必修一函数知识点总结
函数概念（一）知识梳理
1．映射的概念
设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A?B ，f表示对应法则
注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念
(1)函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y?f(x),x?A
(2)函数的定义域、值域
在函数y?f(x),x?A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y?f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)x?A称为函数y?f(x)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
??
（二）考点分析
考点1：映射的概念
例1．（1）A?R，B?{y|y?0}，f:x?y?|x|；
（2）A?{x|x?2,x?N}，B??y|y?0,y?N?，f:x?y?x?2x?2； *2
（3）A?{x|x?0}，B?{y|y?
R}，f:x?y?
上述三个对应 是A到B的映射．
例2．若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，A到B的函数有 个
例3．设集合M?{?1,0,1}，N?{?2,?1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（ ）
(A)8个 (B)12个 (C)16个 (D)18个
考点2：判断两函数是否为同一个函数
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
1
（1）f(x)?x2，g(x)?x3；
x?1（2）f(x)?，g(x)??x??1x?0, x?0;
*（3）f(x)?2nx2n?1，g(x)?(2nx)2n?1（n∈N）；
（4）f(x)?xx?1，g(x)?x2?x；
（5）f(x)?x2?2x?1，g(t)?t2?2t?1
考点3：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1．已知二次函数f(x)满足f(2x?1)?4x2?6x?5，求f(x)（三种方法）
1?x1?x2
)=例2．（09湖北改编）已知f(，则f(x)的解析式可取为 21?x1?x
题型2：求抽象函数解析式
例1．已知函数f(x)满足f(x)?2f()?3x，求f(x)
考点4：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
例1.（08年湖北）函数f(x)?1x1ln(x2?3x?2??x2?3x?4)的定义域为( ) x
A.(??,?4)?[2,??);B.(?4,0)?(0,1)；C. [,?4,0)?(0,1];D. [,?4,0)?(0,1)
题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例1．（2007·湖北）设f?x??lg2?xx??2?，则f????f??的定义域为（ ） 2?x?2??x?
A. ??4,0???0,4?；B. ??4,?1???1,4?；C. ??2,?1???1,2?；D. ??4,?2???2,4?
例2．已知函数y?f(x)的定义域为[a，b]，求y?f(x?2)的定义域
例3．已知y?f(x?2)的定义域是[a，b]，求函数y?f(x)的定义域
例4．已知y?f(2x?1)的定义域是（-2，0），求y?f(2x?1)的定义域
考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
2
如求函数y??sin2x?2cosx?4，可变为y??sin2x?2cosx?4?(cosx?1)2?2解决
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求， 如函数y?log1(?x?2x?3)就是利用函数y?log1u和u??x2?2x?3的值域来求。
222
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数y?2x?13?3?的值域[,] 2x?2x?222
2cosx?3的值域，因为 cosx?1（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数y?
（5）利用基本不等式求值域： 如求函数y?3x的值域 2x?4
（6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数y?2x4?x2?2(x?[?1,2])的值域
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)?2x?4x?40x，x?[?3,3]的最小值。（－48） 32
m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 x
4三种模型：（1）如y?x?，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x ? [-1,0 )?(0,4],求值域 x（9）对勾函数法 像y=x+
（2）如 y?x?4求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x?0或x?4） x?4，
（3）如 y?2x?
1 ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间 x?3
函数的单调性
（一）知识梳理
1、函数的单调性定义：
设函数y?f(x)的定义域为A，区间I?A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y?f(x)的单调增区间；如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y?f(x)的单调减区间。
如果用导数的语言来，那就是：设函数y?f(x)，如果在某区间I上f?(x)?0，那么f(x)为区间I上的增函数；如果在某区间I上f?(x)?0，那么f(x)为区间I上的减函数；
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(a,b)内，若总有f?(x)?0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f?(x)?0，
b(a?0,b?0)型函数的图象和
x
??
)，减区间为[. 单调性在解题中的运用：增区间为(??,（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y?ax?
（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减
3
（4）若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么f(x)?g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）。
3、单调性的说明：
（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；
（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即x1?x2(x1?x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
1分别在(??,0)和(0,??)内都是x
1单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(??,0)?(0,??)内是单调递减的，只能说函数y?的单调递减区间为x（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y?
(??,0)和(0,??)。
4、函数的最大（小）值
设函数y?f(x)的定义域为A，如果存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y?f(x)的最大值；如果存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y?f(x)的最小值。
（二）考点分析
考点1 函数的单调性
题型1：讨论函数的单调性
例1．（1）求函数y?log0.7(x2?3x?2)的单调区间；
（2）已知f(x)?8?2x?x,若g(x)?f(2?x)试确定g(x)的单调区间和单调性．
例2. 判断函数f(x)=x?1在定义域上的单调性. 222
题型2：研究抽象函数的单调性
例1．已知函数f(x)的定义域是x?0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且当x?1时f(x)?0,f(2)?1，
2（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,??)上是增函数；（3）解不等式f(2x?1)?2．
题型3：函数的单调性的应用
例1．若函数f(x)?x?2(a?1)x?2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a的取值范围是______ 例2．已知函数f(x)?2ax?1在区间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围_____ x?2
考点2 函数的值域（最值）的求法
求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
题型1：求分式函数的最值
x2?2x?a1,x?[1,??).当a?时，求函数f(x)的最小值。 例1．（2007上海）已知函数f(x)?2x
题型2：利用函数的最值求参数的取值范围
4
x2?2x?a例2．（2008广东）已知函数f(x)?,x?[1,??).若对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,试求实数a的取x
值范围。
函数的奇偶性
（一）知识梳理
1、函数的奇偶性的定义：①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x)〔或
，则称f(x)为奇函数. f(x)的定义域内任意一个x，f(?x)?f(x)?0〕
都有f(?x)?f(x)〔或f(?x)?f(x)?0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2.函数的奇偶性的判断：
（1）可以利用奇偶函数的定义判断f(x)??f(?x)
（2）利用定义的等价形式, f(x)?f(?x)?0，f(?x)??1（f(x)?0） f(x)
（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称
3．函数奇偶性的性质：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
（2）若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)?0.
证明：
（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数， F(x)?f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)，G(x)?。 22
（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
（5）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇．
（6）定义域关于原点对称是奇偶函数的前提，因此，判断奇偶性必须先看定义域是否是关于原点对称的数集。
（7）既奇又偶的函数是存在的，而且不止一个；其解析式一定可以化为f?x??0，但是定义域可以不同。 证明：
（二）考点分析
考点1 判断函数的奇偶性及其应用
题型1：判断有解析式的函数的奇偶性
例1． 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·
?x； 1?x
?x(1?x)?x2
（3）f(x)?；（4）f(x)??|x?2|?2?x(1?x)
(x?0), (x?0).5
题型2：证明抽象函数的奇偶性
例1 .(09年山东)定义在区间(?1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y?(?1,1)，都有f(x)?f(y)?f(
证f (x)为奇函数；
例2．（1）函数f(x)，x?R，若对于任意实数a,b，都有f(a?b)?f(a)?f(b)，求证：f(x)为奇函数。
（2）设函数f(x)定义在(?l,l)上，证明f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数。
考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用
例1．已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数，若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。
例2．设函数f(x)对于任意的x,y?R，都有f(x?y)?f(x)?f(y)，且x?0时f(x)?0,f(1)??2
（1）求证f(x)是奇函数；
（2）试问当?3?x?3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。
22例3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a+a+1)<f(3a－2a+1).求a的取值范
围，并在该范围内求函数y=(
x?y). 求1?xy1a2?3a?1)的单调递减区间. 2
2.5 二次函数
（一）知识梳理
1．二次函数的解析式的三种形式：
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
?bb4ac?b2
,) 2．二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴x?，顶点坐标(?2a2a4a2
（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在(??,??bbb]上单调递减，在[?,??)上单调递增，x?时，2a2a2a
f(x)min
4ac?b2?； 4a6
（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在(??,??bbb]上单调递增，在[?,??)上单调递减，x?时，2a2a2a
f(x)max4ac?b2?。 4a
23．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当??b?4ac?0时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)
M1M2?x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2?
2?。 a4. 最值问题：二次函数f(x)=ax+bx+c在区间[α,?]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴?b/(2a)在区
间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3)a的符号对二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：
222①??0?f(x)=ax+bx+c的图像与x轴无交点?ax+bx+c=0无实根?ax+bx+c>0(<0)的解集为?或者是R;
222②??0?f(x)=ax+bx+c的图像与x轴相切?ax+bx+c=0有两个相等的实根?ax+bx+c>0(<0)的解集为?或者是
R;
222③??0?f(x)=ax+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点?ax+bx+c=0有两个不等的实根?ax+bx+c>0(<0)的解
集为(?,?)(???)或者是(??,?)?(?,??)
（二）考点分析
考点1．求二次函数的解析式
例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。
法一：利用一般式
??a??4?4a?2b?c??1??22设f(x)=ax+bx+c(a≠0)，由题意得：?a?b?c??1解得：?b?4 ∴f(x)= - 4x+4x+7
2?c?7?4ac?b?8??4a?
法二：利用顶点式
∵f(2)= f(-1) ∴对称轴x?2?(?1)1? 又最大值是8 22
∴可设f(x)?a(x?)?8(a?0)，由f(2)= -1可得a= - 4 ?f(x)??4(x?)?8??4x?4x?7 法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax-ax-2a-1,又21221222
ymax4a(?2a?1)?a2?8即?8得a= - 4或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x2+4x+7 4a
例2
．已知二次函数的对称轴为x?x轴上的弦长为4，且过点(0,?1)，求函数的解析式．
解：
∵二次函数的对称轴为x?
设所求函数为f(x)?a(x2?b，又∵f(x)截x轴上的弦长为4，∴f(x
)过点(2,0)，f(x)又过点(0,?1)，
1??4a?b?0?a?∴?， ?2，
2a?b??1???b??2
∴f(x)?1(x2?2 2
7 考点2．二次函数在区间上的最值问题
例1．已知函数f(x)= - x+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
2例2．已知y=f(x)=x-2x+3,当x∈[-1,3]时，求函数的最大值和最小值。
考点3．一元二次方程根的分布及取值范围
2例1．已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。
(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。
思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴x??2b与区间相对位置。 2a
【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。
例2． 已知函数f(x)?x?(2a?1)x?a?2与x轴至少有一个交点，求a的取值范围．
22
指数与指数函数
（一）知识梳理
1．指数运算
a?m
n；a?m
?ma；a0?1；ar?as?ar?s(a?0,r、s?Q)；(ar)s?ars(a?0,r、s?Q)；
(ab)r?arbs(a?0,r、s?Q)
2.指数函数：y?ax（a?0,a?1），定义域R，值域为（0,??）.⑴
①当a?1，指数函数：y?ax在定义域上为增函数；②当0?a?1，
指数函数：y?ax在定义域上为减函数.⑵当a?1时，y?ax的a值越
大，越靠近y轴；当0?a?1时，则相反.
8
（二）考点分析
mnmn例1．已知下列不等式，比较m，n的大小：（1）2?2 (2)0.2?0.2
变式1：设
a111?()b?()a?1，那么 （ ） 222baaabA.a＜a＜b B.a＜ b＜a
C.a＜a＜b D.a＜b＜a
例2．函数y?a在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为（ ） xbaabaa
11 B.2 C.4 D. 24
x例3．已知函数y?f(x)的图象与函数y?a（a?0且a?1）的图象关于直线y?x对称，记
1g(x)?f(x)[f(x)?2f(2)?1]．若y?g(x)在区间[,2]上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） 2
11 A．[2,??) B．(0,1)?(1,2) C．[,1) D．(0,] 22A．
对数与对数函数
（一）知识梳理
1．对数运算：
loga(M?N)?logaM?logaN；loga
logaN?alogaN?N；换底公式：1M?logaM?logaN；logaMn?
nlogaM；loga?logaM；nNlogbN；推论：logab?logbc?logca?1 logba
2．对数函数：如果a（a?0,a?1）的b次幂等于N，就是ab?N，数b就叫做以a为底的N的对数，记作logaN?b（a?0,a?1，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数.
当a?1时，y?logax的a值越大，越靠近x轴；当0?a?1时，则相反.
（二）考点分析
例1．已知函数f(x)?loga(x?1)，g(x)?loga(1?x)(a?0，且a?1)
（1） 求函数f(x)?g(x)定义域
（2） 判断函数f(x)?g(x)的奇偶性，并说明理由.
例2．已知f(x)??
A.(0,1) 例3．若loga?(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是 ?logax,x?1131173 D.[,1) B.(0,) C.[,) 173?1(a?0，且a?1)，求实数a的取值范围. 4
D．(0,) 1?a211?0，则a的取值范围是 （ ） A．(,??) B．(1,??) C．(,1) 变式1：若log2a221?a
129
幂函数
（一）知识梳理1、幂函数的概念
一般地，形如y?x? (x?R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，?是常数
2、幂函数的图像及性质
幂函数y?x? (x?R,?是常数)的图像在第一象限的分布规律是：
①所有幂函数y?x? (x?R,?是常数)的图像都过点(1,1)；
②当??0时函数y
?x?的图像都过原点(0,0)；
③当??1时，y?x?的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；
④当??2,3时，y?x?的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）
⑤当??1
2时，y?x?的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3）
⑥当???1时，y?x?的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲线（如c4）
3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展
当??0时，幂函数y?x?有下列性质：
（1）图象都通过点(0,0)，(1,1)；
（2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，??1时，图象是向下凸的；1???0时，图象是向上凸的；
（4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。
当0??时，幂函数y?x?有下列性质：
（1）图象都通过点(1,1)；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；
（4）在第一象限内，过点(1,1)后，?越大，图象下落的速度越快。
无论?取任何实数，幂函数y?x?的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。 10
（二）考点分析
考点1：利用幂函数的单调性比较大小
?1?例1．已知??0，试比较??,0.2?,2?的大小； ?2?
1??例2
．已知点在幂函数f(x)的图象上，点??2?，在幂函数g(x)的图象上． 4??
问当x为何值时有：（１）f(x)?g(x)；（２）f(x)?g(x)；（３）f(x)?g(x)． ?
函数图象
（一）知识梳理
1．函数图象
（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点以及确定怎样的变换，这也是个难点
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数y?f(x?a)的图像可以把函数y?f(x)的图像沿x轴方向向左(a?0)或向右(a?0)平移|a|个单位即可得到；
左移h
1）y=f(x)?右移hy=f(x+h)；2）y=f(x) ?y=f(x?h)；
Ⅱ、竖直平移：函数y?f(x)?a的图像可以把函数y?f(x)的图像沿x轴方向向上(a?0)或向下(a?0)平移|a|个单位即可得到；
1）y=f(x) ?
②对称变换：
Ⅰ、函数y?f(?x)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于y轴对称即可得到； 上移hy=f(x)+h；2）y=f(x) 下移h?y=f(x)?h。
y=f(x) ?y=f(?x) y轴
Ⅱ、函数y??f(x)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于x轴对称即可得到；
y=f(x) ?y= ?f(x) x轴
Ⅲ、函数y??f(?x)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于原点对称即可得到；
y=f(x) 原点?y= ?f(?x)
Ⅳ、函数x?f(y)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于直线y?x对称得到。
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y=f(x) 直线y?x?x=f(y)
Ⅴ、函数y?f(2a?x)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称即可得到；
y=f(x) 直线x?a?y=f(2a?x)。
③翻折变换：
Ⅰ、函数y?|f(x)|的图像可以将函数y?f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y?f(x)的x轴上方部分即可得到；
Ⅱ、函数y?f(|x|)的图像可以将函数y?f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y?f(x)在y
④伸缩变换：
Ⅰ、函数y?af(x)(a?0)的图像可以将函数y?f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a?1)或压缩（0?a?1）为原来的a倍得到；
y=f(x)?y=af(x)
Ⅱ、函数y?f(ax)(a?0)的图像可以将函数y?f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a?1)或压缩（0?a?1）为原来的y?a1倍得到。 a
f(x)=f(x)?y=f(ax) x?a
（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面
（二）考点分析
例1．（08江苏理14）
3设函数f(x)?ax?3x?1(x?R)，若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，则实数a的值为
点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；
题型3：函数的图象变换
|x|例9．已知0?a?1，方程a?|logax|的实根个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．2或3或4
点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。
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2.10 函数与方程
（一）知识梳理
1．函数零点
概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。
零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)?0，那么函数y?f(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c?(a,b)，使得f(c)?0，这个c也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步骤：
对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度?，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)?0，给定精度?；
（2）求区间(a，b)的中点x1；
（3）计算f(x1)：
①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0?(a,x1)）；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0?(x1,b)）；
（4）判断是否达到精度?；
即若|a?b|??，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4。
（二）考点分析
题型1：方程的根与函数零点
例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
（2）设a为常数，试讨论方程lg(x?1)?lg(3?x)?lg(a?x)的实根的个数。
点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断
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