解析几何知识点   

一、基本内容

（一）直线的方程 

1、 直线的方程 

确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围．

2、两条直线的位置关系

两条直线的夹角，当两直线的斜率k₁，k₂都存在且k₁·k₂≠

外注意到角公式与夹角公式的区别．

(2)判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断．但若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断．

（二）圆的方程 

(1)圆的方程

1、  掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化．

2、   圆的标准方程为(x－a)²+(y－b)²＝r²；一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0,圆心坐标，半径为。

3、        在圆(x－a)²+(y－b)²＝r²，若满足a²+b² = r²条件时，能使圆过原点；满足a=0，r＞0条件时，能使圆心在y轴上；满足时，能使圆与x轴相切；满足条件时，能使圆与x－y＝0相切；满足|a|=|b|=r条件时，圆与两坐标轴相切．

4、        若圆以A(x₁，y₁)B(x₂，y₂)为直径，则利用圆周上任一点P(x，y)， 求出圆方程(x－x₁)(x－x₂)+(y－y₁)(y－y ₂)＝0

(2) 直线与圆的位置关系

①在解决的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用△＞0，△=0，△＜0，而用圆心到直线距离d＜r，d=r，d＞r，分别确定相关交相切，相离的位置关系．涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形，当然，不失一般性弦长式

 (三)曲线与方程

 (1)求曲线方程的五个步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；建标

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}；                 设点

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0                    列式

(4)化方程f(x，y)=0为最简方程                                 化简

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点．

除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以不写，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．

（2）求曲线方程主要有四种方法：

(1)条件直译法：如果点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或ρ，θ)的等式，我们称此为“直译法”．

(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点．如果相关点满足的条件简明、明确，就可以用动点坐标把相关的点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹．

(3)几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律．

(4)参数法：有时很难直接找出动点的横纵坐标之间关系．如果借助中间参量(参数)，使x，y之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程．

（四）圆锥曲线

（1）椭圆

(1)椭圆的定义

平面内与两个定点F₁，F₂的距离之和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

这里应特别注意常数大于|F₁F₂|因为，当平面内的动点与定点F₁，F₂的距离之和等于|F₁F₂|时，其动点轨迹就是线段F₁F₂；当平面内的动点与定点F_1,F₂的距离之和小于|F₁F₂|时，其轨迹不存在．

（2）椭圆的标准方程

之所以称它为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用对称性建立直角坐标系有关．同时，还应注意理解下列几点，

1)标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．

2)焦点F₁，F₂的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型．也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型．

3)任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可以写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式．

1)范围：焦点在x轴时，椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形里．

2)对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的，这时坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆中心．

3)顶点：椭圆与对称轴的交点为椭圆的顶点A₁(－a，0)A₂(a，0)B₁(0，b)B₂(0，－b)线段A₁A₂，B₁B₂分别叫做椭圆的长轴，短轴，长分别为2a，2b．

＜1．e越接近于1，则椭圆越扁，反之，e越接近于0，椭圆越接近于圆．

5)焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径．

如图所示，当焦点在x轴上时，任一点到左焦点的焦半径为r₁＝a+ex₀．

6)|A₁F₁|=a-c  |A₁F₁|=a+c

 

10)椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(e＜1＝的点的轨迹．

第二篇：高中解析几何知识点

高中解析几何1-1综合测试题

陈雨涵

一、选择题

1．下列语句中是假命题的是                                                 （    ）

  A．二次函数的图象是一条抛物线

B．对数函数是增函数吗？

C．两个内角等于45°的三角形是等腰直角三角形

D．若整数a是素数，则a是奇数

2．已知，则下列判断中，错误的是                         （    ）

  A．                  B．

C．                  D．

3．命题“”的一个必要不充分条件是                            （    ）

  A．      B．      C．      D．

4．若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是            （    ）

  A．               B．             C．             D．

5．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线是，则双曲线方程为                                                                       （    ）

  A．      B．     C．     D． 

6．已知顶点在原点，对称轴是y轴的抛物线上一点到它的焦点的距离为4，则m的值是                                                                    （    ）

  A．                B．或         C．              D．或

7．函数在[0，3]上的最值是                                （    ）

  A．最大值是4，最小值是              B．最大值是2，最小值是

C．最大值是4，最小值是              D．最大值是2，最小值是

8．已知有相同的两焦点F₁，F₂的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则等于                                   （    ）  A．1             B．            C．0            D．随m，n的变化而变化

9．设在和处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是                                                                  （     ）

  A．          B．         C．        D．

10．已知点M是椭圆上的一点，两焦点分别为F₁，F_2,  点I是的内心，连接MI并延长交F₁F₂于N点，则的值为                       （     ）

  A．     B．     C．    D．

二、填空题

11．经过点，的椭圆的标准方程是           _______.

12．已知P：；则                      _.

13．一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2米时，水面宽4米；若水面下降1米，则此时水面宽为         ____________米.

14．已知双曲线，M为其右支上一动点，F为其右焦点，点，则|MA|+|MF|的最小值为              .

三、解答题

15．已知椭圆方程为，求它的焦点坐标、顶点坐标、长轴长、离心率和准线方程.

16．已知曲线上一点，求：

  （1）点P处的切线方程;

  （2）点P处的切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积.

17．已知 , , 若的必要不

充分条件，求实数的取值范围.

    

18．设P：关于x的不等式的解集是

      Q：函数的定义域为R.

    如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.

19．设是一个常数,过点的直线与抛物线交于相异两点A,  B, 以线段AB为直径作圆H (H为圆心).

(1)试证抛物线顶点在圆H的圆周上;

(2)求圆H的面积最小时直线AB的方程.

20. 设椭圆方程为,过点的直线t交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为（）.当t绕点M旋转时，求：

（1）动点P的轨迹方程；

（2）||的最小值与最大值.                                        

高中数学系列1-1综合测试题参考答案

一、选择题

BCBCC  DACAA

二、填空题

11.       12.           13.           

 14.

三、解答题

15. 解：椭圆方程可化为，所以焦点在y轴上，且，长轴长 

       所以焦点坐标为F₁（0，），

       顶点为

       离心率     

      准线方程为

16. 解：(1)

       

           切线方程为

        即  

      (2)切线在x轴、y轴上的截距都是，故切线与x轴、y轴所围成的平面图形为直角三角形，其面积为.

17. 解：

       

         

       

        的必要不充分条件

       

       

        即p是q的充分不必要条件

        故有

        解得m

       因此, 所求实数m的取值范围是

18. 解：P正确

      Q正确对一切实数x恒大于0

            当时, 不能对一切实数x恒大于0

      故Q正确

      若P正确而Q不正确，则0;

      若Q正确而P不正确，则.

      故所求的a的取值范围是

19. 解：(1) 设直线

   

设,

则

    

 

  

O在以AB为直径的圆上

    (2)

        

当时, 最小,此时直线AB的方程为.

20. 解（1）设直线t的方程为 ,    又设、

于是

设点P的坐标为则

消去参数得  （*）

当不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足（*）式，故点P的轨迹方程为

（2）由点P的轨迹方程知

    故

            =

            

故当时，取得最小值，最小值为；

当时，取得最大值，最大值为.