表示
概括 ---------------------------------------- 形成概念
检验 ---------------------------------------- 确认
抽象 ---------------------------------------- 本质属性 关键属性
类化 ---------------------------------------- 共同属性
分化 ---------------------------------------- 各种属性
辨别 ---------------------------------------- 刺激模式
概念的形成所要揭示的是——各种概念是如何通过个体头脑的活动，转化为个体所掌握的概念的。
概念形成的学习过程，实际上就是，用归纳法进行推理，从观察到的一些事实中概括出它们的共同点，得出一般规律的过程。
（ 2 ）概念的同化
概念的同化利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质。
概念同化的几个基本过程：
主要依靠的是学生对经验的概括和新旧知识之间的联系。
4 ．影响学生数学概念学习的因素
影响学生数学概念学习的因素主要包括学生已有的经验、概括水平以及语言表达能力等等因素。
（ 1 ）学生的已有经验
学生获得概念的能力随年龄的增长、智力的发展、经验的增加而发展。研究表明，就智力与经验对概念学习的影响程度来看，经验的作用更大，丰富的经验背景是理解概念本质的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。这里的“经验”除了从学校学习中获得以外，学生从日常生活中获得的经验也起到非常重要的作用。
事实上，学生掌握的许多科学概念都是从日常概念中发展而来的。因此，教师应注意指导学生从自己的日常生活中积累有利于概念学习的经验，同时又要注意利用学生的日常经验，为概念教学服务。
就数学概念学习而言，“经验”对新概念学习的影响更多地表现在概念系统的扩张上，有的学生能够从过去的经验中找出与新概念相关的概念，在比较它们异同的基础上建立起新概念，而有的学生则会受这种经验的干扰，产生错误的概念理解。例如，学生从小学就开始接触平方运算，在他们的经验中，平方运算只与“正”联系在一起；另外，关于方程，他们所熟悉的也是一次的，即一个方程对应一个解。在学习“平方根”与“算术平方根”这两个概念时，由于一个正数的平方根涉及到正负两个数，而事实上这两个数就是方程 x2=a 的两个根，这与他们的经验是非常不同的，于是就出现了“平方根”概念学习的极大困难；与此同时，又要学习“算术平方根”概念，这样就出现了有时要取正负两个值，有时又只能取一个正数的情况，从而引起理解上的混乱。
为了防止经验对新概念学习产生的消极影响，首先仍然应该在基本概念的教学上狠下功夫，要把基本概念放在中心地位，使它成为联系相关知识的纽带，突出概念之间的内部联系性。数学中有的概念是具有统贯全局作用的，例如“集合”、“函数”、“方程”、“距离”等，这些概念就应该让学生有反复接触的机会，并以它们为基础，演绎出其它概念，用奥苏伯尔的话来说，就是：从学习最一般的概念然后逐渐分化出较具体的概念，往往是最有效的。当然，并不是所有内容都可以这样安排，例如“数系”就不可能按照“复数 ? 实数 ? 有理数、无理数 ? 整数、分数 ? 自然数”的顺序安排，因为这一顺序与人们认识“数”概念的日常经验相反。对于这样的内容，教学时就要注意给出恰当数量的实例，使学生有一个从各个具体例子中概括出共同特征并再抽象出本质特征的机会（实际上就是应该注意应用“概念形成”的教学策略），由浅入深、由易到难、由已知到未知地进行学习。同时还要注意及时引导学生探讨新旧概念之间的关系，找出它们的相同点和不同点。
（ 2 ）感性材料或感性经验
概念形成主要依靠对感性材料的抽象概括，而概念同化则主要依靠对感性经验的抽象概括。因此，感性材料或感性经验是影响概念学习的重要因素。具体地，可以从下列四个方面来看：
① 数量。感性材料和感性经验的数量太少，学生对概念的感知不充分，对掌握概念所必须的经验不能建立起来，就难以对概念对象的各种要素进行全面鉴别，这样就会由于对概念的本质属性和无关属性的比较不充分而无法建立理解概念所需要的坚实基础。当然，这种数量也不能太多，否则，无关属性将有可能得到不恰当的强化而掩盖了本质属性。
② 变式。变式是变更对象的非本质属性的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质属性，突出那些隐蔽的本质要素，一句话，变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化，让学生在变式中思维，可以使学生更好地掌握事物的本质和规律。
变式是概念由具体向抽象过渡的过程中，为排除一些由具体对象本身的非本质属性带来的干扰而提出来的。一旦变更具体对象，那么与具体对象紧密相联的那些非本质属性就消失了，而本质属性就显露出来。数学概念就是通过对变式进行比较，舍弃非本质属性并抽象出本质属性而建立起来的。例如，在学习三角形的高这一概念时，可以为学生提供如图的变式，也即向学生提供一些在形状（锐角、直角、钝角三角形。如下图所示）、位置等方面有变化的不同三角形的例证，让学生通过对这几种典型变式的思维加工，抽象概括出“三角形的高”的定义。
值得注意的是，变式不仅可以在概念形成过程中使用，也可以在概念的应用中使用。因此，我们既可以变更概念的非本质属性，也可以变换问题的条件和结论；既可以转换问题的形式或内容，也可以配置实际应用的各种环境。总之，就是要在变化中求不变，万变不离其宗。这里，变的是事物的物理性质、空间表现形式，不变的是事物在数或形方面的本质属性。变化的目的是为了使学生有机会亲自经历概念的概括过程，使学生所掌握的概念更加精确、稳定和易于迁移，避免把非本质属性当成本质属性。
变式的运用要注意为教学目的服务。数学知识之间的联系性是变式的依据，即利用知识的相互联系，可以有系统地获得概念的各种变式。另外，变式的运用要掌握好时机，只有在学生对概念有了初步理解，而这种理解又需要进一步深化的时候运用变式，才能收到好的效果，否则，如果在学生没有对概念建立初步理解时就运用变式，将会使学生不能理解变式的目的，变式的复杂性会干扰学生的概念理解思路，先入为主而导致理解上的混乱。
③ 典型性。实践表明，概念的本质属性越明显，学习越容易，非本质属性越多、越突出，学习就越困难。因此，在对概念进行举例时，为了突出概念的本质属性，减少学习困难，教师可以采用扩大有关特征的办法，并且对一个概念的本质属性可以作适当的归类练习。例如，对“单项式”概念，主要涉及单项式的定义、系数、次数等几个方面。对定义，应该突出“数字与字母的积”，所举例子既有形如 4x 2 、－ 3ab 、 m 的，又要让学生分析单独一个数是否为单项式；对“系数”，既有正系数，又要有负系数，特别应该让学生指出 x 、－ x 以及 2 、－ 5 这样的“数字单项式”等特殊单项式的系数是多少；对单项式的“次数”，既要有 x 2 、 x 3 ，又要有 0.5ab 、－ 7xy 3 等，并要让学生辨别“数字单项式的次数是多少”。这些具有典型性的概念例证，可以帮助学生在概念学习中抓住本质属性，理解概念的各个方面。
④ 反例。概念的反例提供了最有利于辨别的信息，使人产生深刻印象，对概念认识的深化具有非常重要的作用。反例的适当使用不但可以使学生对概念的理解更加精确，而且还可以排除无关属性的干扰。另外，学生在概念学习中，往往在概念定义的搭词上发生错误，如 “两条没有公共点的直线叫做平行线”等，这些问题发生的原因不仅是由于学生的粗心，主要还是因为学生没有把注意指向概念本质属性诸方面之间的关系，没有把这种关系当成关键特征来认识，举反例可以促使学生增强对这种关系的重要性的认识。
应该注意的是，“反例”的运用是有时机的，一般来说，我们不能在学生刚刚接触概念时就运用反例，否则将有可能使错误概念先入为主，对概念的理解产生干扰。反例是在学生对概念有了一定理解的基础上才能使用的。
从上所述可知，教师为学生提供的经验材料太少或者太多都会对概念学习产生不利影响，这是教学中举正例时所应注意的。另一方面，仅从正面还不足以使学生真正理解概念，还必须引导学生从侧面和反面来理解概念，所谓“从侧面理解概念”，就是利用“变式”来理解概念，用等值语言来叙述和理解概念；而所谓“从反面理解概念”，主要则是“举反例”，就是把概念所包含的某一个或几个关键属性抽去，看看会出现什么情况。
（ 3 ）学生的概括能力
概括是形成和掌握概念的直接前提。学生学习和应用知识的过程就是一个概括过程，迁移的实质就是概括。概括又是一切思维品质的基础，因为如果没有概括，学生就不可能掌握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生掌握；没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批评性也就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性与创造性也就无从谈起；没有概括，就不能实现思维的“缩减”或“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现。学生掌握概念，直接受他们的概括水平的制约，要实现概括，学生必须能对相应的一类具体事例的各种属性进行分化，再经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来；在此基础上，再进行类化，即把概括而得到的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在更高层次上的抽象概括过程；然后，还要把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已掌握的相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。从上所述可知，对概念的具体例证进行分化是概括的前提，而把概念类化，使新概念纳入到概念系统中去，又成为概念学习深化的重要步骤，因此，教师应该把教会学生对具体例证进行分化和类化当成概念教学的重要环节，使学生掌握分化和类化的技能技巧，从而逐渐学会自己分析材料、比较属性，并概括出本质属性，以逐步培养起概括能力。另外，数学概括能力中，很重要的是发现关系的能力，即发现概念的具体事例中各种属性之间的关系，发现新概念与已有认知结构中相关概念之间关系的能力，如果发现不了这种关系，概括也就难以进行。实践表明，在概念学习中，只有按照数学概念的层次结构，通过不断深入的抽象概括，形成结构功能良好的概念体系，才能使学生准确地掌握概念的本质，形成比较完善的数学认知结构。实际上，数学概念的抽象性具有层次性的特点，这就带来了概念学习中概括活动的层次性，成为一个螺旋上升的过程，抽象程度低的概念成为高层次概括活动的具体素材，随着概括活动层次的提高，学生掌握的概念的抽象程度也在提高，并逐渐形成概念的体系。因此，数学概念的学习与教学必须做到“彼此照应”，注意概念的发展。
（ 4 ）数学语言表达能力
语言给事物以命名，对事物的属性与功能进行表述。通过命名，可以使人头脑中关于事物的表象简约化。因为事物有了自己的“名字”，当它的表现形式发生改变而把本质特征掩盖起来时，人们可以利用这个“名字”以避免认知上的混乱。对事物的属性或功能的叙述，可以帮助学习者深化概念学习，使概念各要素之间的关系更加明确，使一个概念与其它概念之间的联系与区别更加清晰。语言使个体在理解概念的过程中，无需从头观察事物或回忆有关表象就能直接形成概念。所以，语言表达是概念学习过程中非常重要的一个环节。数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理，而数学语言表达能力直接影响到逻辑推理的进行，当然也影响到数学概念的形成。另外，学生能够用自己的语言正确地叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这是学生深刻理解概念的一种标志。
许多数学概念的语言表述都代表了概念产生的条件，是相应事物在数或量方面的发生发展过程的一种抽象，因此，概念的叙述过程实际上表明了概念应用时应该遵循的一种操作程序。
⑤ 概念教学的一些策略
概括前文的有关论述，结合心理学家提出的概念教学的策略，我们引述一些概念教学的方法：
• 当正面的事例和反面的事例有明显的区别时，在正面的例子都非常一致的情况下，最容易习得概念。例如，“正数”与“整数”由于区别不太明显，教学就比较难；而三角形、四边形这些概念就比较容易教，因为它们的特征很容易识别，与其它图形的区别也很容易。
• 有大量实在属性的概念问题，比缺乏实在属性的概念问题更加容易解决。这意味着，为问题解决提供的线索越多，就越容易使问题获得解决；而给抽象的概念建立起具体模型，更有利于概念的掌握。例如，如果给法则 (a+b)c=ac+bc 配以图形解释，学生会更形象直观地掌握法则。
• 在为学生提供教学情境时，要对正例与反例作出恰当的组合。在开始学习某个概念时，从正例中获得的信息比从反例中获得的信息更多些。这可能是由于学生在日常生活中的学习一般都伴随着正例的缘故。但在对学生进行从反例中获得信息的训练后，这种倾向会消失。
• 通过减少无关属性的数量，可以比较容易地习得概念。例如，在数学教学中，我们经常采用的突出关键属性的方法，就是这一原理的应用。
• 概念学习的技能是随年龄的增长而发展的。所学习的概念的抽象程度应该与学生的思维发展水平相适应。
• 焦虑是与概念学习相关的。在学习简单概念时，焦虑的增长会导致更快地习得概念，但是，在学习复杂概念时，焦虑对学习会起破坏性的影响。
• 如果告诉学生如何注意相关属性，常常会有助于概念学习。
• 为了使学生更加容易地掌握概念，应当并排地呈现正例和反例。这样做更加有利于学生对本质属性与非本质属性进行比较。
• 在有些情况下，同时呈现若干正例似乎更有利些。这里的正例应该是概念的各种变式，否则会起不到应有的作用。
• 如果学生用自己的语言来表述相关属性，则能更好地习得概念，而且比较容易应用于新的情景。学生用言语来表述无关属性，也能从中获益。
• 在有些情况下，学生动手操作实物或模型，比只用眼观察更容易习得概念。
• 反馈越完整，学习效果就越好。学生能经常意识到自己的学习进程，知道正确或错误的原因，将有助于概念学习。教师给学生的反馈信息要准确、完整，任何模棱两可的信息或错误信息，都会干扰概念学习。
• 如果概念是通过全面地研究和分析概念的不同事例后获得的，那么就最有可能把它迁移到新的事例上去。这是我们平时所说的“举一反三”的前提。
• 应该在概念的系统中教学概念，要注意建立起概念之间的联系。在给学生教一个新概念时，要为他们建构一个可以把该概念置于其中的框架。孤立地教学概念，将限制概念学习的价值。
• 概念形成、概念同化等各种概念教学的方法应该混合使用。
• 在学生学习概念时，必须要有足够的时间保证。学生学习概念需要在一个相对较长的时间内，经历比较、辨别、分类、归纳、抽象、概括等各种思维活动，教师千万不可急于求成。
• 许多概念是相互联系在一起习得的。
5 ．启示
数学概念所包含的关键特征，是在数学活动中逐步发现与认识的，没有相应的数学活动是不可能认识到概念的关键属性的。在数学家表述的著作中，往往将概念放在前面，这是整理数学的必备手段。
6 ．建议
在数学概念的教、学中，将概念形成和概念同化结合起来，往往能取得理想的效果。事实上，教学状态下的数学概念学习过程，实际上就是教师帮助学生自我建构概念、巩固和应用概念的过程。
概念学习一般要经历引入、理解、巩固和系统化等几个阶段，每一个阶段又可以选择和利用不同的方法组织教学活动。
例 1 概念的引入
概念的引入是概念学习的开始，是引起学生学习兴趣、激发学生学习动机不可缺少的环节，是学生理解和掌握概念的基础。
概念的引入的几种方法
1 ．通过直观引入概念
小学生的思维特征是以具体形象为主，理解抽象的概念存在一定的难度。通过具体直观的形式引入概念，为学生提供充分的可感知的材料，有利于学生建立与概念有关的具体形象，为理解概念的意义打好基础。因此，在引入概念时，教师常常需要为学生提供充分的可感知的材料；运用学生喜欢的图片、模型、幻灯、实物等教具和学具；让学生通过看一看、听一听、摸一摸、做一做等活动，建立感性认识。
2 ．运用生活实际引入概念
数学来源于现实生活，在人们的生活中有许多事物都与数学有关系。结合生活实例引入数学概念，一方面有助于学生理解概念，另一方面也会使学生体会数学的价值，认识数学与现实的联系。例如，如，学习分数大小的比较时，先向学生展示一个实际问题，“小明、小刚、小方三个人各带同样长的线到广场去放风筝，小明把线放出 2/5 ，小刚放出了 3/5 ，小方放出了 2/7 。问他们三个人谁的风筝放得最高？” 面对这个实际问题，学生的积极性很高，但又不能马上知道结果。这时教师就可以引导学生思考，要想办法知道这三个分数哪一个更大一些。为学生认识通分的概念提供了一个现实的背景。
3 ．在已有概念基础上引入新概念
数学概念之间有着密切的联系，许多新概念是学生已有概念的发展和延伸。当学生建立了一些基本的数学概念之后，可以在学生已有的知识基础上，引伸出新的概念。由已有概念引出新概念，可以使教学过程简化，同时也使学生了解新旧概念之间的联系。
例如，在讲公倍数，最小公倍数时，利用学生已经掌握的倍数概念，直接引入。让学生写出若干个 2 的倍数，再写出若干 3 的倍数。即，
2 的倍数有： 2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 12 、 14 ……
3 的倍数有： 3 、 6 、 9 、 12 、 15 、 18 、 21 …… .
它们共同的倍数有： 6 、 12 …… , 就是 2 和 3 的公倍数，其中最小的一个就是最公倍数。
日历中的问题 ----- 一家三（两）口何时能够同时休息？
小学数学练习设计赏析
――小学数学20##年5月教研综述
小学数学练习是小学生学习的基本方法，在设计的过程中要注意练习的设计和练习的处理，这两个方面一定要相辅相承。如何根据教学要求及学生的实际设计合理地设计练习呢？让我们一起来分享以下几位老师的设计。
第十册三、四单元部分练习设计及说明
体育西路小学 岳敏
如何提高练习设计的有效性例谈
天河区棠下小学 曾晓妮
如何提高练习设计的有效性，我个人的想法和做法是这样的：
1、练习设计要具有目的性，紧扣教学内容，特别是新授课,围绕教学重点进行设计,有利于学生对知识的掌握,提高练习及学习的有效性。
2、联系生活实际，激发学生学习兴趣，使学生体会数学在日常生活中的作用与价值，从而提高练习的积极性和有效性。
3、练习设计要有层次之分，由易到难，由潜入深，逐步提高学生的思维能力，让学生能体验到成功的喜悦，具有成就感，从而增强学习数学的乐趣和信心。
4、练习设计也应该激发学生的认知冲突，具有挑战性，这样才能激起学生渴求解决问题的欲望，激发持续学习的动机，以至积极主动地去学习、去探讨，从而提高学习效果。
下面以我所设计的北师大版数学三年级下册第69页到70页的教学内容“比一比”这课的练习为例来说说设计此练习的意图和所取得的效果等。
一、教学目标
1、结合具体的问题情境，了解平均数的意义，学会计算简单数据的平均数（结果为整数）。
2、能读懂简单的统计图，并能根据统计图解决一些简单的实际问题。
3、经历提出问题、收集和处理数据的过程，发展统计观念。
4、增强与他人交流的意识和能力。
5、体验运用已学的统计知识解决问题的乐趣，建立学习数学的信心。
二、重难点、关键
重点：读懂统计图表，了解平均数意义，学会求简单数据的平均数（结果为整数）。
难点：了解平均数的意义。
关键：引导学生把已学的统计知识和认识平均数结合起来，让学生在实际问题的解决中认识平均数。
三、练习设计、设计说明
（一）、巩固练习
1、小熊商店本月前三周卖出的冰糕情况如下图，小熊冷饮店又该进冰糕了，本周它进多少箱冰糕合适呢？
（设计说明：仿效例题结合小熊卖冰糕的具体的问题情境，让学生读懂统计图，了解平均数的意义，掌握计算简单数据的平均数，巩固新课所学的知识；同时也让学生学会找到一个参照物，也就是一个对比目标进行比较来解决实际问题，提高解决实际问题的能力。）
2、下面是三（2）在学校绿色回报大行动中同学们回收废报纸的情况统计表。
回答：（1）、平均每个小组回收废报纸（ ）千克。
（2）、如果每千克废报纸值6角，这次回收废报纸共值（ ）元。
（设计说明：因为我校在今年的4月开展了“南粤校园绿色回报大行动”的活动，其中一项内容是4月9日至4月13日这一周回收废报纸，我正好是三（2）班的班主任，带领同学们在活动中收集回收废报纸的数量，引导学生把收集的数量制成统计表，如巩固练习的第2题的统计表（这个统计表是其中之一），应用学生实际生活中的典型事例设计练习，激发学生学习兴趣，学生很主动、很乐意去学习，通过实际操作，并能应用统计表计算简单数据的平均数，这样学得轻松，玩得愉快，不仅能让学生掌握、巩固新课所学的知识，同时还能发展统计观念，也能让学生体会到数学的作用与价值。）
3、“六一”儿童节文艺表演大赛成绩统计表。
谁第一？
（设计说明：我写“比一比”这课的教学设计时，正值“六一”儿童节的前三天，而且我校以各班为单位在班里表演文艺节目来庆祝儿童节，我班的孩子们准备了许多节目，这班孩子很有自我展示意识，为了给孩子们公平公正的评价，于是我利用孩子们的生活事例来设计练习，考虑上课时时间的限制，课堂上只表演一个节目（其余节目的表演在“六一”来完成），由6（或7、8、9）名学生作为评委打分，然后，请全班同学计算平均分。学生积极性很高，课堂很活跃。而且计算平均数时，很有可能不是整除，这样将激发学生的认知冲突，激起学生渴求解决问题的欲望，激发持续学习的动机。不仅激发兴趣和积极性，牢固掌握知识，还能使学生不断挑战自我，持续学习。）
（二）、动动脑，想一想，你行！（拓展练习）
1、有一个水池岸边竖着一块牌子，上面写着：平均水深1.3米。小冬身高1.6米，他不会游泳。如果不小心掉入水中，否有危险？
（设计说明：这一题所说平均水深1.3米，说明有的区域比1.3浅，有的区域比1.3米深，进一步说明了平均数的含义，平均数表示的是整体的水平，并不表示某一事物的个体水平。孩子喜欢玩水，又关系到生命问题，学生很有激情来解决此问题，果然如此，教学时学生自主讨论探究的学习氛围浓厚，争得面红耳紫的，通过这样的学习讨论，学习的效果确实不错。）
2、学校舞蹈室（如下图）的地面上要铺上方砖，选哪种方砖便宜？
（设计说明：“选哪一种砖块便宜？”已经在教材的第52页，学习面积时学过，只是当时采用的方法是：先计算出方砖的总块数，再计算出总钱数，然后比较选哪一种砖块便宜。而在此节课的学习中再次把它列出来，意图之一是想让学生尝试着用求平均数的方法，即求出平均每平方分米块砖需要多少钱，然后进行比较，得出结果。将所学的知识应用于实际，巩固所学。意图之二学会应用多种方法解决同一问题，并且学会从多种方法中选择优秀的方法或者选择自己喜欢的方法去解决问题，发展思维，培养解决问题的能力，发挥个性。）
3、图中的表格被小红弄污了。你能帮她算出小强的身高吗？
（设计说明：以统计表的形式出现学生身高的有关信息，让学生在牢固掌握平均数的意义，求平均数的方法的基础上，懂得去发现收集信息，并运用信息和所学知识灵活解决问题。这样既检验了学生基础学习的情况，也培养学生了的逆向思维能力和灵活解题的能力，同时发展统计观念。）
（三）、实践活动
1、调查你所在小组同学的身高，并计算小组的平均身高。
2、在报纸上找出与平均数有关的信息，并与同伴说一说。
（设计说明：通过收集、整理数据，求平均数的实践活动，进一步巩固基础，发展思维、灵活处理问题的能力和发展统计观念。）
四、课堂信息反馈
此课练习设计经过教学实践后，反馈的信息是：学生学习兴趣浓厚、积极性高，主动地练习，自发主动地与同学进行交流讨论，培养与人合作的学习意识，能较好掌握知识及技能，思维和个性得到发展等。但是，在新授课时，练习只做了巩固练习和拓展练习的第1题，其余的练习课后由学生自己先做，练习课才完成的。
《异分母分数加、减法》新授课后的练习设计
广州市天河区猎德小学 宗慧
大家知道，在新课教学中，学生每学习一个具体新内容后，都需要做一定量的巩固性作用的练习。学生做练习，是因为需要通过做练习能够更加深入地理解新学的内容，熟练技能、技巧，发展自己的思维，达到牢固掌握。而同时老师也要看练习情况，从中了解学习状况，便于自己分析问题、解决问题。因此，练习就显得十分重要。那么，学生做了什么样的练习，才能实现教学的目的呢？本文就试以《异分母分数加、减法》新授课后的练习设计为例简单说明是如何针对内容而设计的层次分明、目的明确的练习。
教师首先要熟习自己的教学内容，明确教学的重、难点。而异分母分数加、减法重点是弄清算理，准确、熟练进行异分母分数加、减的计算。在学习算理的过程中，其转化思想是关键，当然也要求学生具备学会通分、同分母分数加、减法等相关基础知识。此外，书写格式也不容忽视。其次要充分了解自己的学生------他们是“城中村”的孩子，与其它学校的孩子存在一定差距。主要体现在计算准确性较低、书写格式不规范、需要的相关知识部分同学可能忘了，基础知识学得不好。再是预测可能出现的问题：1、计算；2、书写格式；3、公分母不是最小的而带来计算的复杂，导致计算错。基于以上的认识，就设计一些围绕弄清算理、准确、熟练进行异分母分数加、减法计算的偏重基础的练习。设计流向图：基本题-----与例题相仿（认识）；略变题---与例题稍有变化（巩固）；综合题----新知识适当结合旧知识(加深)。
一、基础练习----与例题相仿（认识）
1、有同学说：+ 能直接相加。你同意吗？如果不同意，请你写出为什么？
【设计意图】考察学生对转化的思想理解情况，沟通异分母分数加、减法与同分母分数加、减法之间的联系。使学生更进一步清楚算理。
2、 + 以（ ）作同分母比较合适？
－ 以（ ）作同分母比较合适？
－ 以（ ）作同分母比较合适？
【设计意图】求三种情况的最小公分母，同时让学生明白最小就是合适的，因而使计算简便。
3、 + =+ =
－ =+ =
－ =+
【设计意图】练习基本的书写格式。
二、略变题----与例题稍有变化（巩固）
1、计算。
+ + +
－ － －
【设计意图】准确、熟练进行异分母分数加、减的计算。
三、综合题----新知识适当结合旧知识（加深）
1、计算并验算。
+ －
【设计意图】把整数加、减法的验算方法迁移到异分母分数加、减法的验算，同时让学生知道异分母分数加、减法同整数加、减法一样也是互为逆运算。
2、解方程。
x － = － x =
【设计意图】与方程知识结合。
第四册第七单元的“三位数进位加法”练习设计及说明
中海康城小学 龙笑波
1、用竖式计算。（看谁算得准）
105+789= 345+455= 99+624=
（设计意图：紧扣本课的学习目标进行的基本练习，希望借此练习检查学生是否达到本课的第一个目标——掌握三位数进位加的计算方法。）
2、判断改错。（争当森林小医生）
2 7 5 3 4 5 6 8 5
+ 1 6 8 + 5 9 + 7 4
3 4 3 9 3 5 6 1 1
（设计意图：“改错题”学生很喜欢，而且发现题中的错本来就是一种提高，三位数进位加法看似简单，容易掌握，然而却非常容易出错，象上面的错题学生就经常会出现，设计这一练习的目的就是希望能加深学生的印象，尽量减少以后的错误。）
3、解决实际问题（我是小当家）
（1）三位数加法还会在生活中经常遇到。好又多的电器大特价，我们一起看看，好吗？（出示商品标价）
（2）谁来当小小报价员？（学生报价）
（3）今天你们是小当家，请任意选择其中两种电器购买，算算要付多少钱？比一比谁做出的方案又多又对。要求先写出购买什么和什么电器——列横式，再列竖式计算。（可以多种方案，学生独立完成，）
（4）交流汇报
（设计意图：这是一道综合练习，该练习的设计体现了趣味性和灵活性，把三位数加法的计算方法运用在解决实际问题中，比较优秀的学生可以多做，其他学生适当少做，可以达到照顾不同层次学生的目的，而且分别有“进位”和“不用进位”的加法，让学生与前面的知识进行整合，加深“并不是所有的计算都要进位”的认识（因为有部分学生学习了进位加后没有满十都进位）。
第八册第三单元“小数乘小数”的练习设计及说明
冼村小学 王蕾
在掌握小数乘法中因数变化引起积的变化规律的基础上，通过不同形式、不同层次的练习，进一步巩固小数乘小数的计算方法。
（一）观察讨论积的大小，并说明积有几位小数。
2.7×5.2 积是（ ）位小数 7.8×0.34积是（ ）位小数
0.38×4.54 积是（ ）位小数 0.19×0.1积是（ ）位小数
（设计意图：计算前，先作估积练习，既可加深理解小数乘法的意义，又可培养学生简单的估算能力。）
（二）在下面各题的积里点上小数点，使计算正确。
0.3×6＝ 18 8×0.4＝ 32 4.2×0.8＝ 336
3.6×0.03＝ 108 4.3×0.5＝ 215 0.6×0.09＝ 54
(设计意图:练习怎样确定积的小数点的位置。)
（三）计算：
0.08×2.4＝ 8.64×1.5＝
0.11×45＝ 26×5.5＝
（设计意图：把小数乘以小数、小数乘以整数和整数乘以小数几种题目混合编排，让学生充分应用小数乘法的法则进行计算。）
(四）在○里填上“＞”、“＜”或“=”
1.2×0.75○1.2 0.96×0.82○0.96 1.2×1.05○1.2
0.76×1.25○0.76 1×3.2○3.2 0.99×2.3○2.3
(设计意图:体会在小数乘法中，当一个乘数小于“1”时，积小于另一个乘数；当一个乘数大于“1”时，积大于另一个乘数；当一个乘数等于“1”时，积等于另一个乘数，同时打破学生可能存在的认为“积一定比乘数大”的思维定势。)
（五）实际应用
1、李林在超市买了2.54千克水果糖，每千克水果糖的价格是8.5元，李林应付多少钱？
2、小芳家用篱笆在阳台下围成一个长7米,宽2.5米的长方形花栏，它的面积是多少？
（设计意图：结合解决实际问题的过程，进一步巩固小数乘法的计算方法。）
第十二册“成反比例的量”的练习设计及说明
冼村小学 徐婷女
一、填空：
（1）（ ）和（ ）是两种相关联的量，20×3=15×4=12×5=10×6=（ ），这个乘积是（ ）。（ ）一定，（ ）和（ ）成（ ）关系。
（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着它变化，如果这两种量中相对应的两个数的（ ）一定，这两种量就叫做（ ），它们的关系叫做（ ）关系。
二、判断下面各题中的两个量是不是成反比例关系，是的打“√”，不是的打“×”。
1、总价一定，单价和数量。 （ ）
2、单产量一定，数量和总产量。 （ ）
3、积一定，一个因数与另一个因数。 （ ）
4、平行四边形的面积一定，底和高。 （ ）
5、每天看的页数一定，看的天数和看的总页数。 （ ）
6、一本练习册，已经完成的页数和未完成的页数。 （ ）
三、选择正确的答案的字母填在括号内。
（1）三角形的面积一定，底和高（ ）。
A. 成正比例 B. 成反比例
（2）圆的周长和直径（ ）。
A. 成正比例 B. 成反比例
（3）圆锥的体积一定，底面积和高成（ ）。
A. 成正比例 B. 成反比例
（4）花生的出油率一定，花生的重量与榨出花生油的重量（ ）。
A. 成正比例 B. 成反比例
（5）铺一间课室，每块砖的面积和需要的块数成（ ）。
A. 成正比例 B. 成反比例
（6）÷A = B，A和B成（ ）。
A. 成正比例 B. 成反比例
四、下表中A和B成反比例，请根据A和B的关系完成下表：
【设计意图】
本内容是在学生已经学习了反比例的意义后的练习设计。主要是为了帮助学生进一步理解反比例的意义。准确把握对反比例关系的判断依据或方法。根据学生对反比例的意义的理解过程，该练习注重从简单的判断到学生常出现错误或者会出现疑问的题目的判断，在不断的判断中，让学生对该知识建立一个全面的认知。重视学生知识形成的过程设计，让学生在自我的不断内化的过程中充分感受和体验知识形成的过程。
首先，第一题的练习是为了先让学生回顾反比例的意义，通过表格的形式降低该练习的难度，充分发挥图表形象具体的优点，让学生重新体验反比例的内涵。其次，第二题的练习设计已经脱离了具体的表格，而是仅仅是提供一种文字的叙述，同时该题中的练习有是相对比较简单的，都是学生一些常见的练习，是学生较为熟悉的数量，这有利于学生对反比例的意义的自我内化，更好的掌握该知识。同时由于这题还有利于学生抽象概括能力的培养。再次，第三个练习的设计主要是考虑了学生容易出现判断困难的情况，前面的三小题学生往往受公公式中其他条件的影响就不会判断了。这几个练习正好结合了一些常见的公式，让学生知道当其中存在一个常量或者定值的时候并不影响对其中两种量的判断。而第四小题则是学生找定量时感觉困难的题目代表，可以在该练习中学生学会对于没有具体说出定量的情况下，要学会根据自己的生活经验去寻找隐藏的定量。第四小题则转为了一种脱离具体数量的情况，是对字母公式的进一步更深入的理解，也是逐渐把反比例的意义逐渐转化为一种数学的表示。最后，第四题的练习则是把对反比例的内涵的一种理解，慢慢要转化为该内涵的运用。
整个练习为了更好的提高学生的兴趣，虽然相同的训练，但是却通过不同的练习形式和题型，从模仿到独立，从简单的理解到深入的认识，逐渐达到对该知识的掌握。考虑练习内容的变化，考虑学生的认知特点，这样才有可能使练习成为一种更为有意义的和有效的练习。
从上面几位老师的练习设计中，我们可以看到他们在练习设计中体现了以下原则：练习的目的性、练习的阶梯性、练习的针对性、练习的趣味性、练习的灵活性、练习的多样性。只有通过有效的练习，才可以能提高课堂效益，减轻学生过重的学习负担。
20##年6月
建构主义理论及其对数学学习的影响
建构主义是行为主义发展到认知主义以后的进一步发展，它是在吸取了众多学习理论，尤其是皮亚杰、维果茨基思想的基础上发展和形成的，建构主义对“什么是学习活动的本质”从整体上及一定的认识论角度作出了科学的分析。
一、建构主义的认知论
建构主义的核心观点认为：第一，认识并非主体对于客观实在的简单的、被动的反映（镜面式反应），而是一个主动的建构过程，即所有的知识都是建构出来的；第二，在建构的过程中主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用，而主体的认知结构亦处在不断的发展之中。
现代的建构主义有多种学派，其中影响较大的是：极端建构主义、社会建构主义和认知建构主义。
极端建构主义有两个基本特征：
首先，是突出强调认识活动的建构性质，认为一切知识都是主体的建构，我们不可能具有对外部世界的直接认识，认识活动就是一个“意义赋予”（ sense making ）的过程，即是主体依据自身已有的知识和经验建构出对外部世界的意义；
其次，是对认识活动的“个体性质”的绝对肯定，认为各个主体必然地具有不同的知识背景和经验基础（或不同的认知结构），因此，即使就同一个对象的认识而言，相应的认识活动也不可能完全一致，而必然地具在个体的特殊性。在极端建构主义者看来，个人的建构有其充分的自主性，即是一种高度自主的活动，也就是说“一百个人就是一百个主体，并会有一百个不同的建构”。也正是在这样的意义上，极端建构主义也常常被称作“个人建构主义”（personal constructivism）。
社会建构主义的核心在于对认识活动的社会性质的明确肯定，认为社会环境、社会共同体对于主体的认识活动有重要作用，个体的认识活动是在一定的社会环境中得以实现的，所谓的“意义赋予”包含有“文化继承”的含义，即经由个体的建构活动所产生的“个体意义”事实上包含了对于相应的“社会文化意义”的理解和继承。
认知建构主义是从个人的角度接近学习和认识的，对心理学作了狭义的说明。社会的建构主义将心理描述为超越身体范围而进入社会环境的一种分布式的存在物。与社会建构主义角度相反，认知的建构主义描述的个人方面的心理，将其范围局限于个人的头脑。有关学习与认识的这一观点源于皮亚杰的研究。他将学习描述成为总结个人经验而不断重构个人的理解和知识的过程。认知的重构观点将认知的重组看作是定义学习过程中的要素。这种认知的建构观点把注意点集中于个人的同时，并不否认社会性交互作用的重要性。事实上，这一观点认为，学习者应与他们的环境（无论物理环境，还是社会环境）相互作用。在这一交互作用的过程中，学习者应实实在在地接触跟他们建构的世界知识不一致的现象。在社会场景中，这一切可通过话语或看法的交换来进行。例如，关注某一学生的经验或详述某一现象就能为学习的发生提供必要的认知干扰（不安）。目前，理论人员一起试图从认知建构的角度寻求对知识获得过程的更好的理解，他们将个人的心理和认知的过程看作是等同的。即使学习发生在小组场景（如课堂）中，注意的中心仍然是理解的个人发展。此外，认知的建构主义一起回避通过透镜去检查学习过程，因为这种透镜会局限合适的解释范围。
二、建构主义的学习观
尽管建构主义有诸多流派，但对学生学习有如下共识：
（ 1 ）学习是一个积极主动的建构进程，学生不是被动地接受外在信息，而是根据先前认知结构主动地和有选择地知觉外在信息，建构其意义。
（ 2 ）课本知识并不是对现实的准确表征，它只是一种解释，一种较为可靠的假设，学生对这些知识的学习是在理解基础上对这些假设作出自己的检验和调整的过程。因此，知识可以视为个人经验的合理化，而不是说明世界的真理。
（ 3 ）学习中知识建构不是任意的，它具有多向社会性和他人交互性。知识建构的过程应有交流、磋商，并进行自我调整和修正。
（ 4 ）学生的学习过程是多元化的，由于对象的复杂多样化、学习情感的某种特殊性、个人经验的独特性，使得学生对对象意义的建构也是多维度的。
三、建构主义学习观在教学中的应用
建构主义者以其对学习的理解为基础，对教学过程中的教学目标、教师的作用、促进教学的条件、教学方法、教学设计等问题提出了自己的观点，进而形成了建构主义的教学观。
（ 1 ）教学并非传递客观世界的知识，而是教育者根据明确的知识目标，指导和促进学生按自己的情况对新知识进行建构活动，最后建构起关于知识的意义。
（ 2 ）教师不应被看成是“知识的传授者“，而应成为学生学习活动的促进者。
（ 3 ）学生主体、实际情境、协作学习和充分的资源是促进教学的重要条件。
建构主义认为：第一，学习要以学生为中心，注意学生主体的作用，教师的作用只在于协助学生建构意义；第二，学习情境要与实际情境相符合，因为只有在实际情境中，才能使学生接触结构不良领域的问题，才能使学生进行高级的学习；第三，学习要注重师生之间以及学生与学生之间的协作，强调讨论和合作学习；第四，要注重教学环境的设计，为教育者提供充分的资源。
（ 4 ）老师要超越单纯讲座或讲授式的教学方法，灵活采用随机通达教学、情境性教学、支架式教学及交互式教学等方法。
（ 5 ）强调自上而下的教学设计
建构主义认为学习是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动的建构活动，这与传统的教学设计理论中对学习的控制性原是相对立的。建构主义者批评传统的自下而上的教学设计，主张自上而下地展开教学进程，即在教学过程中，首先选择一些与儿童生活经验有关的整体性的任务并呈现有关的问题，让学生尝试进行问题的解决，然后让学生耽搁地或在小组中通过探索，自己发现完成整体任务所需首先完成子任务，以及完成各级子任务所需的基本知识技能，在掌握这些知识技能的基础上，最终使问题得以解决。
四、对建构主义学习理论的评价
建构主义学习理论是学习理论的一种新的发展。该理论强调学习过程中的积极主动性、对新知识的意义的建构性和创造性的理解，强调学习是社会性质，重视师生之间和学生与学生之间的社会相互作用对学习的影响，将学习分为初级学习和高级学习，强调学生通过高级学习建构网络结构知识，并在教学目标、教师的作用、促进教学的条件以及教学方法和设计等方面提出了一系列新颖而富有创见的主张，这些观点和主张对于进一步认识学习的本质，揭示学习的规律，深化教学改革都具有积极意义。
建构主义学习理论是在吸收了各种学习理论观点基础上形成和发展起来的，其中一定观点的论述往往失之偏颇，甚至相互对立，这在一定程度上暴露了该理论的不足之处，有待于进一步的发展和完善。
五、 建构主义理论对数学学习的启示
建构主义学习理论对指导数学学习有多方面的意义：
首先，应该用建构主义观点看数学。数学本身也是主体建构的产物，它应该是活的、动态的、开放的、表现多维度的、并非绝对正确的数学活动的结果。这样的数学观将直接导致数学课程观和教学观的变化。
其次，应强调知识学习是一个建构过程，必须突出学习者的主体作用。教师的讲解并不能直接将知识传输给学生，教师只能通过组织者、合作者和引导者的身份，使学生主动参与到整个学习过程中去。
此外，应更加关注学生学习的个性化特征，使其在知识学习中获得合理的个人经验的内化。但是又要看到知识的建构不仅是个人的，也是社会的。因此，课堂上师生的交互和共同的活动显得至关重要，“学习共同体”的形成以及对课堂社会环境和情景的营建成为获得数学学习成效的重要途径。