一元二次方程的解法

【知识点归纳与总结】

一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0, (a≠0)，

它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：

1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如  (x-m)²=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.

例1．解方程（1） (3x+1)²=7　　　 （2）9x²-24x+16=11

2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)

　　先将常数c移到方程右边：ax²+bx=-c
　　将二次项系数化为1：x²+x=-
　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²+x+()²=-+()²
　　方程左边成为一个完全平方式：(x+)²=　当b²-4ac≥0时，x+=±
　　∴ x= (这就是求根公式)

例2．用配方法解方程　3x²-4x-2=0

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x= (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。

　　例3．用公式法解方程　 2x²-8x=-5

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：
　　(1) (x+3)(x-6)=-8　　(2) 2x²+3x=0
　　(3) 6x²+5x-50=0　　　(4)x²-2(+)x+4 =0

小结：
　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

　　直接开平方法是最基本的方法。

　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

　　例5．用适当的方法解下列方程。
　　（1）4(x+2)²-9(x-3)²=0 　　（2）x²+(2-)x+-3=0
　　（3）x²-2x=- 　　（4）4x²-4mx-10x+m²+5m+6=0

　　分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
　　（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
　　（3）化成一般形式后利用公式法解。
　　（4）把方程变形为 4x²-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解

一元二次方程根的判别式

一、知识要点：

1.一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b²-4ac。
　　Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
　　Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
　　Δ<0时，方程没有实数根。

判断2x²+x+4=0，4x²+3x-5=0，x²+5x+2=0，2x²+x+3=5有没有实数根。

以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。

　　注意：（1）根的判别式是指Δ=b²-4ac，不是Δ= ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。

　　2.根的判别式有以下应用：
　　①不解一元二次方程，判断根的情况。
　　②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
　　③证明字母系数方程有实数根或无实数根。

　　注意：①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0，切勿丢掉等号。
　　②根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.

　　二、例题精讲：

例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2x²+3x-4=0　　(2)3x²+2=2x 　(3)x²+1=x　 (4)ax²+bx=0(a≠0)  (5)ax²+c=0(a≠0)

例2．求证方程(m²+1)x²-2mx+(m²+4)=0没有实数根。

例3．已知关于x的方程kx²-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值并解这个方程。

例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x²+m)+b(x²-m)-2ax=0有两个相等的实数根，求证：ΔABC为RtΔ。

　　例5．若a,b,c为实数，关于x的方程2x²+2(a-c)x+(a-b)²+(b-c)²=0有两个相等的实数根，求证a+c=2b.

一元二次方程的应用

一、握手问题

1、某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，这个小组有几位同学？

2、某校开展足球比赛，每个班组织一个班队，在第一轮比赛中，每个班队都要与其他班队比赛一场，一共进行了120场比赛，这个学校共有多少个班级？

3、20##年中山市“光彩杯”中学生足球赛共进行了56场比赛（实行主客场制），问有多少球队参加比赛？

二、面积问题

4、利用长为18米的墙的一边，另三边用长为35米的竹篱笆围成一个面积为150平方米的长方形养鸡场。求鸡场的长与宽各多少？

5、如图所示要建一个面积为150m²的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为25m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.

(1)求鸡场的长与宽各为多少米?

(2)题中的墙长度25m对题目的解起着怎样的作用?

6、学校课外生物小组的试验园地是长18米、宽12米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为196平方米，求小道的宽．

7、如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的道路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米²,求道路的宽度? 

                  

8、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm²，求金色纸边的宽.

9、把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形面积比正方形面积增加14cm²,那么原来正方形的边长应是多少？

10、如图,从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度.

 

11、墙的一边，再用13米长的铁丝挡三边围成一个面积是20平方米的长方形，

问长方形长和宽各是多少才能刚好合适？

三、体积问题：

12、有一块长25厘米、宽15厘米的长方形铁片，如果在铁成的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为231平方厘米的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少厘米？

13、如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.

四、增长率问题：

14、某化服厂去年4月份生产化肥500吨，因管理不善，5月份的化肥产量减少了10%，从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648吨，求该厂6、7月份的月平均增长率。

15、某商厦10月份的营业额是50万元，第四季度的总营业额是182万元，后两个月中，每月的平均增长率是多少？

16、某商店四月份电扇的销售量为500台，随着天气的变化，六月份电扇的销售量为720台，问五月份、六月份平均每月电扇销售量的增长率是多少？

17、某商店4月份销售额为50万元,第二季度的总销售额为182万元,若5、6两个月的月增长率相同,求月增长率.

18、某电脑公司20##年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计20##年经营总收入要达到2160万元，且计划从20##年到20##年，每年经营总收入的年增长率相同，问20##年预计经营总收入为多少万元？

19、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.求平均每次降价的百分率。

20、某工厂计划经过两年的时间将某种产品的产量从每年144万台提高到169万台，求每年平均增长的百分率。

五、利润问题：

21、将进货单价为40元的某种商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

22、将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

23、某商店进了一批服装，进价为每件50元.按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件.今商店计划获利12000元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？

24、 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

六、路程及其它：

25、一列车中途受阻，耽误6分钟，然后将每小时的速度加快 10千米，这样运行了20千米，便把耽误的时间补上，求原规定的速度．

26、已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数.

27、已知：如图所示，在△中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.

（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，△的面积等于4cm²？

（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？

（3）在（1）中，△的面积能否等于7cm²?说明理由.                      C     

                                                                               Q

                                                             

                                                                  A    P    B

一元二次方程测试题

一、选择题（只有一个正确，每题3分，共36分）

1、方程（m²-1）x²+m x -5=0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是 （      ）

（A） m≠1   (B)  m≠0     (C )∣m∣≠1   (D)  m=±1

2、方程（3x+1）(x-1)=(4x-1)(x-1)的解是  （    ）

（A）                     x₁=1 x₂=0     (B) x₁=1 x₂=2     (C) x₁=2 x₂=-1     (D) 无解

3、已知方程x²+x-1=0，以它的两根的倒数为根的新方程应是（ ）

(A) y²-y-1=0  (B) y²+y+1=0  (C) y²-y+1=0   (D) y²-2y-1=0

4、下列方程没有实数根的方程是（     ）

(A) x²+3x=0             (B)2004 x²+56x-1=0

(C)2004 x²+56x+1=0      (D) (x-1)(x-2)=0

5、若分式不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（     ）

(A)m≥1    (B)m>1     (C)m≤1    (D)m<1

6、关于x的一元二次方程x²-2x+2k=0有实数根，则k的取值范围是 （      ）

（A）k<    （B）k≤   （C）k>     （D）k≥

7、已知关于x的方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是（    ）

（A） 5   （B）-1   （C）5或-1    （D）-5或1

8、用换元法解方程 x²+x-1=时，如果设x²+x=y，那么原方程可变形为（    ）

（A）                    y²-y-6=0   （B）y²-y+6=0   （C）y²+y-6=0   （D）y²+y+6=0

9、如果方程组只有一个实数解，那么m的值为（    ）

（A）-     （B）    （C）-1         （D）0

10、王刚同学在解关于x的方程x²-3x+c=0时，误将-3x看作+3x，结果解得x₁=1 x₂=-4，则原方程的解为（     ）

（A）                    x₁=-1 x₂=-4  （B）x₁=1 x₂=4    （C）x₁=-1 x₂=4    （D）x₁=2x₂=3

11、某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（    ）

（A）500（1+x²）=720   （B）500(1+x)²=720

（C）500(1+2x)=720     （D）720(1+x)²=500

12、一列列车自20##年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米/时，则根据题意所列方程正确的是（      ）

（A）-=1           （B）-=1    

(C) -=1            （D）-=1

二、填空题（每题3分，共30分）

13、若分式的值为零，则x=                      。

14、以2+和2-为实根的关于y的一元二次方程是

15、已知关于x的方程x²-6x+m=0的一个根是另一个根的两倍，则m的值为                  。

16、已知方程x²-3x+1=0的两根为x₁、x₂，那么（1+ x₁）（1+ x₂）=                  .

17、在实数范围内分解因式：2x²-8x+5=

18、若方程+=有增根，则m的值是                       。

19、一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和请写出符合条件的一个方程组                       .

20、如果x²-2（m+1）x+m²+5=0是一个完全平方式，则m=            .

21、已知关于x的方程x²-（a²-2a-15）+a-1=0的两个根是互为相反数，则a的值为             。

22、要求在规定时间内修建一条公路，如由甲队单独修建恰好按规定时间完成，如由乙队单独完成则要延期5天完成，现由两队联合修建2天后，剩下的任务由乙队单独修建，则恰好在规定时间内完成，若设规定时间为x天，则可列出方程                         .

三、 解下列方程（或方程组，5分、8分、8分）

23、（2x-3）（x-4）=9            24、+=7

25、

四、简答题（26题8分，27题10分，28题15分）

26、已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m²=0

(1)     当m取什么值时，元方程没有实数根？

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的差的平方。

第二篇：一元二次方程知识点总结&练习

一元二次方程的解法

【知识点归纳与总结】

一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：

1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±

7例1．解方程（1） (3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 5

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

bc 将二次项系数化为1：x2+ x=- aa.

bbcb 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=-+()2 a2aa2a

方程左边成为一个完全平方式：

(x+)2= 当b2-4ac≥0时，x+=± ∴ x= (这就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x= (b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5

1

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次

因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (4)x2-2(+

)x+4 =0

小结：

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

例5．用适当的方法解下列方程。

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2-5x+6=0

（3）2x2-3x=4 （4）4x2-x+6=0

2

分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解

因式，化成两个一次因式的乘积。

（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。

（3）化成一般形式后利用公式法解。

（4）利用公式法解。

一元二次方程根的判别式

一、知识要点：

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

Δ<0时，方程没有实数根。

判断2x2+x+4=0，4x2+3x-5=0，x2+5x+2=0，2x2+x+3=5有没有实数根。

以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是

Δ=

元二次方程的一般形式。

2.根的判别式有以下应用：

①不解一元二次方程，判断根的情况。

②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

③证明字母系数方程有实数根或无实数根。 ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一

注意：①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。

②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.

二、例题精讲：

例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)2x2+3x-4=0 (2)3x2

+2=2x (3) x2+1=x (4)ax2+bx=0(a≠0) (5)ax2+c=0(a≠0)

3

例2．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

例3．已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值并解这个方程。

一元二次方程的应用

一、握手问题

1、某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，这个小组有几位同学？

2、某校开展足球比赛，每个班组织一个班队，在第一轮比赛中，每个班队都要与其他班队比赛一场，一共进行了120场比赛，

这个学校共有多少个班级？

3、20xx年中山市“光彩杯”中学生足球赛共进行了56场比赛（实行主客场制），问有多少球队参加比赛？

二、面积问题

4、利用长为18米的墙的一边，另三边用长为35米的竹篱笆围成一个面积为150平方米的长方形养鸡场。求鸡场的长与宽各

多少？

4

5、如图所示要建一个面积为150m的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为25m,另三边用竹篱

笆围成,已知篱笆总长为35m.

(1)求鸡场的长与宽各为多少米?

(2)题中的墙长度25m对题目的解起着怎样的作用?

6、学校课外生物小组的试验园地是长18米、宽12米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），

要使种植面积为196平方米，求小道的宽．

7、如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地

另一条与

8、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm，

求金色纸边的宽.

9、把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形面积比正方形面积增加14cm,那么原来正方形的边长应是

多少？

222 （第3题） ABCD上修建三条同样宽的道路,使其中两条与AB平行,2AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米,求道路的宽度?

5

10、如图,从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面

积是原来铁片面积的一半，求这个宽度.

11、墙的一边，再用13米长的铁丝挡三边围成一个面积是20平方米的长方形，问长方形长和宽各是多少才能刚好合适？

三、体积问题：

12、有一块长25厘米、宽15厘米的长方形铁片，如果在铁成的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做

成一个底面积为231平方厘米的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少厘米？

13、如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个

相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形

的边长.

四、增长率问题：

14、某化服厂去年4月份生产化肥500吨，因管理不善，5月份的化肥产量减少了10%，从6月份起强化了管理，产量逐月

上升，7月份产量达到648吨，求该厂6、7月份的月平均增长率。

6

15、某商厦10月份的营业额是50万元，第四季度的总营业额是182万元，后两个月中，每月的平均增长率是多少？

16、某商店四月份电扇的销售量为500台，随着天气的变化，六月份电扇的销售量为720台，问五月份、六月份平均每月电

扇销售量的增长率是多少？

17、某商店4月份销售额为50万元,第二季度的总销售额为182万元,若5、6两个月的月增长率相同,求月增长率.

18、某电脑公司20xx年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002

年经营总收入要达到2160万元，且计划从20xx年到20xx年，每年经营总收入的年增长率相同，问20xx年预计经营总收入为多少万元？

19、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.求平均每次降价的百分率。

20、某工厂计划经过两年的时间将某种产品的产量从每年144万台提高到169万台，求每年平均增长的百分率。

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五、利润问题：

21、将进货单价为40元的某种商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，

为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

22、将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为

了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

23、某商店进了一批服装，进价为每件50元.按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20

件.今商店计划获利12000元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？

24、 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿

童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

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