一元一次方程

【知识点归纳】

一、方程的有关概念

1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.

2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.

3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

二、等式的性质

    等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.

    等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c

(2)等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么=

三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

四、去括号法则

1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．

五、解方程的一般步骤

1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2. 去括号(按去括号法则和分配律)

3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)

4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)

5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=).

六、用方程思想解决实际问题的一般步骤

1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．

2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法)

3. 列：根据题意列方程．

4. 解：解出所列方程．

5. 检：检验所求的解是否符合题意．

6. 答：写出答案(有单位要注明答案)

七、有关常用应用类型题及各量之间的关系

1. 和、差、倍、分问题：

增长量＝原有量×增长率     现在量＝原有量＋增长量

  （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

  （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2. 等积变形问题：

（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

 ①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积.

（2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

    ①圆柱体的体积公式       V=底面积×高＝S·h＝r2h

    ②长方体的体积           V＝长×宽×高＝abc

3. 劳力调配问题：

    这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

    （1）既有调入又有调出；

    （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

4. 数字问题

   （1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．

    十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

5. 工程问题：

工程问题：工作量＝工作效率×工作时间   

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

6.行程问题：

路程＝速度×时间   时间＝路程÷速度   速度＝路程÷时间

  （1）相遇问题：  快行距＋慢行距＝原距

  （2）追及问题：  快行距－慢行距＝原距

  （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

                 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

   抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

7.商品销售问题

（1）商品利润率＝×100%

 （2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

 （3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．有关关系式：商品售价=商品标价×折扣率

（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

8. 储蓄问题

⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵ 利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率（20%）

（3）利润＝×100%     、

【典型例题】

一、一元一次方程的有关概念

例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程         .

二、一元一次方程的解

例2.若关于的一元一次方程的解是,则的值是（    ）

A．             B．1              C．          D．0

三、一元一次方程的解法

例3.如果,那么等于（    ）

(A)1814.55   (B)1824.55   (C)1774.45   (D)1784.45

例4. {[(x-1)-3]-3}=

四、一元一次方程的实际应用

例5.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．

例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

例7.（2006·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：

李小波：阿姨，您好！

售货员：同学，你好，想买点什么？

李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.

售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见.

根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？

第二篇：第3章一元一次方程知识点总结

一元一次方程知识点总结

【知识点总结】

1、定义：满足①              ②              ③              的式子叫一元一次方程。

 例题1：判断下列方程中属于一元一次方程的是（    ）

   (1)x-3   (2)x²－1=0  (3)2x－3=0  (4)x－y=0 （5）x+=2   （6）2x²-1=1-2(2x-x²)

 例题2：若方程3x^2m-1＋1=6是关于x的一元一次方程方程，则m的值是            。

2、方程的解：知解则代入

 例题：已知5是关于x的方程3x－2a=7的解，则a的值为             。

3、等式的性质：

  （1）性质一：                                                            。

（2）性质二：                                                            。

【注意】性质二中等式两边同除时，除数不能                     。

例题1：（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
　　解：原方程可变形为
　　　　去分母，得3（3x+5）=2(2x-1).           (__________________________)
　　　　去括号，得9x+15=4x-2.                 （__________________________）
　　　(____________________),得9x-4x=-15-2.    (___________________________)
　　　　合并，得5x=-17. (合并同类项)
　　　　（____________________）,得x=.   （_________________________）

例题2下列说法正确的是                                             （    ）

   （A）在等式两边除以，可得  （B）在等式两边都乘以，可得

   （C）在等式两边都除以（），可得

   （D）在等式两边除以2，可得

4、解方程：步骤与常见错误

  步骤一：               。常见错误：①               。②                  。

      二：               。常见错误：①               。②                  。

      三：               。常见错误：                    。

      四：               。

      五：               。常见错误：                    。

5、应用题类型

  类型一：销售利润问题

（1）   与销售有关的量：进价（成本价）、标价（原价）、售价（现价）、利润、利润率、让利

（2）  有销售有关的公式：

①  利润=售价－进价=标价×打折数－进价=标价×打折数－让利－进价=进价×利润率

②  售价=标价×打折数=标价×打折数－让利

  类型二：工程问题

   （1）若一件工程甲6天独自做完，则甲的工作效率为：              。

   （2）等量关系式为：                                            。

  类型三：配套问题

等量关系式为：                                               。

  类型四：分图书问题

等量关系式为：                                               。

  类型五：周长、面积、体积问题

等量关系式为：周长、面积、体积具体的公式

  类型六：数字问题

     例题1：若一个三位数，百位数字为a,十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：        。

     例题2：若一个两位数为a,一个三位数为b，把这个三位数放到两位数的左边构成一个五位数，则这个五位数表示为：                                  。

   6、常见等量关系式的寻找类型

 （1）通过关键词找：例如：和、共、总、是、等于；或者相当于总量的量

 （2）-------比--------多（大、小、少）---------。等量关系为：                     。

 （3）抓住题目中的不变量

 （4）周长、面积、体积等用公式做为等量关系式。

【一元一次方程达标练习一】

 1、若(a－1)x^|a|＋3＝－6是关于x的一元一次方程，则a＝＿＿；x＝＿＿＿。

2、当x=＿＿＿时，单项式5a^2x+1b²  与8a^x+3b²是同类项。

3、若，则x+y=___________

4.若         。 

5.若是同类项，则m=        ，n=         。

6.若的和为0，则m-n+3p =          。

7.代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x的值为           。

8.若与 互为倒数，则x=           。

9.方程，去分母可变形为＿＿＿＿＿＿。

10.代数式5m＋与5(m－)的值互为相反数，则m的值等于＿＿＿＿＿＿。

11.如果x=5是方程ax+5=10－4a 的解，那么a=＿＿＿＿＿＿

12.方程的解是_______．

13、当x=      时，代数式与代数式的值相等．

14.代数式与互为相反数，则　　　　　．

15. 方程与方程的解相同，则a的值为          。

16.已知等式是关于x的一元一次方程，则m=____________．